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EXATAS – ÁREA DO CONHECIMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E ENGENHARIAS TRABALHO 2 – PESO: 1,0 PONTOS – DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFA. VÂNIA M P SLAVIERO – vmpslavi@ucs.br ALUNO(S): JOEMIR CASAGRANDE RIGHEZ DATA: 15/11/2017 Orientações: só será feita a correção do trabalho que tem todas as questões feitas. A entrega deve ser feita no dia da prova, na pasta Webfólio, até o horário lá fixado. Trabalhos atrasados não serão aceitos e trabalhos que configurem como cópias, parciais inclusive, terão nota zero. Duas questões, sorteadas em aula no dia da entrega, serão corrigidas, com valor 0,5 cada uma. Em negrito, após cada enunciado, encontra-se o que é solicitado. Pode ser feito em duplas, devendo constar o(s) nome(s) na entrega. Use o formato solicitado em cada questão para as respostas e edite o documento, retirando linhas em branco e cálculos desnecessários. O número de páginas não pode exceder a 6, incluindo o enunciado. Salve em .pdf. Questão 1 Use format short A intensidade de uma fonte radioativa é dada por I = Ioe -kt. Através de observações, tem-se: t 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 I 3,16 2,38 1,75 1,34 1,00 0,74 0,56 a) Encontre os valores de I0 e k e escreva a função de ajuste I(t); se este ajuste não foi dado em aula pesquise como deve ser feito. b) Ajuste aos dados uma função polinomial de quarto grau e responda: qual dos modelos é o melhor ajuste? Justifique. c) Faça o gráfico dos nodos, do ajuste exponencial e do ajuste polinomial numa única janela para confirmar tua resposta no item b). Comente. Linhas digitadas no MATLAB: clear clc format short x=[0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8]'; y=[3.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56]'; [a b, Sqe]=AjusteExp(x,y) plot(x,y,'or') hold on t=0.1:0.01:0.9; f=@(x) a*exp(b*x); plot(t,f(t),'b') m=4; [C, Sqe] = AjustePol(x,y,m) f=@(p) C(1,1)*p.^4 + C(2,1)*p.^3 + C(3,1)*p.^2 + C(4,1)*p + C(5,1); p=0.1:0.01:0.9; plot(p,f(t),'k') a) Função obtida: 5.6310 * exp^(-2.8883*t) I0 = 5.6310 k = -2.8883 Resíduo quadrático: 8.9700e-04 Explique como este ajuste é feito, passo por passo, em forma de texto: É realizada a linearização e em seguida o ajuste do polinômio e por fim aplicado logaritmo b) Função obtida: 4.1667*x^4 -14.1667 *x^3 + 20.5417 *x^2 -15.8167*x + 5.6114 Resíduo quadrático: 8.5238e-04 Melhor ajuste: ajuste polinomial Justificativa: pois obteve um resíduo quadrático menor. c) Gráfico e comentário Como pode se observar as duas curvas possuem um perfil muito semelhante. Questão 2 Use format short Realiza-se um teste de tensão para determinar o comportamento tensão-deformação da borracha. Os dados coletados são fornecidos a seguir. Deformação 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 4,4 4,8 5,2 5,6 6,0 Tensão (MPa) 0 3,0 4,5 5,8 5,9 5,8 6,2 7,4 9,6 15,6 20,7 26,7 31,1 35,6 39,3 41,5 Deseja-se ajustar uma função polinomial a todos os dados, resolvendo-se um sistema linear de 3 incógnitas e 3 equações. a) Escreva matricialmente o sistema a ser resolvido para encontrar o polinômio de ajuste; (na forma AX = b) b) Escreva o polinômio de ajuste; c) Obtenha a tensão para = 3,8. Linhas digitadas no MATLAB: clear clc x=[0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0 4.4 4.8 5.2 5.6 6.0]'; y=[0 3.0 4.5 5.8 5.9 5.8 6.2 7.4 9.6 15.6 20.7 26.7 31.1 35.6 39.3 41.5]'; format short m=3; [A,X,b,C, Sqe] = AjustePol(x,y,m) f= @(x) -0.0541*x^3 + 1.8030*x^2 -1.9882*x + 2.8930; d=3.8; q=f(d) a) Sistema AX = b: A = 1.0e+05 * 1.2486 0.2354 0.0456 0.0092 0.2354 0.0456 0.0092 0.0020 0.0456 0.0092 0.0020 0.0005 0.0092 0.0020 0.0005 0.0002 X = 0 0 0 1.0000 0.0640 0.1600 0.4000 1.0000 0.5120 0.6400 0.8000 1.0000 1.7280 1.4400 1.2000 1.0000 4.0960 2.5600 1.6000 1.0000 8.0000 4.0000 2.0000 1.0000 13.8240 5.7600 2.4000 1.0000 21.9520 7.8400 2.8000 1.0000 32.7680 10.2400 3.2000 1.0000 46.6560 12.9600 3.6000 1.0000 64.0000 16.0000 4.0000 1.0000 85.1840 19.3600 4.4000 1.0000 110.5920 23.0400 4.8000 1.0000 140.6080 27.0400 5.2000 1.0000 175.6160 31.3600 5.6000 1.0000 216.0000 36.0000 6.0000 1.0000 b = 1.0e+04 * 2.9284 0.5698 0.1159 0.0259 