Aula 3 cap 8 Sistemas de Controle

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Sistemas de Controle 2
Cap.8 - Técnicas do Lugar das Raízes
Pontifícia Universidade Católica de Goiás
Escola de Engenharia
Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro
Sistemas de Controle 2
Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro
Cap.8 - Técnicas do Lugar das Raízes
8. Técnicas do Lugar das Raízes
8.1 Introdução
8.2 Definindo o Lugar das Raízes 
8.3 Propriedades do Lugar das Raízes 
8.4 Esboçando o Lugar das Raízes 
8.5 Refinando o Esboço
8.6 Um Exemplo
8.7 Projeto de Resposta Transitória Através do Ajuste de Ganho 
8.8 Lugar das Raízes Generalizado
8.9 Lugar das Raízes para Sistemas com Retroação Positiva
8.10 Sensibilidade dos Pólos
Bibliografia principal:
Engenharia de Sistemas de Controle – Norman S. Nise
Objetivos do capítulo
• A definição de lugar das raízes 
• Como esboçar um lugar das raízes 
• Como refinar o esboço de um lugar das raízes 
• Como usar o lugar das raízes para encontrar os pólos de um sistema a malha fechada 
• Como usar o lugar das raízes para descrever de forma quantitativa as alterações na resposta 
transitória e a estabilidade de um sistema quando um parâmetro é variado 
• Como usar o lugar das raízes para projetar um valor de parâmetro de modo a atender uma 
especificação de resposta transitória em sistemas de segunda ordem e de ordem superior
8.1) Introdução
Apresentação gráfica dos pólos em malha fechada em função da variação de um 
parâmetro do sistema.
Objetivos: Controlar a estabilidade e a resposta transitória
Escopo de resolução de problemas: Capacidade de solucionar problemas com 
ordem maior do que dois.
O Lugar das raízes
8.1) Introdução
O Problema dos Sistemas de Controle
Cálculo dos pólos de sistemas em malha aberta
 Inspeção do denominador polinômio
 Pólos não se alteram com a mudança do ganho no sistema
Cálculo dos pólos de sistemas em malha fechada
 Geralmente, exige a fatoração do polinômio
Mudanças no ganho (K) produzem mudanças nos pólos
𝑇 𝑠 =
𝐾𝐺(𝑠)
[1 + 𝐾𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)]
Função de transferência 
em malha fechada
8.1) Introdução
O Problema dos Sistemas de Controle
Cálculo dos pólos de sistemas em malha fechada
Considere:
𝑇 𝑠 =
𝐾𝐺(𝑠)
[1 + 𝐾𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)]
Função de transferência 
em malha fechada
Logo:
𝑇 𝑠 =
𝐾
𝑁𝐺(𝑠)
𝐷𝐺(𝑠)
[1 + 𝐾
𝑁𝐺(𝑠)
𝐷𝐺(𝑠)
𝑁𝐻(𝑠)
𝐷𝐻(𝑠)
]
=
𝐾
𝑁𝐺(𝑠)
𝐷𝐺(𝑠)
[
𝐷𝐺(𝑠)𝐷𝐻(𝑠) + 𝐾𝑁𝐺(𝑠)𝑁𝐻(𝑠)
𝐷𝐺(𝑠)𝐷𝐻(𝑠)
]
(termos do numerado e denominador)
8.1) Introdução
O Problema dos Sistemas de Controle
Cálculo dos pólos de sistemas em malha fechada
Analisando:
Zeros de G(s)
Pólos de H(s)
Zeros de T(s)
Pólos de T(s) mudam com K
Não se conhece os pólos sem fatorar o denominador 
8.1) Introdução
