AULA 7 e 8 MEDIDAS DE DISPERSÃO E VARIABILIDADE

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Estatística Aplicada a 
Administração
1º SEMESTRE / 2015
ADMINISTRAÇÃO, 2º A.
PROF. ESP. ENIO JOSÉ BOLOGNINI
AULA 7 E 8: MEDIDAS DE DISPERSÃO E VARIABILIDADE
2015
Servem para verificar medidas de posição considerada com estudo qualitativo,
portanto nessas medidas podemos encontrar fatores de estudo como:
 Amplitude Total;
 Variância e Desvio-Padrão;
 Coeficiente de Variação.
Exemplo 1:
Considere os valores para x, y e z:
 x: 70,70, 70, 70, 70;
 y: 68, 69, 70, 71, 72;
 z: 5, 15, 50, 120, 160.
Medidas de Dispersão e 
Variabilidade
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Considere os valores para x, y e z:
 x: 70,70, 70, 70, 70;
 y: 68, 69, 70, 71, 72;
 z: 5, 15, 50, 120, 160.
 Calculando a média aritmética, temos:
Medidas de Dispersão e 
Variabilidade
ҧ𝑥 =
σ𝑥𝑖
𝑛
→ ҧ𝑥 =
350
5
= 70
ത𝑦 =
σ𝑦𝑖
𝑛
→ ҧ𝑥 =
350
5
= 70
ҧ𝑧 =
σ 𝑧𝑖
𝑛
→ ҧ𝑥 =
350
5
= 70
A diferença esta na média
aritmética simples que
corresponde a 70. Crespo,
Estatística Fácil.
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Medidas de Dispersão e 
Variabilidade
No Cap. 5 do livro Estatística Fácil (CRESPO), é encontrado em distribuição de
frequências a diferença entre o maior e o menor valor observado:
Exemplo:
40, 45, 48, 52, 54, 62 e 70
AT = 70 – 40 = 30
AT = 30
AT = x(máx.) - x(min.). Utilizar sem intervalo de classes!
Com (Intervalo de Classes)
AT = L(max) – l (min)
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Medidas de Dispersão e 
Variabilidade
Exemplo 2: Cap. 5 do livro Estatística Fácil.
i Estaturas (cm) 𝒇𝒊
1 150 |-------- 154 4
2 154 |-------- 158 9
3 158 |-------- 162 11
4 162 |-------- 166 8
5 166 |-------- 170 5
6 170 |-------- 174 3
TOTAL
෍𝒇𝒊 = 𝟒𝟎
Temos:
AT = 174 – 150 = 24
Logo:
AT = 24 cm.
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Medidas de Dispersão e 
Variabilidade
Variância – baseia-se nos desvios em torno da média aritmética, porém
determinando a média dos quadrados dos desvios, representada pela
seguinte fórmula: (CRESPO, 1999; TIBONI, 2010)
Onde, a (σ𝑓𝑖 = 𝑛), então temos a seguinte equação:
Mas lembre-se que a soma dos desvios é σ𝑑𝑖 = σ 𝑥𝑖 − ҧ𝑥 = 0
𝜎2 =
σ 𝑥𝑖 − ҧ𝑥
2
σ𝑓𝑖
𝜎2 =
σ 𝑥𝑖 − ҧ𝑥
2
𝑛
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Medidas de Dispersão e 
Variabilidade
Para contornar esta situação o desvio padrão deve ser calculado da
seguinte fórmula:
Sendo uma raiz quadrada o desvio padrão, então a representação de
variância e desvio padrão, pode ser dado como uma estatística
descritiva, ou seja, é uma inferência estatística, com uma combinação de
amostras:
𝜎 =
σ 𝑥𝑖 − ҧ𝑥 2
𝑛
𝜎 = 𝜎2
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Medidas de Dispersão e 
Variabilidade
Simplificando o cálculo pela equação abaixo, temos o uso da igualdade,
Mas, podemos substituir σ 𝑥𝑖 − ҧ𝑥
2, pela seguinte equação:
෍ 𝑥𝑖 − ҧ𝑥
2 =෍𝑥𝑖
2 −
σ𝑥𝑖
2
𝑛
𝜎 = ෍𝑥𝑖
2 −
σ𝑥𝑖 2
𝑛
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Medidas de Dispersão e 
Variabilidade
Entretanto, pode ser reescrita para o modelo ideal de cálculo do desvio
padrão e variância:
𝜎 =
σ𝑥𝑖
2
𝑛
−
σ𝑥𝑖
𝑛
2
𝜎 =
σ𝑥𝑖
2
σ𝑓𝑖
−
σ𝑥𝑖
σ𝑓𝑖
2
Dados não agrupados
Dados agrupados
𝜎 =
σ𝑓𝑖 × 𝑥𝑖
2
σ𝑓𝑖
−
σ𝑓𝑖 × 𝑥𝑖
σ𝑓𝑖
2
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Medidas de Dispersão e 
Variabilidade
Exemplo prático 1: Para um
conjunto de valores de x,
temos:
40, 45, 48, 52, 54, 62, 70.
