Biblioteca 1062023

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GST0019	
  –	
  Matemática	
  para	
  Negócios	
   Receita,	
  Custo	
  e	
  Lucro	
  
 
Função	
  Custo	
   𝑪 𝒙 = 𝑪𝑭+ 𝑪𝑽.𝒙	
  𝑥	
  →	
  é	
  a	
  quantidade	
  produzida	
  ou	
  negociada.	
  
CF	
  -­‐	
  Custo	
  Fixo	
  →	
  é	
  o	
  custo	
  que	
  independe	
  da	
  quantidade	
  produzida	
  ou	
  das	
  vendas.	
  
CV	
  -­‐	
  Custo	
  variável	
  →	
  é	
  o	
  custo	
  que	
  varia	
  proporcionalmente	
  com	
  a	
  quantidade	
  produzida.	
  
Custo	
  Médio	
  (Custo	
  Unitário)	
  𝑪𝑴 𝒙 = 𝑪 𝒙𝒙 	
  
Função	
  Receita	
   𝑹 𝒙 = 𝑷.𝒙	
  	
  P	
  →	
  preço	
  de	
  venda	
  𝑥	
  →	
  é	
  a	
  quantidade	
  produzida	
  ou	
  negociada.	
  
Função	
  Lucro	
   𝑳 𝒙 = 𝑹 𝒙 − 𝑪 𝒙 	
  𝐿 𝑥 = 𝑃. 𝑥 − (𝐶𝐹 + 𝐶𝑉. 𝑥)	
  𝐿 𝑥 = 𝑃. 𝑥 − 𝐶𝐹 − 𝐶𝑉. 𝑥	
  𝐿 𝑥 = 𝑃. 𝑥 − 𝐶𝑉. 𝑥 − 𝐶𝐹	
  𝐿 𝑥 = 𝑃 − 𝐶𝑉 . 𝑥 − 𝐶𝐹	
  
Margem	
  de	
  contribuição	
   𝑴𝒄 = 𝑷− 𝑪𝑽	
  
Ponto	
  de	
  Equilíbrio	
  É	
  a	
  quantidade	
  negociada	
  para	
  que	
  a	
  função	
  custo	
  seja	
  igual	
  a	
  função	
  receita.	
  Deste	
  modo,	
  a	
  função	
  lucro	
  é	
  igual	
  a	
  zero.	
   Se	
  	
  𝑹 𝒙 = 𝑪 𝒙 ,	
  onde,	
  𝐿 𝑥 = 𝑅 𝑥 − 𝐶(𝑥),	
  temos:	
  𝑳 𝒙 = 𝟎	
  
Ponto	
  de	
  Equilíbrio	
  	
  (𝒙𝒆𝒒)	
   𝑳 𝒙 = 𝟎𝑹 𝒙 = 𝑪(𝒙)	
  	
  
GST0019	
  –	
  Matemática	
  para	
  Negócios	
   Receita,	
  Custo	
  e	
  Lucro	
  
 
Exemplo	
  Dado	
  o	
  custo	
  fixo	
  igual	
  a	
  4	
  u.m,	
  o	
  custo	
  variável	
  por	
  unidade	
  igual	
  a	
  2	
  u.m	
  e	
  o	
  preço	
  de	
  venda	
  de	
  um	
  produto	
  ou	
  serviço	
   igual	
  a	
  4	
  u.m,	
  determine	
  as	
   funções	
  Custo,	
  Receita	
  e	
  Lucro	
  e	
  calcule	
  o	
  ponto	
  de	
  equilíbrio	
  (u.m	
  =	
  unidades	
  monetárias)	
  𝐶𝐹 = 4,	
  𝐶𝑉 = 2	
  e	
  𝑃 = 4:	
  