Cálculo dos pólos e zeros do 
sistema em malha ABERTA
Exemplo:
𝐺 𝑠 =
(𝑠 + 1)
[𝑠(𝑠 + 2)]
𝐻 𝑠 =
(𝑠 + 3)
(𝑠 + 4)
𝐾𝐺 𝑠 𝐻(𝑠) =
𝐾(𝑠 + 1)(𝑠 + 3)
𝑠(𝑠 + 2)(𝑠 + 4)
Zeros = -1 e -3
Pólos = 0, -2 e -4
Cálculo dos pólos e zeros do 
sistema em malha FECHADA
O “K” não afeta os zeros e os pólos
𝑇 𝑠 =
𝐾(𝑠 + 1)(𝑠 + 4)
[𝑠3 + 6 + 𝐾 𝑠2 + 8 + 4𝐾 𝑠 + 3𝐾]
8.1) Introdução
Exemplo:
𝐺 𝑠 =
(𝑠 + 1)
[𝑠(𝑠 + 2)]
𝐻 𝑠 =
(𝑠 + 3)
(𝑠 + 4)
Cálculo dos pólos e zeros do sistema em malha FECHADA
𝑇 𝑠 =
𝐾(𝑠 + 1)(𝑠 + 4)
[𝑠3 + 6 + 𝐾 𝑠2 + 8 + 4𝐾 𝑠 + 3𝐾]
Zeros de G(s)
Pólos de H(s)
- Pólos de T(s) não são conhecidos sem fatorar o denominador
- É preciso definir um ganho K específico para calcular os pólos
O Lugar das raízes mostra os valores dos pólos de T(s) para diversos valores do ganho K
8.1) Introdução
Representação Vetorial de Números Complexos
Número complexo em coordenadas 
polares:
(coordenadas cartesianas)
8.1) Introdução
Quando um número complexo é substituído em 
uma função complexa, é gerado um novo número 
complexo:
Zero em “–a”
Deslocando o vetor de “a” unidades para esquerda:
• Representação alternativa do mesmo número 
complexo.
• Origem no zero de F(s), término em 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔
Representação Vetorial de Números Complexos
8.1) Introdução
Exemplo: Notação do vetor:
- Número complexo
- Início no zero da função = -7
- Término em s=5+j2 
Representação Vetorial de Números Complexos
8.1) Introdução
Aplicando esses conceitos de números complexos em uma função complexa do tipo:
• Cada fator pode ser visto como um vetor.
• Cada vetor possui uma magnitude.
Calcula-se então a magnitude M de F(s) como:
Calcula-se o argumento 𝜽 de F(s) como:
8.1) Introdução
8.1) Introdução
Vetor com início no zero = -1
Vetor com 
início no 
pólo = 0
Vetor com 
início no 
pólo = -2
8.1) Introdução
Substituindo em:
Obtem-se:
8.1) Introdução
8.1) Introdução
a) Solução
8.1) Introdução
b) Solução
8.2 Definindo o Lugar das Raízes
Considere o seguinte sistema:
- Sistema de câmera de vídeo que acompanha um 
objeto automaticamente.
- Sensor duplo e um transmissor.
- Sensor duplo em cima da câmera e transmissor 
no objeto.
A técnica do lugar das raízes pode ser usada para analisar e projetar o efeito do ganho de malha sobre a 
resposta transitória e a estabilidade do sistema.
Sentido da 
câmera
Objeto
Sensor 2
Sensor 1
Transmissor
D1
D2
D1>D2
D1-D2 = Erro ≠0
Câmera desalinhada
D1
D2
D1=D2
D1-D2 = Erro=0
Câmera alinhada
O Lugar das raízes mostra os valores dos pólos de T(s) para diversos valores do ganho K
8.3 Propriedades do Lugar das Raízes
- Mudanças no ganho K1 provocam mudanças na velocidade de 
resposta da câmera.
- Contudo, mudanças no ganho também mudam os pólos do 
sistema, o que altera a resposta transitória, podendo também 
torna-lo instável.
