Variaveis Discretas

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Probabilidade II
Variáveis Aleatórias Discretas
Diana Maia
UEPB - CCT - DMEC
2014
Diana Maia Probabilidade II
Variáveis Aleatórias
Queremos tratar estatisticamente os experimentos
aleatórios.
Mas a estatística lida com números e então surge a
necessidade de se associar os resultados do experimento
a valores numéricos.
Além disso, mesmo quando o resultado é numérico,
algumas vezes estamos interessados em alguma fução
dos valores possíveis do experimento.
Diana Maia Probabilidade II
Variáveis Aleatórias
Queremos tratar estatisticamente os experimentos
aleatórios.
Mas a estatística lida com números e então surge a
necessidade de se associar os resultados do experimento
a valores numéricos.
Além disso, mesmo quando o resultado é numérico,
algumas vezes estamos interessados em alguma fução
dos valores possíveis do experimento.
Diana Maia Probabilidade II
Variáveis Aleatórias
Queremos tratar estatisticamente os experimentos
aleatórios.
Mas a estatística lida com números e então surge a
necessidade de se associar os resultados do experimento
a valores numéricos.
Além disso, mesmo quando o resultado é numérico,
algumas vezes estamos interessados em alguma fução
dos valores possíveis do experimento.
Diana Maia Probabilidade II
Variáveis Aleatórias
Definição
Definição
Uma variável aleatória é uma função que associa um número a
cada ponto do espaço amostral.
Denotaremos a variável aleatória por letras maiúsculas e
os valores possíveis por letras minúsculas.
Diana Maia Probabilidade II
Variáveis Aleatórias
Exemplos
Exemplo 1
Considere o experimento que consiste em lançar três moedas
e observar as faces obtidas. Vamos definir a variável aleatória
X = número de caras nas três repetições do experimento.
Neste caso, quais são os valores que tal variável assume?
Diana Maia Probabilidade II
Variáveis Aleatórias
Exemplos
Exemplo 2
Seja o experimento de lançar um dado honesto e observar a
face obtida. Vamos definir a variável
Y =
{
0, se o número obtido for par
1, se o número obtido for ímpar
que assume valores no conjunto {0,1}.
Diana Maia Probabilidade II
Variáveis Aleatórias
Exemplos
Exemplo 3
Semana passada, foi o período de matrículas para os alunos
veteranos da UEPB. Defina a variável aleatória
Z : Número de tentativas até conseguir fazer a matrícula.
Aqui podemos perceber que Z assume valores no conjunto
{1,2,3, . . . }.
Diana Maia Probabilidade II
Variáveis Aleatórias
Exemplos
Exemplo 3
Semana passada, foi o período de matrículas para os alunos
veteranos da UEPB. Defina a variável aleatória
Z : Número de tentativas até conseguir fazer a matrícula.
Aqui podemos perceber que Z assume valores no conjunto
{1,2,3, . . . }.
Diana Maia Probabilidade II
Variáveis Aleatórias
Exemplos
Exemplo 4
Agora o nosso experimento é observar o tempo de vida de
uma lâmpada. Se definirmos a variável
T : tempo de vida da lâmpada (em dias),
então, a variável T pode assumir valores em [0,∞).
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Variáveis Aleatórias
Como podemos ver, as variáveis X , Y e Z assumem
valores em conjuntos enumeráveis, o que não ocorre com
a variável T .
Também, o conjunto de valores possíveis de uma variável
aleatória pode ser finito ou não, limitado ou não.
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Variáveis Aleatórias
Definição
Se uma variável aleatória assume valores em um conjunto
enumerável (finito ou infinito), ela é dita discreta.
Se o conjunto dos valores possíveis da variável for o
conjunto dos números reais R ou um intervalo de R,
dizemos que a variável é contínua.
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Variáveis Aleatórias
Vamos denotar por S o conjunto dos valores que a variável
aleatória pode assumir.
Tal conjunto é chamado suporte.
Diana Maia Probabilidade II
Variáveis Aleatórias
Como fizemos quando estávamos lidando com os eventos,
queremos associar a cada valor x ∈ S uma probabilidade,
a qual deve representar as chances de tal resultado
ocorrer.
