TRABALHO CALCULO

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Estudo de Equações Diferenciais Ordinárias
Introdução
Este trabalho consiste de um estudo de equações diferenciais ordinárias e de seus métodos de determinação de suas soluções. É bem conhecido que muitos fenômenos que interessam às Engenharias e outras ciências podem ser estudadas através de modelos matemáticos nos quais aparecem de modo importante equações ordinárias. Processos contínuos que envolvam a análise de taxa de variação, são geralmente descritos por meio da noção da derivada. Entendese também que o estudo de modelos matemáticos simples, porém significativos, permite ao iniciante na matéria compreender melhor o poder e o limite dos métodos matemáticos utilizados, além disso tais modelos podem servir como um primeiro passo na busca de formação matemática necessária para que se possa desenvolver uma confiança na formulação e exploração de novos modelos.
Estudo de Equações Diferenciais Ordinárias
Classificação das EDO's
Muitos problemas significativos da engenharia, das ciências físicas e das ciências sociais, formulados em termos matemáticos, exigem a determinação de uma função que obedece a uma equação que contém uma ou mais derivadas da função desconhecida. Estas equações são equações diferenciais.
Temos as equações diferenciais ordinárias e equações diferenciais parciais. Uma das classificações se baseia em a função desconhecida depender de uma só variável ou de diversas variáveis. No primeiro caso, na equação diferencial só aparecem derivadas ordinárias e a equação é uma equação diferencial ordinária. No segundo caso, as derivadas são derivadas parciais, e a equação é uma equação diferencial parcial. Como um exemplo para equações diferenciais ordinárias, temos:
tdR −=, onde K é uma constante conhecida. Um exemplos
típico de equação diferencial parcial é a equação do potencial:
dy yxuddx yxud
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Equações Diferenciais de Primeira Ordem
Equações Lineares
Se a função da equação dy/dt = f(t,y) depende linearmente da variável dependente y, então a equação pode ser escrita na forma:
dy =+, e é chamada de equação diferencial linear de
primeira ordem. Vamos admitir que p e g são funções conhecidas e contínuas no intervalo α < x < β. Por exemplo, a equação diferencial:
dy , é uma equação linear particularmente simples, com as
funções p(x) =21 e g(x) = 23 , ambas constantes.
Temos como exemplo a resolução da equação 232 dy e determinar como as soluções se comportam para grandes valores de x. Para resolver esta equação, observamos que se y ≠ 3 podemos rescrever a equação na
forma 2 dy , daí então dt dy
Uma vez que o primeiro membro da equação dt dy
, é a derivada
de 3ln−y, temos d . Segue-se então que se:
cty +−=− 2 3ln, onde c é uma constante de integração arbitrária.
Portanto, com a forma exponencial de ambos os membros, obtemos: )2exp()exp(3tcy−±=−, onde )exp(cc±=também é uma constante arbitrária não nula.
Fator integrante
Inicialmente, escrevemos )exp(rt r Ky+−= (I) na forma
Estudo de Equações Diferenciais Ordinárias crt r Kyert+−−=−)exp( (I), e depois derivando os dois membros em relação a t, vem: )exp()exp()'(rtKrtryy−=−− (I), que é equivalente a equação
Kry dt
Observe que agora podemos resolver a equação (IV) invertendo os passos precedentes. Transpondo o termo ry para o lado esquerdo da equação e multiplicando por e-rt , obtemos a equação (I). Note que o lado esquerdo de (I) é a derivada de ye-rt , de modo que a equação se torna:
	)exp())'exp((rtKrty−=−
	(V)
Finalmente integrando os dois membros da equação (V), obtemos a equação (I) e portanto a solução (I).