b) Polinômio de ajuste: -0.0541*x^3 + 1.8030*x^2 -1.9882*x + 2.8930 c) (3,8) = 18.4046 Mpa Questão 3 Use format rat Sendo 200 candelas a intensidade de uma lâmpada, foi calculada a iluminação em casos de incidência normal sobre uma superfície situada a distâncias conhecidas, quando para cada distância foi calculada a iluminação, conforme a tabela a seguir: Distância (m) 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 Iluminação (lux) 200,00 128,00 88,39 65,30 50,00 39,50 32,00 a) Escreva a expressão algébrica de 5s x , da interpolação por splines cúbicos. b) Utilizando o polinômio interpolador que contém todos os nodos, calcule a iluminação quando a superfície estiver situada a 2,2 m da lâmpada. c) Usando o polinômio obtido em (b), determine, usando um método que determina zeros de uma função, a distância para que tenhamos intensidade de iluminação igual a 70 lux. Linhas digitadas no MATLAB: clear clc x=[1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50]'; y=[200.00 128.00 88.39 65.30 50.00 39.50 32.00]'; format rat [C]=CoefSpline3(x,y) u=2.2; v=ISpline3(x,y,u) f=@ (x) C(3,1)*(x-1.5)^3+C(3,2)*(x-1.5)^2+C(3,3)*(x-1.5)+C(3,4)-70; x=1.6; tol=0.5e-12; kmax=100; [x, Erel,k]=ZeroNewton(f,x,tol, kmax) a) 5s x = -3552/325 (x-2)^3 + 6329/179 (x_2)^2 -26633/531 (x-2) + 50.0000 b) Resposta: 6566/159 lux c) Resposta: 2006/1187 m Questão 4 Use format shorte Na resolução de sistemas lineares pelos métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss- Seidel um dos critérios de paradas faz a estimativa de erro relativo a partir de usando a norma-2 (norma euclidiana) Esta é uma norma-p, onde: norm-p de v é definida por sum(abs(v).^p)^(1/p). a) Reescreva o sistema abaixo para assegurar a convergência por Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel: { 2𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 − 7𝑥5 = 7 −8𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 − 3𝑥5 = 5 2𝑥1 − 4𝑥2 + 7𝑥3 = 13 −𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 − 10𝑥4 + 2𝑥5 = 4 10𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 + 3𝑥4 = 2 b) Determine o vetor solução do sistema, usando como vetor inicial o vetor com todas as componentes iguais a - 2 (menos 2) e como critério de parada tol = 0.5×10-8. b.1) Pelo método de Gauss-Seidel com a norma-4; b.2) Pelo método de Gauss-Jacobi com a norma-4; b.3) Responda: Para resolver os itens a) e b) foi feita alguma modificação nos programas SLGaussJacobi e SLGaussSeidel? Se positivo, cite-as; b.4) Reescreva a função ErroRelVet com as modificações feitas, utilizando a norma-4. Linhas digitadas no MATLAB: a) Sistema reescrito: A = 10 4 -1 3 0 b= 2 0 -8 -2 1 -3 5 2 -4 7 0 0 13 -1 2 -3 -10 2 4 2 -1 -1 1 -7 7 b.1) X = [ 9.5580e-01 -7.0665e-01 1.1803e+00 -1.1837e+00 -9.6367e-01 ]t Erro: 1.5552e+00 Número de iterações realizadas: 1000000 b.2) X= [ 9.5580e-01 -7.0665e-01 1.1803e+00 -1.1837e+00 -9.6367e-01 ]t Erro: 1.5552e+00 Número de iterações realizadas: 1000000 b.3) Resposta: foi adotado como critério inicializador x=(ones(n,1))*-2; e utilizada a função erro relativo modificada. b.4) function Erel=ErroRelVet(u,x) com as modificações function Erel=ErroRelVet_4(u,v) if norm(v)==0 Erel=norm(u); else Erel=sum(abs(v).^p)^(1/p); end Questão 5 Use format shorte Considere o seguinte sistema de equações lineares: [ −1,2 2 −1 5,6 5 3,4 1 −2 6 1 −13 1 21 0 1 1 ] [ 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ] = [ 7 1 −2 2 ] a) Determine X a solução do sistema pelo método da eliminação de Gauss, sem aplicar estratégia de pivotamento, e Y a solução pelo método de Gauss, com pitovamento parcial. X = [0.3023 0.0698 0.1582 0.2888 ]t Y = [ 0.3023 0.0698 0.1582 0.2888 ]t b) Reorganize o sistema e aplique um método iterativo para encontrar o vetor solução Z, com 𝑡𝑜𝑙 = 0,5 × 10−8. Matriz completa do sistema: A = 5.6 -2 1 1 2 3.4 1 0 -1 1 -13 1 -1.2 5 6 21 b = 2 1 -2 7 Z = [ 3.0225e-01 6.9798e-02 1.5818e-01 2.8879e-01 ]t Número de iterações realizadas: 29 Resíduo Relativo na última iteração: 2.5314e-09 c) Calcule as diferenças relativas entre X e Y, e entre X e Z. Diferença relativa entre X e Y: 1.8873e-15 Diferença relativa entre X e Z: 1.0582e-05
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