Cálculo de Determinantes de Matrizes

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Neste módulo, não daremos a definição padrão de determinantes via somatório envolvendo 
sinais de permutações, pois não há necessidade de entrarmos em tantos detalhes para os 
concursos desejados. Assim, apresentaremos o cálculo de determinantes de matrizes de 
ordem 1, 2 e 3 e em seguida utilizaremos o Teorema de Laplace para estender os 
determinantes para matrizes de ordem superior! 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA 
 
 
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2 
SUMÁRIO 
 
 
1. DETERMINANTES DE 1º ORDEM _______________________________________________ 3 
2. DETERMINANTE DE 2º ORDEM _______________________________________________ 3 
3. DETERMINANTE DE 3º ORDEM – REGRA DE SARRUS ______________________________ 3 
4. TEOREMA DE LAPLACE ______________________________________________________ 4 
5. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES _________________________________________ 6 
6. REGRA DE CHIÓ ____________________________________________________________ 7 
7. MATRIZ DE VANDERMONDE _________________________________________________ 7 
8. TEOREMA DE BINET ________________________________________________________ 8 
9. MATRIZ INVERSA ___________________________________________________________ 8 
10. CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA ______________________________________________ 9 
11. EXERCÍCIOS DE COMBATE __________________________________________________ 10 
GABARITO ___________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3 
DETERMINANTES 
1. DETERMINANTES DE 1º ORDEM 
Seja 
 11A a
uma matriz 1x1 então 
11 11detA |a | a 
. 
2. DETERMINANTE DE 2º ORDEM 
Seja 
11 12
21 22
a a
A
a a
 
  
 
 então
11 12
11 22 12 21
21 22
a a
detA a a a a
a a
  
. 
Ex.: 1 2
( 1).3 ( 2).4 5
4 3
 
    
 
3. DETERMINANTE DE 3º ORDEM – REGRA DE SARRUS 
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32
31 32 33
a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
     
 
A Regra de Sarrus é um dispositivo mnemônico para calcular o determinante de 3º ordem. 
TERMOS POSITIVOS TERMOS NEGATIVOS 
diagonal principal e diagonais paralelas à ela diagonal secundária e diagonais paralelas à ela 
 
 
 
 
 
 
 
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4 
Ex.: 
3 2 4
1 2 3
4 1 5


 = 325+(2)(3)4 +111 424 (2)15 (3)13 = 45. 
4. TEOREMA DE LAPLACE 
Este nos dá uma maneira geral de calcular o determinante, recursivamente, de qualquer matriz quadrada. 
Vejamos alguns conceitos preliminares. 
4.1. MENOR COMPLEMENTAR 
Seja uma matriz quadrada de ordem n  2 e 
ija
 um elemento qualquer de A. O menor complementar 
ijM
 do 
elemento 
ija
 é o determinante da matriz de ordem (n 1), obtida a partir de A eliminando-se a linha i e a 
coluna j. 
Vamos aplicar essa definição a uma matriz quadrada de ordem 3 e obter a expressão do menor complementar 
de alguns elementos. 
Considere a matriz 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 
 
  
 
22 23
11
32 33
a a
M
a a

 = 
22 33 23 32a a a a
 
21 23
12
31 33
a a
M
a a

 = 
21 33 23 31a a a a
 
11 13
22
31 33
a a
M
a a

 = 
11 33 13 31a a a a
 
11 12
23
31 32
a a
M
a a

 = 
11 32 12 31a a a a
 
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5 
4.2. COFATOR 
Seja uma matriz quadrada de ordem n  2 e 
ija
 um elemento qualquer de A. O cofator do elemento 
ija
 é o 
número definido por, 
i j
ij ijA ( 1) M
  
onde 
ijM
 é o menor complementar de 
ija
. 
Calculando os cofatores a partir dos menores obtidos no exemplo anterior: 
1 1
11 11 11A ( 1) M M
  
 
1 2
12 12 12A ( 1) M M
   
 
2 2
22 22 22A ( 1) M M
  
 
2 3
23 23 23A ( 1) M M
   
 
4.3. TEOREMA DE LAPLACE 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n  2, o determinante de A é a soma dos produtos dos elementos de 
uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos cofatores. 
n n
pj pj iq iq
j 1 i 1
det A a A a A
 
    
 
Usando o teorema de Laplace na 3ª linha para o cálculo do determinante abaixo: 
1 2 3 4
4 2 1 3
3 0 0 3
2 0 2 3




