Matemática financeira

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EDUCAR PARA 
TRANSFORMAR 
 
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO DE JUROS COMPOSTO – 
DESCONTO RACIONAL COMPOSTO 
NÚCLEO OESTE - CAMPUS SANTA CRUZ - PROF. CARLOS BRITTO 
11° ENCONTRO 
Rio de Janeiro, 11 de outubro de 2017 
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DESCONTO RACIONAL COMPOSTO 
 
A operação de descontos acontece quando alguém possui um 
título e deseja resgatá-lo antes de seu vencimento, assim o 
detentor do título receberá um valor menor, ou seja, o valor atual 
será menor que o nominal. 
 
Desconto Racional Composto: É correspondente a capitalização 
composta, produzido por um valor nominal, num determinado 
período e com taxa fixada. O desconto racional composto também 
é conhecido por desconto “por dentro”. 
 
A operação de desconto racional composto é a mais utilizada no 
Brasil e também pode ser utilizada em longo prazo, 
diferentemente do cálculo de desconto simples que a aplicação 
não é viável. 
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DESCONTO RACIONAL COMPOSTO 
 
O desconto racional, real ou “por fora” é calculado sobre o valor atual do 
título. Suponha-se um título de valor N que vai ser descontado com 
desconto racional composto 𝒏 períodos antes do vencimento com taxa 𝒊 . 
Seu valor atual 𝑨𝒓 poderá ser calculado como tendo sofrido 𝒏 descontos 
racionais sucessivos de taxa 𝒊 . Tem-se então, os valores atuais 𝑨𝟏, 𝑨𝟐, ..., 
𝑨𝒏, obtidos 1, 2, ..., 𝒏 períodos antes do vencimento: 
 
 
𝐴2= 
𝐴1
1+𝑖
 = 
𝑁
(1+𝑖)²
 
. 
. 
. 
𝐴𝑛= 
𝐴𝑛−1
1+𝑖
 = 
𝑁
(1+𝑖)𝑛
 
 
 
𝐴1 = 
𝑁
1+𝒊
 
e o valor atual final 𝐴𝑟 = 𝐴𝑛 será: 
𝐴𝑟 = 
𝑁
(1+𝑖)𝑛
 ou 𝐴𝑟 = 𝑁 (1 + 𝑖)
−𝑛 
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DESCONTO RACIONAL COMPOSTO 
 
A fórmula para o desconto racional composto será: 
𝑑𝑟 = N - 
𝑁
(1+𝑖)𝑛
 
 
Ou: 
 
𝑑𝑟 = N (1 - 
1
(1+𝑖)𝑛
 ) 
 
Ou ainda: 
 
𝑑𝑟 = 𝑁(1 − (1 + 𝑖)
−𝑛 
 
 
Onde: 
N= valor nominal 
A= valor atual 
d= desconto 
i=taxa de desconto 
n= período ou tempo 
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DESCONTO RACIONAL COMPOSTO - EXERCÍCIOS 
 
1. Determine o valor atual de um título de R$4.000,00 que será 
descontado à taxa de desconto composto de 3% ao mês, faltando 
90 dias para o vencimento. 
 
2. Um título com valor nominal de R$ 8.000,00, vencível, em 5 
meses, é trocado por um outro título com vencimento para 3 
meses. Sabendo que a taxa de desconto racional composto é de 
3% ao mês, qual o valor nominal do novo título? 
 
3. Um título de R$40.000,00 é descontado à taxa de 2% ao mês, 
faltando 60 dias para o vencimento. Determine: 
a) o valor atual pela operação de desconto comercial simples; 
b) o valor atual pela operação de desconto racional composto; 
c) Qual a diferença de valores do desconto comercial simples para o 
desconto racional composto? 
 
 
 
 
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DESCONTO RACIONAL COMPOSTO - EXERCÍCIOS 
 
4. Uma empresa tem um título com valor de R$ 40.000,00, vencível, 
em 120 dias. Desejando substituí-lo por outro de vencível em 60 
dias, calcular o valor nominal do novo título, supondo que a taxa de 
desconto racional composto é de 3% ao mês. 
5. Um título de R$25.000,00 é descontado à taxa de desconto 
racional composto de 1,5% ao mês, faltando 90 dias para o 
vencimento. Determine o valor atual. 
6. Qual o valor do desconto de um título de R$50.000,00 que será 
descontado à taxa de desconto composto de 3% ao mês, faltando 90 
dias para o vencimento. 
7. Uma duplicata de R$30.000,00 é descontado à taxa de desconto 
racional composto de 2,5% ao mês, faltando 3 meses para o 
vencimento. Determine o valor atual deste título. 
 