Lidando agora com a questão da equação )()(tgytp dt objetivo é multiplicar a equação diferencial (VI) por um fator integrante apropriado e assim colocá-la em uma forma integrável. Para determinar esse fator integrante primeiro multiplicamos a Eq.(VI) por uma função µ(t), ainda indeterminada. Temos agora:
	µ(t)y’ + µ(t)p(t)y = µ(t)g(t)
	(VII)
Devemos agora reconhecer o lado esquerdo da Eq.(VII) como a derivada de alguma função. O fato é que existem dois termos e um dos termos é µ(t)y’ sugere que o lado esquerdo da equação (VII) pode ser a derivada do produto µ(t)y. Para que isto seja verdade, o segundo termo do lado esquerdo da Eq.(VII),
	µ’(t) = p(t)µ(t)
	(VIII)
µ(t)p(t)y, deve ser igual a µ’(t)y. Isto significa que µ(t) deve satisfazer a equação diferencial:
Se admitirmos que µ(t) é positiva, podemos escrever a equação (VIII) como:
dt d=µ, então integrando ambos os termos,
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Pela escolha da constante K arbitrária como zero, temos a função u mais simples possível, ou seja ∫=dttpt)(exp)(µ(IX).
De forma que µ(t) é positiva para todos os t conforme admitimos. Depois de determinar-mos o fator integrante u(t), voltamos a equação dy =+ e multiplicamos por µ(t), obtendo assim a equação (VII). Como µ
	[µ(t)y]’ = µ(t)g(t)
	(X)
satisfaz à Eq.(VIII), a Eq.(VII) se reduz a Integrando ambos os membros da equação (X) obtemos:
cdttgt
y µ
Uma vez que y representa qualquer solução da Eq.(VI), concluímos que toda solução da Eq.(VI) está incluída no segundo membro da Eq.(XI). Portanto, esta expressão é uma solução geral da Eq.(VI). Observe que para encontrar a solução dada pela Eq.(XI) são necessárias duas integrações, uma para ter µ(t) pela Eq.(IX) e outra para determinar y pela Eq.(XI).
Para se determinar o fator integrante µ(t), é necessário ter certeza que a equação diferencial tem exatamente a forma (VI).
Interpretando geometricamente a Eq.(XI) nota-se que ela é de uma família infinita de curvas, uma para cada valor de c. Estas curvas são as curvas integrais da equação diferencial. Muitas vezes é importante selecionar um membro particular da família de curvas integrais, o que se faz pela identificação de u ponto particular (t0, y0) por onde deve passar uma das curvas da solução. Isto se escreve como y(t0) = y0, e é conhecida como uma condição inicial.
Exemplo
Determinar o valor de y0 para o qual a solução do problema de valor inicial permaneça finita quando t → ∞. Dado:
y’ –y = 1 + 3sent, y(0) = y0 Inicialmente determinamos o fator integrante:
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Agora multiplicando todos os termos da equação pelo fator integrante temos: tttyttyt sen3)exp()exp()exp()(')exp( −+−=−−−
Identificando o lado esquerdo da equação como sendo a derivada do produto e integrando ambos os lados temos:
tytd sen)exp(3)exp())()(exp( , sendo c uma constante.
Dividindo ambos os lados por exp(-t), temos:
Como nossa condição inicial é y(0) = y0, substituindo t por zero na equação acima temos:
que a solução do problema permaneça finita, devemos igualar o termo multiplicativo da exponencial a zero, tendo assim:
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Aplicações das equações lineares de primeira ordem
Exemplo 1
A pessoa A abre uma conta remunerada com 25 anos, deposita
R$200,0 por ano durante 10 anos e depois disso não faz mais nenhum depósito. A pessoa B espera até os 35 anos para abrir a sua conta remunerada, mas deposita R$200,0 por ano durante 30 anos. Nos dois casos não há nenhum investimento inicial. (a) Supondo uma taxa de juros de 8% ao ano, qual será o saldo das duas contas quando os titulares tiverem 65 anos? (b) Para uma taxa de juros constante mas não especificada r, determine o saldo das duas contas quando os titulares tiverem 65 anos em função de r.
Resolução: (a) tStS , queremos saber Sa(10) = ?
Resolvendo a equação através do fator integrante, obtemos:
)1)(exp(2000)( −= rtr tSa, agora substituindo em t o tempo de 10 anos,
pessoa A possuirá este valor.