Frequentemente, para indicar a variável a qual se refere o
conjunto S, usamos também a notação de S com a
variável em questão em subscrito. Por exemplo, a variável
X assume valores em SX .
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Variáveis Aleatórias
Inicialmente, vejamos como lidar com as voriáveis
aleatórias discretas.
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Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuição de Probabilidade
Definição
Uma distribuição de probabilidade de uma variável aleatória
discreta X é uma função que associa a cada valor x ∈ SX a
sua correspondente probabilidade P(X = x).
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Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuição de Probabilidades
Exemplo 5
Considere o experimento e a variável X definidos no Exemplo
1. Qual é a distribuição de Probabilidades de X?
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Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuição de Probabilidades
Exemplo 6
Considere o experimento e a variável Y definidos no Exemplo
2. Qual é a distribuição de Probabilidades de Y?
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Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuição de Probabilidades
Exemplo 7
Dois dados foram lançados e observou-se as faces obtidas.
Seja:
X : soma das faces obtidas.
Qual é a distribuição de probabilidades de X?
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Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuição de probabilidades
Vale também salientar que, como estamos falando de
probabilidades, devemos ter SEMPRE
P(X = x) ≥ 0, ∀x ∈ SX∑
SX P(X = x) = 1.
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Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuição de Probabilidades
Exemplo 8
Seja X uma variável aleatória assumindo valores em
SX = {1,2,3}. Qual é o valor de c de modo que a tabela
abaixo represente uma distribuição de probabilidades?
x 1 2 3
P(X = x) 1/3 2c c
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Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuição de Probabilidades
Exemplo 9
Uma v.a. Y , com SY = {0,1,2} tem distribuição de
probabilidades
p(Y = y) =
y + 1
2
K y , ∀y ∈ SY .
1 Calcule K .
2 Calcule a probabilidade Y assumir um número par.
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Variáveis Aleatórias Discretas
Função de Distribuição Acumulada
Muitas vezes estamos interessados em calcular
probabilidades do tipo P(X ≥ x).
Assim, definimos a seguinte função.
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Variáveis Aleatórias Discretas
Função de Distribuição Acumulada
Definição
A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória
X é definida por
F (x) = P(X ≤ x).
No caso das variáveis discretas,
F (x) =
∑
a∈S:a≤x
P(X = a).
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Variáveis Aleatórias Discretas
Função de Distribuição Acumulada
Propriedades da Função de Distribuição Acumulada
a) 0 ≤ F (x) ≤ 1
b) F (x) é não decrescente e contínua à direita, isto é,
a < b ⇒ F (a) < F (b) e lim
x→a+
F (x) = F (a)
c) limx→−∞ F (x) = 0 e limx→+∞ F (x) = 1
Diana Maia Probabilidade II
Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuição de Probabilidades
Exemplo 10
Encontre a função de distribuição acumulada da X variável
aleatória assumindo valores em SX = {1,2,3}, com
distribuição de probabilidades
x 1 2 3
P(X = x) 13
4
9
2
9
e esboce seu gráfico.
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Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuição de Probabilidades
Exemplo 11
Uma v.a. Y , com SY = {0,1,2} tem distribuição de
probabilidades
p(Y = y) =
y + 1
2
(
1
3
)y
, ∀y ∈ SY .
Encontre FY (y) e esboce seu gráfico.
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Variáveis Aleatórias Discretas
Função de Distribuição Acumulada
Exemplo 12
Calcule a função de distribuição acumulada da v.a. X com
distribuição de probabilidade dada por
P(X = x) =
(
n
x
)
0,4x0,6n−x , para x ∈ {0,1,2, . . .6}e 0 caso contrário.
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Variáveis Aleatórias Discretas
Esperança
Agora vamos definir uma importante quantidade associada
às variáveis aleatórias: a esperança matemática.
Diana Maia Probabilidade II
Variáveis Aleatórias Discretas
Definição
A esperança matemática de uma variável aleatória discreta X
assumindo valores em um conjunto S é dada por .
E(X ) =
∑
x∈S
x P(X = x).
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Variáveis Aleatórias Discretas
Esperança
Propriedades
Se c é uma constante, então E(cX ) = cE(X )
Se as esperanças das variáveis aleatórias X e Y existem,
então existe a esperança de X + Y e
E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ).