Cálculando os pólos para 
diversos valores de ganho
8.3 Propriedades do Lugar das Raízes
Posição dos 
pólos para cada 
valor de ganho K
8.3 Propriedades do Lugar das Raízes
• Movimentação dos pólos
• Ganho K de 0 a 50
* Estudo apenas para valores positivos de K
* Não é possível saber qual pólo sobe e qual pólo desce
Ponto de 
encontro = -5
Lugar das raízes
8.3 Propriedades do Lugar das Raízes
Analisando o lugar das raízes para esse 
sistema
 Para ganho K<25
- Os pólos são reais: Sistema 
superamortecido
 Para ganho K=25
- Pólos reais e múltiplos: Sistema 
criticamente amortecido.
 Para ganho K>25
- Pólos complexos: Sistema subamortecido
8.3 Propriedades do Lugar das Raízes
Analisando o lugar das raízes para esse sistema
 Para ganho K>25
- Pólos complexos: Sistema subamortecido
- Valor real dos pólos é sempre igual: tempo de 
assentamento sempre o mesmo
- Aumentando o ganho: 
o Relação de amortecimento diminui.
o Ultrapassagem percentual aumenta.
o Frequência de oscilação amortecida aumenta.
o Redução do instante de pico.
 Para qualquer valor de ganho
- Sistema sempre estável
- Resposta também nunca será senoidal
Essa análise é possível de ser feita também para sistemas com mais de 2 pólos
através da técnica do lugar das raízes.
8.3 Propriedades do Lugar das Raízes
Função de transferência em malha fechada
Existe um pólo quando o denominador se anula, 
ou seja:
ou
(Forma polar de -1)
ou
e
(múltiplo impar de 180°)
8.3 Propriedades do Lugar das Raízes
Exemplo 1:
Qualquer ganho e pólo da tabela que 
for substituído na função de 
transferência teremos:
K=5 e s=-9.47 
K=5 e s=-0.53 
K=10 e s=-8.87 
8.3 Propriedades do Lugar das Raízes
Exemplo 2:
Função de transferência em malha aberta
Função de transferência em malha fechada
Para que um ponto s com algum K seja um 
pólo, ele deve satisfazer:
e
8.3 Propriedades do Lugar das Raízes
Exemplo 2:
Considerando oponto: -2+j3
𝜃2 (s+3)  (-2 +j3 +3) = (1+j3) = 3.16<71.57°
𝜃1 (s+4)  (-2 +j3 +4) = (2+j3) = 3.6<56.31°
𝜃4 (s+1)  (-2 +j3 +1) = (-1+j3) = 3.16<108.43°
𝜃3 (s+2)  (-2 +j3 +2) = (0+j3) = 3<90°
O ponto -2+j3 não é um ponto sobre o lugar das raízes (não é um pólo para o sistema 
com a malha fechada)
≠
8.3 Propriedades do Lugar das Raízes
Exemplo 3:
Considerando o ponto: −2 +
𝑗 2
2
𝜃2 (s+3)  (−2 +
𝑗 2
2
+3) = 1.22<35.26°
𝜃1 (s+4)  (−2 +
𝑗 2
2
+4) = 2.12<19.47°
𝜃4 (s+1)  (−2 +
𝑗 2
2
+1) = 1.22<144.73°
𝜃3 (s+2)  (−2 +
𝑗 2
2
+2) = 0.7<90°
=
19.47+35.26-90-144.73 = -180
Esse ponto é um pólo do sistema para algum valor de K
8.3 Propriedades do Lugar das Raízes
Exemplo 3:
Considerando o ponto: −2 +
𝑗 2
2
Calculando o valor do ganho K:
(s+3)  (−2 +
𝑗 2
2
+3) = 1.22<35.26°
(s+4)  (−2 +
𝑗 2
2
+4) = 2.12<19.47°
(s+1)  (−2 +
𝑗 2
2
+1) = 1.22<144.73°
(s+2)  (−2 +
𝑗 2
2
+2) = 0.7<90°
=
1.22 𝑥 0.7
2.12 𝑥 1.22
Esse ponto é um pólo quando o K=0.33
8.3 Propriedades do Lugar das Raízes
8.3 Propriedades do Lugar das Raízes
a) solução
-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
-3
-2
-1
0
1
2
3
0.190.270.360.5
0.66
0.88
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0.060.120.190.270.360.5
0.66
0.88
0.060.12
Pole-Zero Map
Real Axis (seconds-1)
Im
ag
in
ar
y 
A
xi
s 
(s
ec
on
ds
-1
)
8.3 Propriedades do Lugar das Raízes
a) solução
Desenhando pólos e zeros e traçando vetores
8.3 Propriedades do Lugar das Raízes
a) solução
8.3 Propriedades do Lugar das Raízes
8.4 Esboçando o Lugar das Raízes
É possível encontrar o lugar das raízes fazendo uma varredura no plano s para localizar os 
pontos para os quais os ângulos somam um múltiplo ímpar de 180. 