 
 
 
 
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RESOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS 
 
1. Determine o valor atual de um título de R$4.000,00 que será 
descontado à taxa de desconto composto de 3% ao mês, faltando 90 
dias para o vencimento. 
Sendo: N=4.000, i= 3% ao mês e n= 90 dias, temos: 
Primeiramente, 90 dias÷30dias do mês= 3 meses, aplicando a fórmula, 
temos: 
A = N 
 (1+i) n 
 
A= 4000 
 (1+0,03)3 
 
A= 4000 
 1,033 
A= 3.660,57 
 
4000 ENTER CHS FV 
3 ENTER N 
3 ENTER i 
0 ENTER PMT 
PV 3.660,57 
f 2 
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RESOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS 
 
2. Um título com valor nominal de R$ 8.000,00, vencível, em 5 meses, é trocado 
por um outro título com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de 
desconto racional composto é de 3% ao mês, qual o valor nominal do novo título? 
 A1 = A2 
 N1 = N2 
 (1+i) n (1+i) n 
 8000 = N2 
 (1+0,03)5 (1+0,03)3 
 8000 = N2 
 1,035 1,033 
 
 multiplicando os valores cruzados, temos: 
 8000*1,033 = N2 * 1,03
5 
 
 8000 . 1,033 = N2 
 1,035 
 
 N2=7540,77 
0 ENTER PMT 
8000 ENTER CHS FV 
5 ENTER N 
3 ENTER i PV 
6900,87 ENTER CHS PV 
3 ENTER N 
3 ENTER i 
FV 7540.77 
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RESOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS 
 
3. Um título de R$40.000,00 é descontado à taxa de 2% ao mês, 
faltando 60 dias para o vencimento. Determine: 
a) o valor atual pela operação de desconto comercial simples; 
Sendo: N=40.000, i= 2% ao mês e n= 60 dias, temos: 
 
Primeiramente, 60 dias÷30dias do mês= 2 meses, aplicando a 
fórmula, temos: 
 
d = N * i * n 
d= 40000* 0,02 * 2 
d= 1600 
 
Se o título vale R$40.000,00 e foi descontado R$1.600,00, o valor 
atual é a diferença entre eles, ou seja, R$38.400,00. 
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RESOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS 
 
3. Um título de R$40.000,00 é descontado à taxa de 2% ao mês, 
faltando 60 dias para o vencimento. Determine: 
b) o valor atual pela operação de desconto racional composto; 
 
A = N 
 (1+i) n 
 
A= 40000 
 (1+0,02)2 
 
A= 40000 
 1,022 
 
A= 38.446,75 
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RESOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS 
 
3. Um título de R$40.000,00 é descontado à taxa de 2% ao mês, 
faltando 60 dias para o vencimento. Determine: 
 
c) Qual a diferença de valores do desconto comercial simples para 
o desconto racional composto? 
 
Desconto comercial simples= R$38.400,00 
Desconto racional composto= R$38.446,75 
 
Percebemos uma diferença de R$46,75. 
Obs.: Quanto maior for o período da antecipação maior será a 
diferença das operações de desconto simples e composto. 
 
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RESOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS 
 
4. Uma empresa tem um título com valor de R$ 40.000,00, vencível, em 120 dias. Desejando 
substituí-lo por outro de vencível em 60 dias, calcular o valor nominal do novo título, supondo 
que a taxa de desconto racional composto é de 3% ao mês. 
 A1 = A2 
 
 N1 = N2 
 (1+i) n (1+i) n 
 
 40000 = N2 
 (1+0,03)4 (1+0,03)2 
 
 40000 = N2 
 1,034 1,032 
multiplicando os valores cruzados, temos: 
 
 40000.1,032 = N2 * 1,03
4 
 
 40000 . 1,032 = N2 
 1,034 
 N2 = 37703,83 
 
 
0 ENTER PMT 
40000 ENTER CHS FV 
4 ENTER N 
3 ENTER i 
PV 35539,48 
ENTER CHS PV 
2 ENTER N 
3 ENTER i 
FV 37703,84 
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RESOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS 
 
5. Um título de R$25.000,00 é descontado à taxa de desconto racional composto de 1,5% ao 
mês, faltando 90 dias para o vencimento. Determine o valor atual. 
 
A= N 
 (1+i) n 
 
A= 25000 
 (1+0,015)3 
 
A= 25000 
 1,0153 
 
A= 23.907,92 
 
 
 
0 ENTER PMT 
25000 ENTER CHS FV 
3 ENTER N 
1,5 ENTER i 
PV 23907,92 
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RESOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS 
 
6. Qual o valor do desconto de um título de R$50.000,00 que será descontado à taxa de 
desconto composto de 3% ao mês, faltando 90 dias para o vencimento. 
 
A = N 
 (1+i) n 
 
A= 50000 
 (1+0,03)3 
 
A= 50000 
 1,033 
 
A= 45.757,08 
 
Portanto o desconto será a diferença entre o valor nominal e o atual, 
50000 – 45.757,08= 4.242,92 
 
 
 
 
 
 
0 ENTER PMT 
50000 ENTER CHS FV 
3 ENTER N 
3 ENTER i 
PV 45757,08 
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RESOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS 
 
7. Uma duplicata de R$30.000,00 é descontado à taxa de desconto racional composto de 
2,5% ao mês, faltando 3 meses para o vencimento. Determine o valor atual deste título. 
 
A = N 
 (1+i) n 
 
A= 30000 
 (1+0,025)3 
 
A= 30000 
 1,0253 
 
A= 27.857,98 
 
 
 
 
0 ENTER PMT 
30000 ENTER CHS FV 
3 ENTER N 
2,5 ENTER i 
PV 27857,98 
Obrigado! EDUCAR PARA 
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