De maneira geral, se as esperanças das variáveis
aleatórias X1,X2, . . . ,Xn existem, então existe a esperança
de X1 + X2 + · · ·+ Xn e
E(X1 + X2 + · · ·+ Xn) = E(X1) + E(X2) + · · ·+ E(Xn).
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Variáveis Aleatórias Discretas
Esperança
Propriedades
Se c é uma constante, então E(cX ) = cE(X )
Se as esperanças das variáveis aleatórias X e Y existem,
então existe a esperança de X + Y e
E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ).
De maneira geral, se as esperanças das variáveis
aleatórias X1,X2, . . . ,Xn existem, então existe a esperança
de X1 + X2 + · · ·+ Xn e
E(X1 + X2 + · · ·+ Xn) = E(X1) + E(X2) + · · ·+ E(Xn).
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Variáveis Aleatórias Discretas
Esperança
Propriedades
Se c é uma constante, então E(cX ) = cE(X )
Se as esperanças das variáveis aleatórias X e Y existem,
então existe a esperança de X + Y e
E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ).
De maneira geral, se as esperanças das variáveis
aleatórias X1,X2, . . . ,Xn existem, então existe a esperança
de X1 + X2 + · · ·+ Xn e
E(X1 + X2 + · · ·+ Xn) = E(X1) + E(X2) + · · ·+ E(Xn).
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Variáveis Aleatórias Discretas
Esperança
Exemplo 13
Considere a variável aleatória X assumindo valores em
SX = {1,2,3}, com distribuição de probabilidades
x 1 2 3
P(X = x) 13
4
9
2
9
Calcule E(X ).
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Variáveis Aleatórias Discretas
Esperança
Exemplo 14
Uma v.a. Y , com SY = {0,1,2} tem distribuição de
probabilidades
p(Y = y) =
y + 1
2
(
1
3
)y
, ∀y ∈ SY .
Calcule E(X ), E(2X ), E(X + 1) e E(X 2).
Diana Maia Probabilidade II
Variáveis Aleatórias Discretas
Esperança
No Exemplo 14, calculamos a esperança de algumas
funções da variável aleatória.
Muitas vezes temos interesse em modelar funções de
variáveis aleatórias, mas não faremos isso ainda.
Mas, vamos ver como calcular esperança de tais funções.
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Variáveis Aleatórias Discretas
Esperança
No Exemplo 14, calculamos a esperança de algumas
funções da variável aleatória.
Muitas vezes temos interesse em modelar funções de
variáveis aleatórias, mas não faremos isso ainda.
Mas, vamos ver como calcular esperança de tais funções.
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Variáveis Aleatórias Discretas
Esperança
No Exemplo 14, calculamos a esperança de algumas
funções da variável aleatória.
Muitas vezes temos interesse em modelar funções de
variáveis aleatórias, mas não faremos isso ainda.
Mas, vamos ver como calcular esperança de tais funções.
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Variáveis Aleatórias Discretas
Esperança
Lema
Sejam X uma variável aleatória discreta, g é uma função real e
Y = g(X ). Então
E(Y ) =
∑
x
g(x)P(X = x).
Diana Maia Probabilidade II
Variáveis Aleatórias Discretas
Momentos
Um caso especialmente importante de funções de
variáveis aleatórias é quando calculamos esperança das
potências da variável aleatória.
Definição
A esperança de X k é denominada momento de ordem k da
variável aleatória X , para k = 1,2,3, . . .
Se X for discreta, então
E(X k ) =
∑
x
xkP(X = x)
Diana Maia Probabilidade II
Variáveis Aleatórias Discretas
Variância
Exemplo 15
Eu recebi duas propostas de emprego de duas empresas
diferentes.
Vamos definir S1 como sendo o salário da primeira
empresa e S2 o salário da segunda empresa. Sabendo
que
E(S1) = 1000 e E(S2) = 800,
qual dos dois empregos paga melhor?
Seria melhor escolher o emprego cuja média salarial é
maior? Essa informação sobre as esperanças é suficiente
para tomar uma decisão?