Agora temos: 3010≤<t rtSatSa)()('=, achando a solução desta equação obtemos:
)exp()(rtKtSa=, sendo K uma constante, que em nosso caso, é exatamente Sa (10) = R$ 30638,52. Substituindo temos:
Estudo de Equações Diferenciais Ordinárias tSbtS
Como já havíamos encontrado a solução desta equação para a pessoa A, temos:
(b) Expressando em função de r, temos:
Umaforma de analisarmos melhor esse problema seria utilizando o Matlab, e plotarmos as curvas para ambas pessoas:
plot(r,Sb,r,Sa,'r') % 'r' dá cor vermelha a segunda curva grid on
Exemplo 2
Um estudante universitário faz um empréstimo de R$800,0 para comprar um carro. A taxa de juros cobrada pelo banco é de 10% ao ano. Supondo que os juros sejam capitalizados continuamente e que o estudante amortize a dívida continuamente a uma taxa anual constante K para que o empréstimo seja pago em três anos. Determine também o total de juros pagos durante esses três anos.
Resolução:
rt r rtStS , onde K é a constante que queremos
determinar.
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Determinando agora os juros, temos:
Portanto os juros foram de R$ 1256,17.
Exemplo 3
O comprador de uma casa não pode pagar mais do que R$80,0 por mês de prestação. Suponha que a taxa de juros seja 9% ao ano e que o prazo de pagamento seja de 20 anos. Suponha também que os juros sejam capitalizados continuamente e que os pagamentos também sejam feitos continuamente. (a) Determine o preço máximo que este comprador pode pagar pela casa. (b) Determine o total de juros pagos pelo comprador se ele comprar a casa nas condições do item (a)
Resolução: (a) Partindo da mesma equação do exemplo anterior:
rt r rtStS , onde K é a quantia que o comprador
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Portanto o máximo que o comprador poderá pagar pela casa será R$ 89034,78. (b)
Exemplo 4
Quais seriam as respostas do problema anterior se o prazo do empréstimo fosse aumentado para 30 anos?
Resolução: (a) rt r
K rtStS onde K é a quantia que o comprador
Portanto o máximo que o comprador poderá pagar pela casa será R$ 9.498,08. (b)
Exemplo 5
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Uma bola com massa de 0,25 Kg, é lançada para cima, com a velocidade inicial de 20 m/s, do terraço de um edifício com 30 m de altura. Desprezar a resistência do ar. Calcular a altura máxima que a bola atinge acima do solo.
Resolução:
Partindo de: gamgma−=⇔−= Como a aceleração é a derivada da velocidade, temos:
g dt dv −=, agora integrando ambos os lados dtg dt dv t
velocidade no instante zero é de 20 m/s.
Temos que quando a bola sobe sua velocidade final é zero, então substituindo:
Sabemos que a velocidade é a derivada do espaço, então:
t dt dx8,920−=, integrando ambos os lados dttdt dt dx t
Para calcularmos a altura máxima percorrida pelo bola devemos substituir o tempo gasto para a bola subir.
mx41,20)041,2(=, mas como queremos a altura que a bola atinge acima do solo e o edifício possuí 30 m, devemos:
Altura máxima = 20,41 + 30 = 50,41 m Portanto a altura máxima atingida pela bola é de 50,41 m.
Exemplo 6
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Vamos admitir as mesmas condições do problema anterior, porém com uma força resistiva devido ao ar, expressa por 30v, onde v está em m/s. Achar a altura máxima, acima do solo, atingida pela bola?
Resolução:
vmg dt dv m v dt dv
Achando agora o fator integrante
)152exp()75 10exp()(t==µ, multiplicando todos os membros da equação pelo fator integrante dvt −=+, identificando o lado
esquerdo da equação como a derivada de um produto e integrando ambos os lados, temos:
t t dttvt
)152exp(5,935,73)( ttv −+−= Para calcularmos o tempo que a bola levou para subir, igualamos a velocidade final a zero
Como sabemos que a derivada do espaço é a velocidade, encontramos então a equação do espaço para calcularmos a altura máxima que a bola alcançou
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25,701)152exp(25,7015,73)(+−−−=tttx, como queremos a altura máxima e temos o tempo de subida da bola, substituímos o tempo de subida na equação do espaço:
Portanto x(1,805) = 17,3 m, mas como a bola foi lançada de um edifício de 30 m, teremos que a altura máxima alcançada pela bola foi de 47,3 m.
NOME: Carolaine de Amorim Venâncio
Matrícula: 201502207397
Matéria: Cálculo III