 = 3A313A34= 3 1 3 4
2 3 4 1 2 3
3 ( 1) 2 1 3 3 ( 1) 4 2 1
0 2 3 2 2 2
 
 
       
 
 = 
= 320 3(4) = 48 
 
 
 
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6 
5. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 
Usando o teorema de Laplace para o cálculo do determinante conseguimos provar várias propriedades 
importantes que nos permitem calcular alguns determinantes específicos de uma maneira muita mais rápida 
e elegante. Vamos a elas: 
 Propriedade 1: O determinante da matriz identidade vale 1 
 Propriedade 2: Para toda matriz quadrada A temos que 
Tdet(A) det(A )
; 
 Propriedade 3: Seja B a matriz obtida a partir da matriz A pela troca de duas filas (linhas ou colunas) 
paralelas. Desta forma, temos 
det(B) det(A) 
; 
 Propriedade 4: Toda matriz que possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais tem determinante nulo; 
 Propriedade 5: Toda matriz que possui uma fila com todos os seus elementos nulos tem determinante 
nulo; 
 Propriedade 6: Seja B uma matriz obtida a partir de uma matriz A de modo que a i-ésima fila de B é igual a 
i-ésima fila de A multiplicada por uma constante k, então temos 
det(B) k.det(A)
; 
 Propriedade 7: Seja A uma matriz de ordem n e k um número real, então 
ndet(k.A) k .det(A)
; 
 Propriedade 8: 
11 1j 1j 1n
21 2j 2j 2n
n1 nj nj nn
11 1j 1n 11 1j 1n
21 2j 2n 21 2j 2n
n1 nj nn n1 nj nn
a (b c ) a
a (b c ) a
a (b c ) a
a b a a c a
a b a a c a
a b a a c a




  
 
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7 
 Propriedade 9: (Teorema de Jacobi) Adicionando-se a uma fila uma combinação linear de outras filas 
paralelas, o determinante não se altera. 
 Propriedade 10: Para toda matriz triangular (superior ou inferior) tem determinante igual ao produto dos 
elementos da diagonal. 
6. REGRA DE CHIÓ 
Este algoritmo serve, assim como o teorema de Laplace, para baixar a ordem do determinante. Importante 
saber é que só podemos aplicar a regra de Chió se existir algum elemento igual a 1. 
ALGORITMO: 
1) Seja um determinante de ordem n onde 
ija 1
, suprimem-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna; 
2) De cada elemento restante 
pqa
 do determinante subtraímos 
pj iqa .a
; 
3) O novo determinante tem ordem n-1 e quando multiplicado por 
i j( 1) 
 torna-se igual ao determinante 
 original. 
EXEMPLO: 
1 2 3
2 2 1 4 3 1 0 1
1 2 4 0 7 3 1 3
3 2 0 7 3 0 3 7
0 3 7
   
       
   
 
7. MATRIZ DE VANDERMONDE 
Chamamos de matriz de Vandermonde a uma matriz da forma, 
1 2 3 n
2 2 2 2
1 2 3 n
n 1 n 1 n 1 n 1
1 2 3 n
1 1 1 1
a a a a
V a a a a
a a a a   
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
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8 
O determinante de matrizes de Vandermonde é dado pelo produto de todas as possíveis diferenças 
i ja a
 
onde
i j
. 
8. TEOREMA DE BINET 
Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem, então vale a igualdade 
det(AB) det(A).det(B) . 
9. MATRIZ INVERSADizemos que uma matriz 
A
 quadrada de ordem n é inversível se existe uma matriz 
B
também de ordem 
n
 tal 
que 
AB BA I 
. Neste caso, dizemos que B é a matriz inversa de A e denotamos 1B A . 
PROPRIEDADES: 
Todas as matrizes aqui citadas serão quadradas de ordem n e inversíveis. 
i) Se 
AB I
, necessariamente 1B A e então podemos garantir que BA I . 
ii) 
 
11A A

 
 
iii) 
   
1 tt 1A A


 
iv) 
       
1 1 1 1
1 2 k k 2 1A A A A A A
   

 
v) 
   
1 kk 1A A


 
vi) 
 1
1
det A
detA
 
 e assim A é inversível se, e somente se, seu determinante é não nulo. 
 
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9 
 
Dada uma matriz a b
c d
 
 
 
 inversível, sua inversa é dada por 
d b1
c aad bc
 
   
. 
 
10. CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA 
Veremos agora o método do cálculo da matriz inversa através da matriz chamada adjunta. No próximo 
módulo, de sistemas lineares, veremos como calcular a matriz inversa resolvendo sistemas lineares. 
Dada uma matriz quadrada A, definimos a matriz adjunta de A como 
   
t
adj A cofA
 , ou seja, a matriz 
adjunta é a transposta da matriz dos cofatores. 
Assim, temos o seguinte resultado: 
 1
1
A adj A
detA
  
Este método é útil quando queremos encontrar um elemento específico da matriz inversa ou quando 
queremos inverter uma matriz de ordem baixa (2 ou 3 em geral). 
 
 
 
 
 
 
 
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10 
 
1. Observe a matriz a seguir. 
 
2senx cos x 1
senx cosx 0
senx 1 1
 
 
 
 
  
 
Resolvendo seu determinante, será obtido o seguinte resultado: 
a) 1 
b) sen x 
c) sen2 x 
d) sen3 x 
 
2. O número de raízes da equação 
x
x
x
0 3 1
0 3 2 0
4 3 3

 é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
3. Seja 
ijA (a )
 uma matriz quadrada de ordem 3 tal que, 
ij
p, se i j
a
2p, se i j

 

 com p inteiro positivo. Em tais 
condições, é correto afirmar que, necessariamente, det A é múltiplo de 
a) 2 
b) 3 
c) 5 
d) 7 
e) 11 
 
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11 
4. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3. Se 
1 2 3
A 0 1 1
1 0 2
 
  
 
  
 e B é tal que 1B 2A  , o determinante de 
B será 
a) 24 
b) 6 
c) 3 
d) 1/6 
e) 1/24 
 
5. Seja A uma matriz quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 4, qual o valor de x na equação 
Tdet(2AA ) 4x
? 
a) 4 
b) 8 
c) 16 
d) 32 
e) 64 
 
6. Quaisquer que sejam os números reais a, b e c, o determinante da matriz 
1 1 1 1
1 1 a 1 1
1 1 1 b 1
1 1 1 1 c
 
 
 
 
 
 
 vale: 
a) ab+ac+bc 
b) abc 
c) zero 
d) abc+1 
e) 1 
 
7. Se o determinante mostrado na figura é igual a zero, então 2x pode ser: 
 
x
x
x
1 1 1 1
1 2 2 1 1
1 1 3 2 1
1 1 1 1 2


 
 
a) 1/2 
b) 1/4 
c) 1 
d) 4 
e) 2 
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12 
8. Para todo x e y reais, com 
x y
, o quociente entre os determinantes 
2 2
x y x y 0
0 1 y
0 x x y
x y
y x
 

 é equivalente a: 
a) 2 2x xy y
x y
 

 
b) 2 2x xy y
x y
 

 
c) 2 2x xy y
x y
 

 
d) 2 2x xy y
x y
 

 
e) 2 2x xy y
x y
 

 
9. Seja a matriz A = (ai j)2x2 tal que 
i j
0, se i j
a 4
i j , se i j
j


 
  

. O determinante da inversa de A é: 
a) 14
 
b) 34
 
c) 32
 
d) 12
 
e) 43
 
 
10. (EFOMM 2010) Sejam as matrizes 
1 2 1 0
0 2 2 4
A
0 0 1 1
0 0 0 3
 
 
 
 
 
 
 ,
1 2 3 7
0 1 1 3
B
0 0 1 1
0 0 0 1
  
 
 
 
 
 
 e 
X AB
 . O determinante 
da matriz 12X é igual a: 
 
a) 1/6 
b) 1/3 
c) 1 
d) 8/3 
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13 
e) 6 
11. (EFOMM 2009) Se o determinante da matriz 
a b c
A d e f
g h i
 
 
 
  
 é 5, então 
a a b 3c
d d e 3f
g g h 3i



 é igual a 
a) zero 
b) cinco 
c) quinze 
d) trinta 
e) quarenta e cinco 
 
12. (EFOMM 2011) Sejam A, B e C matrizes de ordem 3 x 3 inversíveis tais que 
1detA 3 
e
 
1 1
det AB I 4
2
 
  
 
. Sabendo-se que I é a matriz identidade de ordem 3 tal que 
 
T1 1I 3C 2B A   
, o 
determinante de C é igual a 
a) –8/3 
b) –32/3 
c) –9 
d) –54 
e) –288 
 