Diana Maia Probabilidade II
Variáveis Aleatórias Discretas
Variância
Supondo que ambas as empresas tenham apenas três valores
de salários com as seguintes distribuições
s P(S1 = s) t P(S2 = t)
100 15 700
2
5
200 35 800
1
5
4300 15 900
2
5
Neste caso, qual das duas opções seria melhor?
Diana Maia Probabilidade II
Variáveis Aleatórias Discretas
Variância
O exemplo acima nos mostra a necessidade de alguma
medida que indique quanto a variável varia em relação à
média.
Definição
A variância de uma variável aleatória X é dada por
Var(X ) = E [X − E(X )]2.
Diana Maia Probabilidade II
Variáveis Aleatórias Discretas
Variância
Observação
Alternativamente, podemos calcular a variância como
Var(X ) = E(X 2)− [E(X )]2.
Diana Maia Probabilidade II
Variáveis Aleatórias
Varância
Exemplo 16
Considere a variável aleatória X assumindo valores em
SX = {1,2,3}, com distribuição de probabilidades
x 1 2 3
P(X = x) 13
4
9
2
9
Calcule os dois primeiros momentos da variável X e Var(X ).
Diana Maia Probabilidade II
Variáveis Aleatórias
Variância
Exemplo 17
Uma v.a. Y , com SY = {0,1,2} tem distribuição de
probabilidades
p(Y = y) =
y + 1
2
(
1
3
)y
, ∀y ∈ SY .
Calcule Var(X ).
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Nas aulas passadas, vimos que a cada variável aleatória
discreta atribuímos uma distribuição de probabilidades.
Agora, vamos definir famílias de distribuições de
probabilidades, as quais dependem de um ou mais
parâmetros e que são usadas para modelar fenômenos
com características particulares.
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Um modelo probabilístico discreto é uma coleção de
distribuições de probabilidade indexada por um parâmetro.
O conjunto dos valores que o parâmetro pode assumir é
chamado Espaço paramétrico e será denotado por Θ.
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Uniforme Discreta
Dizemos que uma variável aleatória X tem distribuição
Uniforme Discreta em {1,2,3, . . . ,N}, N > 0, se sua
distribuição de probabilidades for da forma
P(X = x) =
1
N
, ∀x = 1,2, . . . ,N,
onde N é o parâmetro da distribuição.
Esta distribuição surge quando temos uma variável
aleatória assumindo valores no conjunto S = {1,2, . . . ,N}
e cada valor de S tem exatamente a mesma probabilidade
de acontecer, ou seja, são equiprováveis.
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Uniforme Discreta
Dizemos que uma variável aleatória X tem distribuição
Uniforme Discreta em {1,2,3, . . . ,N}, N > 0, se sua
distribuição de probabilidades for da forma
P(X = x) =
1
N
, ∀x = 1,2, . . . ,N,
onde N é o parâmetro da distribuição.
Esta distribuição surge quando temos uma variável
aleatória assumindo valores no conjunto S = {1,2, . . . ,N}
e cada valor de S tem exatamente a mesma probabilidade
de acontecer, ou seja, são equiprováveis.
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Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Uniforme Discreta
Características da Distribuição
1 Notação - X ∼ Unif (N).
2 Suporte - S = {1,2, . . . ,N}.
3 Variação do parâmetro - N ∈ {1,2, . . . }.
4 Esperança - E(X ) = N+12 .
5 Variância - Var(X ) = N
2−1
12
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Uniforme Discreta
Exemplo 18
Considerando o experimento de lançar um dado honesto e
observar a face obtida, defina:
X : Número daface observada.
Neste caso,
X ∼ Unif (6).
Qual a esperança e a variância de X?
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Uniforme Discreta
Exemplo 19
Em um curso de culinária, o professor resolveu sortear um
brinde entre seus 20 alunos. Os alunos foram enumerados de
1 a 20 e então o professor sorteou ao acaso um desses
alunos. Se definirmos
X : Número do aluno sorteado
Qual a distribuição de X neste caso?
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Bernoulli
Dizemos que uma variável aleatória X tem distribuição
Bernoulli se sua distribuição é dada por
P(X = 1) = p e P(X = 0) = 1− p,
onde o parâmetro p assume valores em (0,1).
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Bernoulli
Esta distribuição é usada para modelar situações em que
o experimento tem apenas dois resultados possíveis.
