aula 08 funções

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INTRODUÇÃO À ENGENHARIA 2014 NOTA
AULA PRÁTICA No. 08 – FUNÇÕES (PARÁBOLAS) - 22 A 28 DE ABRIL
PROF. ANGELO BATTISTINI
NOME RA TURMA NOTA
Objetivos do experimento: Nesta aula estudamos um tipo específico de função 
matemática, a parábola. 
Conhecimentos desenvolvidos durante a aula: Construção e posicionamento de 
parábolas, análise dos seus coeficientes (“a”, “b" e “c"). 
Habilidades necessárias: Construção e interpretação de gráficos. 
Atitudes esperadas: Com esta aula espera-se que o aluno consiga posicionar e ajustar a 
localização de uma parábola. 
INTRODUÇÃO: Na Engenharia, muitos fenômenos são descritos matematicamente para 
que seu comportamento possa ser estudado. Também as formas ou os perfis de objetos 
podem ser descritos por funções matemáticas, no sentido de melhorar a sua performance. 
Esse campo é chamado de modelagem matemática, no qual uma função matemática é 
utilizada para relacionar grandezas e seus efeitos. 
Para que se possa modelar um fenômeno, é necessário que ele seja estudado para, em 
seguida, elaborar a equação característica do fenômeno. 
O Cálculo nos oferece diversas técnicas de elaboração de funções que descrevam um 
fenômeno qualquer, como por exemplo o polinômio de Taylor, funções lógicas, séries 
numéricas, entre outros. 
Hoje em dia, o cálculo e a modelagem de fenômenos são feitos com auxílio de 
computadores, de modo que a tarefa do engenheiro fica muito facilitada. Mas mesmo 
assim, é importante que o engenheiro conheça as técnicas de modelagem matemática 
porque o computador não cria o modelo, apenas executa os cálculos de acordo com o 
modelo proposto. 
As funções matemáticas utilizadas são as mais variadas: exponenciais, logarítmicas, 
trigonométricas, polinomiais… Nesta aula vamos estudar um tipo específico de função: as 
polinomiais de grau 2, ou seja, as parábolas. 
Parábola (do grego: παραβολή) pode ser definida como o conjunto dos pontos que são 
equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma reta dada (chamada de 
diretriz). É uma curva plana. 
Figura 1: foco e diretriz de uma parábola 
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As parábolas podem ser descritas de diversas maneiras, a mais comum é na forma 
cartesiana: 
f(x) = a.x2 + b.x + c 
As parábolas podem descrever vários movimentos e curvas, como a trajetória de um objeto 
lançado obliquamente, o salto de um atleta, o movimento de uma bola de futebol. Também 
refletores de antenas (chamadas de antenas parabólicas) e de faróis de iluminação têm um 
perfil parabólico, ou seja, que podem ser descritos por uma parábola. 
No caso dos faróis de carro as lentes parabólicas posicionadas na parte de trás dos faróis 
dos veículos permitem que a luz gerada pelos mesmos seja direcionada para um ponto 
específico, o foco da parábola, que normalmente é apontado para o solo, evitando desta 
forma que a luz de um carro ofusque a visão de um motorista que venha em direção 
oposta. 
Nas antenas parabólicas, o refletor tem a forma parabólica e a antena está localizada no 
foco da parábola, permitindo que as ondas eletromagnéticas se concentrem nesse ponto 
aumentando a performance da antena. !
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Figura 2: no salto de um atleta, seu centro de gravidade descreve um movimento parabólico 
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ATIVIDADE PRÁTICA: 
1. Nas folha no final deste roteiro há vários gráficos. Neles você representará várias 
parábolas. No primeiro gráfico (Gráfico 1), vamos ver o que acontece quando variamos o 
termo “a” da equação. 
Utilizando a equação y = f(x) = a.x2 + b.x + c, fazemos “b" e “c” nulos (b = c = 0), e teremos 
somente: y = f(x) = a.x2. 
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a) Na tabela 1 a seguir, calcule f(x) para “a” = 1. 
Tabela 1 
b) Em seguida, na tabela 2, repita os cálculos para “a" = 2:	
! Tabela 2 
c) Da mesma forma, na tabela 3, fazemos cálculos para “a" = 3: !
Tabela 3 
Utilizando o gráfico 1 (no final da apostila), construa os gráficos das funções calculadas.	
(Existe uma parábola diferente para cada valor de “a”, desenhe todas as parábolas das 
tabelas 1, 2 e 3 no GRÁFICO 1)	
Tendo feito os gráficos, responda:	
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Como o termo “a" interfere na parábola?
2. Neste item, mantendo o valor de “a" constante e igual a 1 (e mantendo c = 0), variamos 
o valor de “b” para ver como ele afeta a parábola. 
Antes disso, vamos ver um novo conceito: 
O vértice de uma parábola é o seu ponto de mínimo (se a abertura da parábola for “para 
cima”, no caso de a > 0, ou ponto de máximo, se a abertura da parábola for “para baixo”, o 
que ocorre quando a < 0). O valor da abcissa na qual se localiza o vértice (xv) é calculado 
por : 1
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Tendo a abcissa do vértice, utilizando a própria função f(x) podemos determinar a 
ordenada e, consequentemente, o ponto onde se situa o vértice da parábola. 
a) EXEMPLO: Consideramos a função y = f(x) = 1.x2 + 1.x (ou seja, a = 1; b = 1; e c = 0). 
Inicialmente, calculamos a abcissa do vértice da parábola: 
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A partir da abcissa, calculamos também a ordenada: 
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Isso significa que o vértice da parábola se situa no ponto: V = (-0,5; -0,25) 
Em seguida, preenchemos a tabela 4: 
Tabela 4 
b) Vamos repetir o procedimento para b = 2. 
y = f(x) = 1 .x2 + 2.x (ou seja, a = 1; b = 2; e c = 0). 