13. (EFOMM 2012) Considere a matriz 
x 2 x 1
A 2 3x 1 1
4x 1 2 0
 
   
 
   
, então o valor de f no ponto de abscissa 1, 
onde 
 f x detA
 é: 
a) 18 
b) 21 
c) 36 
d) 81 
e) 270 
 
14. (EFOMM 2015) Sabendo-se que 
1/3e 2 3 1
2 3 4 5 6
det a1 2 3 4 5
0 1 3 5 12
3 1 2 0 4
 
 
  
  
 
 
 
 
 , calcule, em função de a, 
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14 
1/32e 2 8 24 2
1 2 3 4 5
det 2 3 4 5 6
0 1 3 5 12
3 0 5 5 16
 
 
 
  
 
 
 
 
 . 
a) 2a 
b) –2a 
c) a 
d) –a 
e) 3a 
 
15. (AFA 2015) Considere as seguintes simbologias em relação à matriz M: 
 
tM
é a matriz transposta de M 
1M
é a matriz inversa de M 
detM
é o determinante da matriz M 
 
Da equação 
   
1tX A B C

  
, em que A e (B+C) são matrizes quadradas de ordem n e inversíveis, afirma-se 
que: 
I. 
   
tt 11X A B C
    
 
 
II. 
 
1
detX
detA det B C

 
 
III. 
 1 t t tX B C A   
 
São corretas 
a) apenas I e II 
b) apenas II e III 
c) apenas I e III 
c) I, II e III 
 
16. (EN-11) 
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n, cujos determinantes são diferentes de zero. Nas proposições 
abaixo, coloque ( V ) na coluna à esquerda quando a proposição for verdadeira e ( F ) quando for falsa. 
( ) 
   ndet ( A) ( 1) detA
, onde –A é a matriz oposta de A. 
( ) 
  tdet A detA
, onde tA é a matriz transposta de A. 
( ) 
 1 1det A (detA)
, onde 1A é a matriz inversa de A. 
( ) 
det (3A.B) 3.det A.detB
. 
( ) 
  det (A B) det A detB
. 
Lendo a coluna da esquerda, de cima para baixo, encontra-se: 
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15 
a) ( V ) ( F ) ( V ) ( F ) ( F ). 
b) ( F ) ( F ) ( F ) ( V ) ( F ). 
c) ( F ) ( V ) ( F ) ( V ) ( V ). 
d) ( V ) ( V ) ( V ) ( F ) ( F ). 
e) ( V ) ( F ) ( V ) ( F ) ( V ). 
 
17. Sejam L, D e U matrizes quadradas de ordem n, cujos elementos da i-ésima linha e j-ésimacoluna 
i j
,
i jd
 e 
i ju
, respectivamente, são dados por: 
 , para
, para


 
 
2
i j
i
i j
i. j
0 i j
, 
 , para
, para


 
 
i j
i 1
i j
d i
0 i j
, 
 , para
, para


 
 
i j
2i
i j
i ju
0 i j
 
O valor do determinante de 
A LDU
 é igual a: 
a) 0. 
b) 1. 
c) n. 
d) 
n 1
. 
e) 
n 1
n

. 
 
18. Dada a matriz A, a soma do módulo dos valores de x que tornam o determinante da matriz A nulo é: 
 
 
 

 
 
  
2
1 2x 0 0
x 1 x 1 2
A
1 x 4 0 0
x 1 1 x 2
 
 
a) 7. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 10. 
e) 11. 
 
 
 
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16 
 
 
 
 
 
 
19. Considere
 5 5A M (R)
 com 
det(A) 6
 e 
 α R \ 0
 Se 
t t 2det(αA AA ) 6 α
, o valor de 

 é: 
a) 
1
6
. 
b) 6
6
. 
c) 3 36
6
. 
d) 1. 
e) 
216
. 
 
20. Seja A uma matriz quadrada inversível de ordem 4 tal que o resultado da soma 
4 3(A 3A )
 é uma matriz 
de elementos nulos. O valor do determinante de A é: 
a) 81. 
b) 27. 
c) 3. 
d) 27. 
e) 81. 
 
21. Sejam a, b, c e d reais não nulos. Determine o determinante da matriz 
2
2
2
2
bcd 1 a a
acd 1 b b
abd 1 c c
abc 1 d d
 
 
 
 
 
  
 na forma de um 
produto de números reais.