Ao resultado que estamos interessados em observar,
chamamos SUCESSO e ao outro resultado, chamamos
FRACASSO.
Tal tipo de experimento é chamado Ensaio de Bernoulli.
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Bernoulli
A distribuição Bernoulli modelará uma variável
X =
{
1, se observou-se SUCESSO
0, se observou-se FRACASSO,
sendo que P(SUCESSO) = p.
Vale salientar que sucesso, neste caso, não quer dizer um
resultado “bom”, mas aquilo que se quer observar.
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Bernoulli
Características da Distribuição
1 Notação - X ∼ Bernoulli(p).
2 Suporte - S = {0,1}.
3 Variação do Parâmetro - p ∈ (0; 1).
4 Esperança- E(X ) = p.
5 Variância - Var(X ) = p(1− p).
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Bernoulli
Exemplo 20
Considere esta sala de aula de Probabilidade 2. Para um
aluno escolhido ao acaso, defina a variável:
X =
{
1, se o aluno tem mais de 20 anos
0, caso contrário.
Qual a distribuição de X?
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Bernoulli
Exemplo 21
Considere esta sala de aula de Probabilidade 2. Para um
aluno escolhido ao acaso, defina a variável:
X =
{
1, se o aluno mora em Campina Grande
0, caso contrário.
Qual a distribuição de X agora?
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Binomial
Considere o seguinte contexto: repetimos n vezes,
independentemente, um ensaio de Bernoulli, com
probabilidade p de sucesso a cada repetição.
Se definirmos, para este experimento, a variável
X : número de sucessos nas n repetições
então X tem Distribuição Binomial com parâmetros n e p.
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Binomial
Se definirmos para cada uma das repetições dos ensaios
de Bernoulli
Yi =
{
1, se observou-se SUCESSO no i-ésimo ensaio
0, se observou-se FRACASSO no i-ésimo ensaio,
então a variável
X =
n∑
i=1
Yi ,
tem distribuição binomial com parâmetros n e p.
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Binomial
Dizemos que uma variável aleatória X tem distribuição
binomial com parâmetros n e p se sua distribuição de
probabilidade é dada por
P(X = x) =
(
n
x
)
px(1− p)n−x ,
sendo que n é o número de repetições e p é a “probabilidade
de sucesso”.
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Binomial
Características da Distribuição
1 Notação - X ∼ B(n,p) ou X ∼ Bin(n,p) (o que usaremos)
ou X ∼ Binom(n,p) ou X ∼ Binomial(n,p).
2 Suporte - S = {0,1,2, . . . ,n}.
3 Variação dos Parâmetros - n ∈ {1,2,3, . . . } e p ∈ (0; 1).
4 Esperança- E(X ) = np.
5 Variância - Var(X ) = np(1− p).
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Binomial
Exemplo 22
Numa criação de coelhos, 40% dos nascimentos são de
coelhos do sexo masculino. Num certo dia, nasceram 20
coelhos.
1 Qual a probabilidade de que nasçam pelo menos dois
coelhos machos neste dia?
2 Qual o número esperado de machos que nasceram neste
dia?
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Binomial
Exemplo 23
A probabilidade de que um paciente se recupere de uma
doença sanguínea rara é de 0,3. Se 15 pessoas contraíram
essa doença, qual é a probabilidade de que
1 Pelo menos 10 sobrevivam.
2 Exatamente 5 pessoas sobrevivam.
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Geométrica
Considere o experimento de repetir um ensaio de
Bernoulli, sendo que as repetições independentes e a
cada repetição tem-se probabilidade p de sucesso.
Repete-se tais ensaios até que o primeiro sucesso ocorra.
Se definirmos a variável
X : número de tentativas até o primeiro sucesso,
então X tem uma distribuição Geométrica com parâmetro
p, 0 < p < 1.
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Geométrica
Se uma variável aleatória X tem Distribuição Geométrica com
parâmetro p, 0 < p < 1, sua distribuição de probabilidade é
dada por
P(X = x) = (1− p)x−1p, x ∈ {1,2, . . . }.