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 Você verá como se chega a essa fórmula nas aulas de Cálculo, quando for estudar Derivadas1
Calcule a abcissa e a ordenada do vértice da parábola: 
Em seguida, calcule alguns valores na tabela 5 que irão permitir a construção da parábola: 
Tabela 5 
b) Vamos repetir o procedimento para b = - 2. 
y = f(x) = 1 .x2 + 2.x (ou seja, a = 1; b = - 2; e c = 0). 
Calcule a abcissa e a ordenada do vértice da parábola: 
Em seguida, calcule alguns valores na tabela 6 para depois podermos construir a parábola: 
Tabela 6 
Neste item, mantivemos constantes “a" e “c" e variamos “b" para ver como as parábolas 
mudam quando mudamos o valor de “b”. Para visualizar melhor, vamos utilizar o GRÁFICO 
2, no final do roteiro, e esboçar essas três parábolas que acabamos de calcular. Depois de 
fazer os gráficos, responda no quadro: 
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xv = _____________ yv = ______________
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xv = _____________ yv = ______________
3. Falta agora estudar como “c" afeta a parábola. Para isso, vamos repetir o procedimento, 
mantendo “a” e “b" fixos e variar “c”. Vamos fixar “b” fazendo b = 0 (isso significa que a 
abcissa do vértice da parábola (xv) será nula, ou seja, o vértice da parábola estará sobre o 
eixo “y”). Vamos manter a = 1. 
a) Para começar esta parte, fazemos c = 1 (teremos: a = 1; b = 0; e c = 1). A função será: 
y = f(x) = 1.x2 + 0.x + 1. 
Calcule a abcissa e a ordenada do vértice da parábola: 
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Em seguida, calcule alguns valores na tabela 7 para depois podermos construir a parábola: 
Tabela 7 
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b) Agora fazemos c = 2 (sem modificar “a" e “b" em relação ao item anterior). 
Calcule a abcissa e a ordenada do vértice da parábola: 
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xv = _____________ yv = ______________
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xv = _____________ yv = ______________
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Como o termo “b" interfere na parábola?
Em seguida, calcule alguns valores na tabela 8 visando a construção da parábola: 
Tabela 8 
c) E agora, repetimos os procedimentos para c = -2: 
Calcule a abcissa e a ordenada do vértice da parábola: 
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E preenchemos a tabela 9: 
Tabela 9 
E para finalizar esta parte, desenhe as três últimas parábolas no GRÁFICO 3 e responda a 
questão no quadro: 
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xv = _____________ yv = ______________
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Como o termo “c" interfere na parábola?
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
1. Utilizando somente parábolas, construa uma figura (por exemplo: uma camiseta, um 
“rosto”, ou qualquer outra imagem que você conseguir criar – veja exemplos no final). 
Escreva as equações das parábolas (DEVEMSER USADAS NO MÍNIMO OITO 
PARÁBOLAS, COM AS RESPECTIVAS EQUAÇÕES). Use o gráfico 4 no final da apostila. 
2. Utilizando a fórmula de Báscara, calcule as raízes das nove parábolas trabalhadas na 
aula, indicando os resultados na Tabela 10. Localize as raízes nos gráficos: 
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Tabela 10 
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CONCLUSÕES: Em poucas linhas, descreva o que de importante foi aprendido na aula. 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Um jogador de futebol chuta uma bola situada na origem (0,0). A bola atinge 5 m de 
altura e bate no solo a 30 m do ponto de onde ele chutou. Sabendo que a bola 
descreveu uma trajetória que pode ser representada por uma parábola, desenhe a 
parábola e escreva sua equação. 
2. O Capitão América usa seu escudo para atingir seu inimigo que estava escondido. Para 
isso, arremessa o escudo em uma trajetória parabólica, sendo que, onde o Capitão 
América lança seu escudo é descrito nos eixos das coordenadas (x, y) como (0,0) e o 
local onde o vilão é atingido é descrito como (20,0). Escreva uma equação que 
descreve a trajetória do escudo até atingir o alvo. 
3. A tabela 11 (próxima página) mostra os valores obtidos em uma medição de um 
equipamento eletrônico. A partir dos valores, obtenha o gráfico da medição e escreva a 
equação que descreve o fenômeno. 
4. PARÁBOLA NO PAPEL: para obter o desenho de uma parábola numa folha de papel: 
utilize metade de uma folha A4. Numa das faces marque pontos, na margem inferior, 
distanciados 1 cm entre si. Vire o papel do outro lado e marque um ponto A, 3 cm acima 
do centro da margem inferior do papel. Em seguida, dobre o papel de modo que o 1º 
ponto que marcou coincida com o ponto A. Vinque bem. Abra o papel e dobre-o outra 
vez, repetindo a operação para todos os pontos (veja na figura 3 na próxima página). 
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Tabela 11 
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Figura 3: construindo a parábola no papel !!
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
• Holtzapple, M. T. e Reece, W. D.; Introdução à Engenharia; LTC Editora, 2006. ISBN: 
9788521615118. 
• Maia, Diana: Função Quadrática: Uma abordagem didática; Dissertação de mestrado; 
PUC-SP, 2007 
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EXEMPLOS DE FIGURAS FEITAS COM PARÁBOLAS ! !!
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Aplicativos gratuitos para celulares para confecção de gráficos 
Android: Grapher, Mathematics 
Apple: Quick Graph, Graph FX, Good Grapher 
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GRÁFICO 1 
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GRÁFICO 2 
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GRÁFICO 3 
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GRÁFICO 4
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