• 𝑪 𝒙 = 𝟐𝒙+ 𝟒	
  
• 𝑹 𝒙 = 𝟒𝒙	
   𝐿 𝑥 = 4𝑥 − 2𝑥 + 4 	
  𝐿 𝑥 = 4𝑥 − 2𝑥 − 4	
  
• 𝑳 𝒙 = 𝟐𝒙− 𝟒	
  Cálculo	
  do	
  ponto	
  de	
  equilíbrio:   𝐿 𝑥 = 0𝑅 𝑥 = 𝐶(𝑥) 𝑜𝑢	
  𝐿 𝑥 = 0	
  2𝑥 − 4 = 0	
  2𝑥 = 4	
  𝒙𝒆𝒒 = 𝟐  unidades	
  	
  
𝑅 𝑥 = 𝐶 𝑥 	
  4𝑥 = 2𝑥 + 4	
  4𝑥 − 2𝑥 = 4	
  2𝑥 = 4	
  𝒙𝒆𝒒 = 𝟐  unidades	
  
Exercícios	
  
	
  
1. Obtenha	
  o	
  ponto	
  de	
  equilíbrio,	
  a	
  função	
  lucro	
  e	
  esboce	
  o	
  gráfico	
  de	
  𝑹 𝒙 ,𝑪 𝒙  𝒆  𝑳(𝒙)	
  
para	
  os	
  seguintes	
  itens:	
  a) 𝑅 𝑥 = 200𝑥  𝑒  𝐶 𝑥 = 10.000+ 150𝑥	
  b) 𝑅 𝑥 = 15𝑥  𝑒  𝐶 𝑥 = 5+ 14𝑥	
  	
  
2. Uma	
   editora	
   pretende	
   lançar	
   um	
   livro	
   e	
   estima	
   que	
   a	
   quantidade	
   vendida	
   seja	
   de	
  
20.000	
  unidades.	
  Se	
  o	
  custo	
  fixo	
  de	
  fabricação	
  for	
  de	
  R$150.000,00	
  e	
  o	
  custo	
  variável	
  
for	
  de	
  R$20,00	
  por	
  unidade.	
  Qual	
  o	
  preço	
  mínimo	
  que	
  a	
  editora	
  deverá	
  cobrar	
  pelo	
  
livro	
  para	
  não	
  ter	
  prejuízo?	
  	
  
3. Uma	
   malharia	
   opera	
   a	
   um	
   custo	
   fixo	
   de	
   R$2.000,00.	
   O	
   custo	
   variável	
   por	
   malhas	
  
produzidas	
  é	
  de	
  R$60,00	
  e	
  o	
  preço	
  unitário	
  de	
  venda	
  R$100,00.	
  Nestas	
  condições,	
  seu	
  
nível	
   mensal	
   de	
   venda	
   é	
   de	
   2.000	
   unidades.	
   O	
   proprietário	
   resolve	
   fazer	
   uma	
  
promoção	
  e	
  estima	
  que	
  reduzindo	
  em	
  10%	
  o	
  preço	
  unitário,	
  as	
  vendas	
  aumentarão	
  
em	
  20%.	
  Você	
  acha	
  vantajosa	
  essa	
  alteração?	
  
GST0019	
  –	
  Matemática	
  para	
  Negócios	
   Receita,	
  Custo	
  e	
  Lucro	
  
 	
  
4. Uma	
  editora	
  vende	
  certo	
  livro	
  por	
  R$60,00	
  a	
  unidade.	
  Seu	
  custo	
  fixo	
  é	
  de	
  R$10.000,00	
  
e	
  o	
  custo	
  variável	
  de	
  R$40,00	
  por	
  unidade.	
  Qual	
  o	
  ponto	
  de	
  equilíbrio?	
  	
  	
  
5. Quantas	
  unidades	
  a	
  editora	
  do	
  problema	
  anterior	
  deverá	
  vender	
  para	
  ter	
  lucro	
  igual	
  
a	
  R$8.000,00?	
  	