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Geométrica
Características da Distribuição
1 Notação - X ∼ geom(p).
2 Suporte - S = {1,2, . . . }.
3 Variação do parâmetro - p ∈ (0; 1).
4 Esperança - E(X ) = 1p .
5 Variância - Var(X ) = 1−pp2
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Geométrica
Muitas vezes, em lugar de definir a distribuição geométrica
como sendo aquela que conta o número de tentativas até
o primeiro sucesso, considera-se como sendo o número
de fracassos até o primeiro sucesso.
Isso é um parametrização diferente da distribuição
geométrica e acarreta algumas mudanças que veremos a
seguir.
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Geométrica
De acordo com a nova parametrização, se uma variável
aleatória X tem Distribuição Geométrica com parâmetro p,
0 < p < 1, sua distribuição de probabilidade é dada por
P(X = x) = (1− p)xp, x ∈ {0,1,2, . . . }.
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Geométrica
Características da Distribuição
1 Notação - X ∼ geom(p).
2 Suporte - S = {0,1,2, . . . }.
3 Variação do parâmetro - p ∈ (0; 1).
4 Esperança - E(X ) = 1−pp .
5 Variância - Var(X ) = 1−pp2
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Geométrica
Exemplo 24
Numa criação de coelhos, 40% dos nascimentos são de
coelhos do sexo masculino.
1 Qual a probabilidade de que o primeiro macho a nascer
seja o quinto filhote nascido?
2 Qual é o número médio de nascimentos até que nasça o
primeiro coelho macho?
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Geométrica
Exemplo 25
A probabilidade de que um paciente seja diagnosticado com
uma determinaa doença sanguínea rara é de 0,3. Em um certo
laboratório, cada pessoa que chega é examinada para detectar
se ela tem ou não tal doença.
1 Qual é a probabilidade de que o primeiro paciente
diagnosticado com essa doença seja o primeiro?
2 Qual é a probabilidade de que o primeiro paciente
diagnosticado com essa doença apareçe até o quinto
paciente?
3 Qual é a probabilidade de que o primeiro paciente
diagnosticado com essa doença não apareça até a
terceira tentativa?
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Binomial Negativa
Considere o seguinte experimento: repetimos,
independentemente, ensaios de Bernoulli até que o
r -ésimo sucesso ocorra.
Neste caso, a variável aleatória
X : número de tentativas até o r -ésimo sucesso
tem distribuiçãoBinomial Negativa ou Pascal.
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Binomial Negativa
Se uma variável aleatória X tem distribuição binomial negativa
(Pascal), então sua distribuição de probabilidade é da forma
P(X = x) =
(
x − 1
r − 1
)
pr (1− p)x−r ,
onde x ∈ {r , r + 1, . . . }.
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Binomial Negativa
Para as demonstrações que faremos, relacionadas à
distribuição binomial negativa, precisaremos das seguintes
definições:
Podemos definir, de forma mais geral, o coeficiente
binomial para números negativos como(−a
b
)
=
(−a)(−a− 1) . . . (−a− b + 1)
b!
.
Alternativamente,(−a
b
)
= (−1)b (a + b − 1)!
b!(a− 1)! = (−1)
b
(
a + b − 1
b
)
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Binomial Negativa
Temos ainda que, para qualquer n ∈ R, desde que |q| < 1,
(1− q)−r =
∞∑
k=0
(−r
k
)
(−q)k =
∞∑
k=0
(
k + r − 1
r − 1
)
qk .
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Binomial Negativa
Características da Distribuição
1 Notação - X ∼ Binneg(r ,p).
2 Suporte - S = {r , r + 1, r + 2, . . . }.
3 Variação dos parâmetros - p ∈ (0; 1) e r ≥ 1.
4 Esperança - E(X ) = rp .
5 Variância - Var(X ) = r(1−p)p2
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Binomial Negativa
Exemplo 26
Sabe-se que 30% de certa população tem diabetes. Um
pesquisador deseja estudar certa característica dos diabéticos.
1 Qual o número médio de pessoas que o pesquisador deve
abordar até encontrar a quinta pessoa que tem diabetes?
2 Qual a probabilidade que ele tenha que abordar
exatamente 10 pessoas?
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Binomial Negativa
Exemplo 27
60% das pessoas que entram em certa loja acabam
comprando alguma coisa. Em certo dia, a loja faz uma
promoção em que o décimo cliente que comprar, ganhará um
desconto de 50% no valor a pagar.
