Exercícios de Análise Real

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARA´ - UNIFESSPA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS - ICE
FACULDADE DE MATEMA´TICA - FAMAT
DISCIPLINA: Fundamentos de Ana´lise Real
Prof.: Me. Mangabeira Neto
1a Lista de Exerc´ıcios
1. Mostre que se p ∈ N e´ par se, e somente se, p2 for par.
2. Mostre, por induc¸a˜o, que
(a) 1 + 2 + 3 + ...+ n =
n(n+ 1)
2
.
(b) 13 + 23 + 33 + ...+ n3 = (1 + 2 + ...+ n)2.
(c) 12 + 22 + ...+ n2 =
1
6
(
2n2 + 3n2 + n
)
3. Mostre que
√
3 na˜o e´ um nu´mero racional.
4. Mostre que
√
5 na˜o e´ um nu´mero racional.
5. Mostre que a me´dia geome´trica de dois nu´meros positivos nunca excede a sua me´dia
aritme´tica, isto e´, se a > 0 e b > 0, enta˜o
√
ab ≤ a+ b
2
.
6. Prove que |x+ y| ≤ |x|+ |y| ∀x, y ∈ R (Desigualdade Triangular)
7. Prove que |x− y| ≥ ||x| − |y|| ∀x, y ∈ R (2a Desigualdade Triangular)
8. Se a1, ..., an e b1, ..., bn forem nu´meros reais, demonstre a desigualdade de Cauchy -
Schwarz (
n∑
i=1
aibi
)2
≤
(
n∑
i=1
a2i
)(
n∑
i=1
b2i
)
9. Sejam A um subconjunto limitado de R e α ∈ R. Definimos os conjuntos αA E A+α
por
αA = {αa; a ∈ A}
A+ α = {a+ α; a ∈ A}
(a) Se α > 0, enta˜o inf(αA) = α inf(A) e sup(αA) = α sup(A)
(b) Se α < 0, enta˜o inf(αA) = α sup(A) e sup(αA) = α inf(A)
(c) Se α ∈ R, enta˜o inf(α+ A) = α+ inf(A) e sup(α+ A) = α+ sup(A)
10. Mostre que a2 + ab+ b2 ≥ 0 ∀a, b ∈ R.
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