  	
  
6. Sabendo	
  que	
  a	
  margem	
  de	
  contribuição	
  por	
  unidade	
  é	
  de	
  R$3,00,	
  o	
  preço	
  de	
  venda	
  é	
  
de	
  R$10,00	
  e	
  o	
  custo	
  fixo	
  R$150,00,	
  obtenha:	
  
	
  a) A	
  função	
  Receita	
  b) A	
  função	
  Custo	
  	
  c) A	
  função	
  Lucro	
  d) O	
  Ponto	
  de	
  Equilíbrio	
  e) A	
  quantidade	
  que	
  deve	
  ser	
  vendida	
  para	
  o	
  lucro	
  ser	
  R$180,00	
  	
  
7. Para	
   fabricar	
   cadeiras	
   uma	
   empresa	
   desenvolveu	
   a	
   seguinte	
   função	
   Custo:	
   𝑪 𝒙 =𝟓𝒙+ 𝟏𝟓𝟐𝟒:	
  a) Calcule	
  o	
  custo	
  para	
  fabricar:	
  I. 1	
  cadeira;	
  II. 4	
  cadeiras;	
  III. 100	
  cadeiras.	
  a) Calcule	
  o	
  custo	
  médio	
  para:	
  I. 1	
  cadeiras;	
  	
  II. 4	
  cadeiras;	
  III. 100	
  cadeiras.	
  b) Quantas	
  cadeiras	
  podem	
  ser	
  fabricadas	
  se	
  dispusermos	
  de:	
  I. R$2.524,00;	
  II. R$1.574,00;	
  III. R$1.600,00;	
  IV. R$1.000,00.	
  c) Esboce	
   o	
   gráfico	
   da	
   função	
   custo	
   fornecida,	
   considerando	
   uma	
   produção	
   mensal	
  máxima	
  de	
  300	
  cadeiras.	
  	
  
GST0019	
  –	
  Matemática	
  para	
  Negócios	
   Receita,	
  Custo	
  e	
  Lucro	
  
 
8. Uma	
   sapataria	
   confecciona	
   pares	
   de	
   sapatos	
   com	
   a	
   seguinte	
   função	
   custo:	
   𝑪 𝒙 =𝟐𝟒𝟓,𝟓𝟕+ 𝟑,𝟕𝟖𝒙,	
  onde	
  C	
  é	
  o	
  custo	
  em	
  R$	
  e	
  x	
  é	
  a	
  quantidade	
  de	
  pares	
  de	
  sapato.	
  a) Qual	
  o	
  custo	
  fixo	
  e	
  qual	
  é	
  o	
  custo	
  variável?	
  b) Calcule	
  e	
  interprete:	
  C(100)	
  e	
  C(1000).	
  c) Calcule	
  o	
  custo	
  unitário	
  para	
  80	
  pares	
  de	
  sapato	
  fabricados.	
  d) Considerando	
   que	
   a	
   capacidade	
  máxima	
   da	
   sapataria	
   seja	
   produzir	
  1200	
   pares	
   de	
  sapato,	
  monte	
  o	
  domínio	
  da	
  função	
  C(x).	
  e) Esboce	
  o	
  gráfico	
  da	
  função	
  custo	
  dada.	
  (quando	
  a	
  produção	
  máxima	
  não	
  é	
  fornecida,	
  a	
  reta	
  que	
  representa	
  a	
  função	
  custo	
  não	
  terá	
  fim,	
  tratando-­‐se,	
  assim,	
  de	
  uma	
  semi-­‐reta).	
  	
  
9. O	
   encanador	
   José	
   cobra	
   por	
   serviço	
   o	
   valor	
   de	
   R$50,00	
   mais	
   R$6,00	
   por	
   hora	
   de	
  
trabalho.	
  Já	
  o	
  encanador	
  Sebastião,	
  cobra	
  um	
  valor	
  fixo	
  de	
  R$	
  60,00	
  mais	
  R$4,00	
  por	
  
hora	
  de	
   trabalho.	
   Se	
   ambos	
   têm	
  a	
  mesma	
  qualidade	
  de	
   serviço,	
   qual	
  o	
   critério	
  que	
  
você	
  usaria	
  para	
  chamar	
  um	
  em	
  detrimento	
  do	
  outro?	
  	