1 Qual é a probabilidade de que o cliente premiado seja
exatamente o décimo a entrar na loja?
2 Qual é o número médio de clientes que entra na loja até
que haja um premiado?
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Hipergeométrica
Considere um grupo com N itens, sendo que k desses
tem uma determinada característica e os demais não a
tem. Então colhe-se uma amostra de n itens (sem
reposição) entre os N do grupo. Se definirmos
X : número de elementos da amostra de tamanho n que
tem a tal característica citada,
então X tem distribuição hipergeométrica com parâmetros
N, k e n.
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Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Hipergeométrica
Se X tem distribuição hipergeométrica com parâmetros N, k e
n, então
P(X = x) =
(k
x
)(N−k
n−x
)(N
n
) ,
para max{0,n − (N − k)} ≤ x ≤ min{k ,n}.
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Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Hipergeométrica
A distribuição hipergeométrica representa um modelo para
amostragem sem reposição de uma população com um
número finito de elementos, em que cada elemento pode
ser de um de dois tipos.
Se tal amostragem fosse com reposição, teríamos uma
distribuição binomial.
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Hipergeométrica
Características da Distribuição
1 Notação - X ∼ hipergeom(N, k ,n).
2 Suporte - max{0,n − (N − k)} ≤ x ≤ min{k ,n}
3 Variação dos parâmetros - N ≥ 1, 0 < K ≤ N e
0 < n < N.
4 Esperança - E(X ) = knN
5 Variância - Var(X ) = k nN
N−k
N
(
1− n−1N−1
)
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Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Hipergeométrica
Exemplo 28
De um baralho com 52 cartas, retiram-se 8 cartas ao acaso,
sem reposição. Qual é a probabilidade de que 4 sejam figuras?
Diana Maia Probabilidade II
Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Hipergeométrica
Exemplo 29
Pequenos motores elétricos são expedidos em lotes de 50
unidades.
Antes que uma remessa seja aprovada, um inspetor
escolhe 5 desses motores e os inspeciona.
Se nenhum dos motores inspecionados for defeituoso, o
lote é aprovado.
Se um ou mais forem detectados defeituosos, todos os
outros motores da remessa são inspecionados.
Supondo que existam, de fato, três motores defeituosos no
lote, qual é a probabilidade de que seja necessário
inspecionar todo o lote?
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Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Poisson
Se uma variável aleatória X tem Poisson com parâmetro λ > 0,
sua distribuição de probabilidade é dada por
P(X = x) =
e−λλx
x!
,
para x ∈ {0,1,2, . . . }.
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Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Poisson
A distribuição Poisson é especialmente associada a
contagens.
Em outras palavras, a distribuição Poisson é apropriada
para contar o números de ocorrências de um certo evento
em um dado intervalo de tempo ou região específica,
sendo que tais eventos ocorrem a uma taxa λ.
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Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Poisson
Características da Distribuição
1 Notação - X ∼ Poisson(λ).
2 Suporte - S = {0,1,2,3, . . . }
3 Variação do parâmetro- λ > 0.
4 Esperança - E(X ) = λ
5 Variância - Var(X ) = λ
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Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Poisson
Exemplo 30
Se o número de acidentes que ocorre por dia em uma
determinada rodovia tem distribuição Poisson com parâmetro
λ = 3, qual é a probabilidade de que não ocorram acidentes
hoje?
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Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Poisson
Exemplo 31
Numa central telefônica chegam, em média, 30 telefonemas
por hora. Qual é a probabilidade de que em uma hora hajam
exatamente 10 chamadas?
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Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Poisson
A distribuição Poisson pode ser vista como uma
aproximação da distribuição binomial quando o número de
repetições tende a infinito, com a condição de que npn = λ
permaneça constante.
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Modelos Probabilísticos Discretos
Distribuição Poisson
Exemplo 32
Em certa instalação industrial, acidentes ocorrem com baixa
frequência. Sabe-se que a probabilidade de que haja acidente
em certo dia é de 0,005, e os acidentes são independentes
uns dos outros.
Qual é a probabilidade de que em um período de 400 dias haja
apenas um dia em que houve acidente?
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