(tarefa para um computador)
 É possível esboçar o local das raízes sem precisar de esforço computacional.
 Em seguida é possível plotar exatamente o local das raízes.
8.4 Esboçando o Lugar das Raízes
Regras para esboçar o lugar das raízes
1. Número de ramos
Exemplo:
2 pólos 2 ramos
8.4 Esboçando o Lugar das Raízes
Regras para esboçar o lugar das raízes
2. Simetria
 Pois sistemas reais não podem ter 
coeficientes complexos
Eixo Real 
Coeficientes reais
8.4 Esboçando o Lugar das Raízes
Regras para esboçar o lugar das raízes
3. Segmentos sobre o eixo real
8.4 Esboçando o Lugar das Raízes
Regras para esboçar o lugar das raízes
4. Pontos de entrada e saída
O lugar das raízes se inicia nos pólos finitos e infinitos da função em malha aberta e 
termina nos zeros finitos e infinitos da função também em malha aberta.
8.4 Esboçando o Lugar das Raízes
Regras para esboçar o lugar das raízes
5. Comportamento no infinito
* O número de pólos é sempre igual ao número de zeros
8.4 Esboçando o Lugar das Raízes
Regras para esboçar o lugar das raízes
5. Comportamento no infinito
Exemplo:
- Três pólos finitos em s=0, -1 e -2.
- Não há zeros finitos
- Três zeros no infinito
S tendendo ao infinito 
Zeros no infinito
8.4 Esboçando o Lugar das Raízes
8.4 Esboçando o Lugar das Raízes
Calculando o ponto de encontro das assíntotas:
Ponto de intersecção 
sobre o eixo real
=-1.333
8.4 Esboçando o Lugar das Raízes
Cálculo dos ângulos das retas que se cruzam em -1.333:
𝜃𝑎 =
2.0 + 1 𝜋
4 − 1
=
𝜋
3
K=0
𝜋
3
= 60°
8.4 Esboçando o Lugar das Raízes
Cálculo dos ângulos das retas que se cruzam em -1.333:
𝜃𝑎 =
2.1 + 1 𝜋
4 − 1
=
3 𝜋
3
= 𝜋
K=1
𝜋
8.4 Esboçando o Lugar das Raízes
Cálculo dos ângulos das retas que se cruzam em -1.333:
𝜃𝑎 =
2.2 + 1 𝜋
4 − 1
=
5𝜋
3
K=2
5𝜋
3
= 300°
8.4 Esboçando o Lugar das Raízes
Cálculo dos ângulos das retas que se cruzam em -1.333:
Se k continuar a 
aumentar os ângulos se 
repetem
8.4 Esboçando o Lugar das Raízes
Zero no 
infinto
Zero no 
infinto
Zero no 
infinto
4 pólos finitos
1 zero finito
3 zeros no infinito
8.4 Esboçando o Lugar das Raízes
Fórmulas:
8.4 Esboçando o Lugar das Raízes
8.4 Esboçando o Lugar das Raízes
xxx