  
10. A	
  empresa	
  transportadora	
  A	
  cobra	
  por	
  mudança	
  R$250,00	
  para	
  carregar	
  o	
  caminhão	
  
mais	
  R$15,00	
  por	
  quilômetro	
  rodado.	
   Já	
  a	
  empresa	
  B	
  cobra	
  por	
  quilômetro	
  rodado	
  
R$18,00	
  mais	
  R$400,00	
  para	
  carregar	
  o	
  caminhão.	
  Monte	
  ambas	
  as	
  funções	
  de	
  custo	
  
e	
  demonstra	
  graficamente,	
  a	
  partir	
  de	
  qual	
  quilometragem	
  é	
  vantagem	
  escolher	
  uma	
  
em	
  detrimento	
  da	
  outra.	
  	
  
11. Umasorveteria	
  opera	
  mensalmente	
  nas	
  seguintes	
  condições:	
   custo	
  variável	
  R$4,50,	
  
custos	
  fixos	
  de	
  R$2.200,00	
  e	
  preço	
  do	
  Kg	
  do	
  sorvete	
  R$8,00.	
  Responda:	
  a) Para	
  uma	
   sorveteria,	
   cite	
  dois	
   (02)	
   itens	
  que	
  geram	
  custos	
   fixos	
   e	
  dois	
   (02)	
   itens	
  que	
  geram	
  custos	
  variáveis.	
  b) Obtenha	
  a	
  função	
  custo,	
  receita	
  e	
  lucro.	
  c) Se	
  forem	
  vendidos	
  mensalmente	
  900	
  Kg	
  de	
  sorvete,	
  qual	
  será	
  o	
  lucro?	
  d) A	
  sorveteria	
  resolve	
  fazer	
  uma	
  promoção,	
  diminuindo	
  em	
  20%	
  o	
  preço	
  do	
  Kg	
  do	
  sorvete,	
  o	
  que	
  gera	
  um	
  aumento	
  no	
  consumo	
  em	
  50%.	
  Você	
  manteria	
  essa	
  promoção?	
  Justifique.	
  e) Esboce	
   o	
   gráfico	
   das	
   funções	
   Custo,	
   Receita	
   e	
   Lucro,	
   indicando	
   a	
   quantidade	
   de	
  equilíbrio	
  (𝑥!")	
  com	
  seu	
  par	
  𝐿(𝑥!").	
  	
  
GST0019	
  –	
  Matemática	
  para	
  Negócios	
   Receita,	
  Custo	
  e	
  Lucro	
  
 
12. Uma	
  pequena	
   fábrica	
  de	
   rações	
  opera	
  mensalmente	
  nas	
   seguintes	
   condições:	
   custo	
  
variável	
   R$3,00	
   por	
   saco	
   de	
   ração,	
   custos	
   fixos	
   de	
   R$3.500,00	
   e	
   preço	
   do	
   saco	
   de	
  
ração	
  R$4,00.	
  Responda:	
  a) Obtenha	
  a	
  função	
  custo,	
  receita	
  e	
  lucro	
  por	
  saco	
  de	
  ração.	
  b) Se	
  forem	
  produzidos	
  mensalmente	
  4000	
  sacos	
  de	
  ração,	
  qual	
  será	
  o	
  lucro?	
  c) Suponha	
  que	
  uma	
  diminuição	
  de	
  5%	
  no	
  preço	
  do	
  saco	
  de	
  reação,	
  aumente	
  o	
  consumo	
  em	
  20%.	
  Você	
  diminuiria	
  o	
  preço?	
  Justifique.	
  d) Esboce	
   o	
   gráfica	
   das	
   funções	
   Custo,	
   Receita	
   e	
   Lucro,	
   indicando	
   a	
   quantidade	
   de	
  equilíbrio	
  (𝑥!")	
  com	
  seu	
  par	
  𝐿(𝑥!").	
  	
  	
  	
  	
   	
  
GST0019	
  –	
  Matemática	
  para	
  Negócios	
   Receita,	
  Custo	
  e	
  Lucro	
  
 
Solução	
  	
  1)	
   a)	
  
	
  b)	
  	
  2)	
  
	
  	
  3)	
  
GST0019	
  –	
  Matemática	
  para	
  Negócios	
   Receita,	
  Custo	
  e	
  Lucro	
  
 
	
  	
  4)	
  
	
  	
  5)	
  
GST0019	
  –	
  Matemática	
  para	
  Negócios	
   Receita,	
  Custo	
  e	
  Lucro	
  
 
	
  	
  6)	
  
	
  	
  7)	
  
GST0019	
  –	
  Matemática	
  para	
  Negócios	
   Receita,	
  Custo	
  e	
  Lucro	
  
 
a. Custo: 
i. C(1) = 5.(1)+1524 = 1529 
ii. C(4) = 5.(4)+1524 = 1544 
iii. C(100) = 5.(100)+1524 = 2024 
b. Custo Médio -> 𝐶𝑀 𝑥 =   !"(!)! : 
i. 𝐶𝑀 1 =   !" !! = !"#$! = 𝑅$1529 
ii. 𝐶𝑀 4 =   !" !! = !"##! = 𝑅$386 
iii. 𝐶𝑀 100 =   !" !""!"" = !"!#!"" = 𝑅$20,24 
c. X: 
i. 𝐶𝑇 𝑥 = 𝑅$2524 2524 = 5𝑥 + 1524 5𝑥 = 2524− 1524 5𝑥 = 1000 𝑥 = 10005 = 200  𝑐𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 
ii. 𝐶𝑇 𝑥 = 𝑅$1574 1574 = 5𝑥 + 1524 5𝑥 = 1574− 1524 5𝑥 = 50 𝑥 = 505 = 10  𝑐𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 
iii. 𝐶𝑇 𝑥 = 𝑅$1600 1600 = 5𝑥 + 1524 5𝑥 = 1600− 1524 5𝑥 = 76 𝑥 = 765 = 15,2   → 15  𝑐𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 
iv. 𝐶𝑇 𝑥 = 𝑅$1000 1000 = 5𝑥 + 1524 5𝑥 = 1000− 1524 5𝑥 = −524 𝑥 = −5245 = −104,80   →  0  𝑐𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 
d. Gráfico da função custo 𝐶𝑇 𝑥 = 5. 𝑥 + 1524: 
 
C(x) 
x 
1524 
300 
3024 
GST0019	
  –	
  Matemática	
  para	
  Negócios	
   Receita,	
  Custo	
  e	
  Lucro	
  
 8)	
  
a. CF = 245,67 e CV = 3,78 
b. 𝐶 100 = 245,67+ 3,78. 100 =  623,67 𝐶 1000 = 245,67+ 3,78. 1000 =  4025,67 
Interpretação: Quanto maior a quantidade produzida, maior será o custo total. 
c. Custo unitário = CM(x) 𝐶𝑀 80 =  𝐶𝑇 8080 𝐶𝑀 80 = 3,78. 80 + 245,6780 = 548,0780 𝐶𝑀 80 = 6,85  𝑅$/𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
d. D = { X ∈R | 0 ≤ x ≤ 1200 } 
e. Gráfico de 𝐶 𝑥 = 245,67+ 3,78. 𝑥: 
 	
  9)	
  
	
  	
  	
  	
  
C(x) 
4781,67 
245,67 
120
0 
X 
GST0019	
  –	
  Matemática	
  para	
  Negócios	
   Receita,	
  Custo	
  e	
  Lucro	
  
 10)	
  
	
  11)	
  
	
  
GST0019	
  –	
  Matemática	
  para	
  Negócios	
   Receita,	
  Custo	
  e	
  Lucro	
  
 	
  12)