É possível notar que não
temos dados agrupados
nesta tabela, por não
compor o conteúdo de
frequência simples, então o
desvio padrão deve ser
calculado pela tabela de dados
não agrupados:
i 𝒙𝒊 𝒙𝒊
𝟐
1 40 1600
2 45 2025
3 48 2304
4 52 2704
5 54 2916
6 62 3844
7 70 4900
Total ෍𝒙𝐢 = 𝟑𝟕𝟏 ෍𝒙𝒊
𝟐 = 𝟐𝟎𝟐𝟗𝟑
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Medidas de Dispersão e 
Variabilidade
i 𝒙𝒊 𝒙𝒊
𝟐
1 40 1600
2 45 2025
3 48 2304
4 52 2704
5 54 2916
6 62 3844
7 70 4900
Total ෍𝒙𝐢 = 𝟑𝟕𝟏 ෍𝒙𝒊
𝟐 = 𝟐𝟎𝟐𝟗𝟑
𝜎 =
σ𝑥𝑖
2
𝑛
−
σ𝑥𝑖
𝑛
2
𝜎 =
20293
7
−
371
7
2
𝜎 = 2899 − 53 2
𝜎 = 2899 − 2809
𝜎 = 90
𝜎 = 9,486
𝜎 ≅ 9,49
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Medidas de Dispersão e 
Variabilidade
Exemplo prático 2: Na tabela abaixo temos a presença de frequências, então
utilizaremos a fórmula para dados agrupados.
i 𝒙𝒊 𝐟𝐢 𝒇𝒊 × 𝒙𝒊 𝒇𝒊 × 𝒙𝒊
𝟐
1 0 2 0 0
2 1 6 6 6
3 2 12 24 48
4 3 7 21 63
5 4 3 12 48
TOTAL ෍𝐟𝐢 = 𝟑𝟎 ෍𝐟𝐢 × 𝒙𝒊 = 63 ෍𝒇𝒊 × 𝒙𝒊
𝟐 = 𝟏𝟔𝟓
𝜎 =
σ𝑓𝑖 × 𝑥𝑖
2
σ𝑓𝑖
−
σ𝑓𝑖 × 𝑥𝑖
σ𝑓𝑖
2
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Medidas de Dispersão e 
Variabilidade
𝜎 =
σ𝑓𝑖 × 𝑥𝑖
2
σ𝑓𝑖
−
σ𝑓𝑖 × 𝑥𝑖
σ𝑓𝑖
2
𝜎 =
165
30
−
63
30
2
𝜎 = 5,5 − 2,1 2
𝜎 = 5,5 − 4,41
𝜎 = 1,09
𝜎 =1,044
𝜎 ≅1,04
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Medidas de Dispersão e 
Variabilidade
Exemplo proposto 1: Na tabela abaixo calcule o desvio padrão e variância dos
seguinte valores e preencha a tabela.
8, 10, 11, 15, 16, 18.
i 𝒙𝒊 𝒙𝒊
𝟐
1 8 64
2
3
4
5
Total ෍𝒙𝐢 = ෍𝒙𝒊
𝟐 =
𝜎 ≅ 3,56
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Medidas de Dispersão e 
Variabilidade
Exercício Proposto 2: Preencha a tabela e calcule o desvio padrão e variância:
i Estaturas (cm) 𝐟𝐢 𝒙𝒊 𝒙𝒊
𝟐 𝒇𝒊 × 𝒙𝒊
1 150 |-------- 154 4 152 23104 608
2 154 |-------- 158 9 156 24336 1404
3 158 |-------- 162 11 160 25600 1760
4 162 |-------- 166 8 164 26896 1312
5 166 |-------- 170 5 168 28224 840
6 170 |-------- 174 3 172 29584 516
TOTAL ෍𝐟𝐢 = 𝟒𝟎 ෍𝒙𝒊
𝟐 = 𝟏𝟓𝟕𝟕𝟒𝟒 σ 𝐟𝐢 × 𝒙𝒊 = 6440
Dados agrupados: Esta é uma tabela típica com os dados
agrupados pois temos a presença das frequências.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BÁSICA:
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 19--, 20--.
SILVA, E. M. et al. Estatística: para os cursos de economia, administração e ciências
contábeis. São Paulo: Atlas, 19--.
TIBONI, C. G. R. Estatística Básica: para os cursos de administração, ciências
contábeis, tecnológicos e de gestão. São Paulo: Atlas, 20--.
COMPLEMENTAR:
HOFFMANN, R. Estatística para economistas. São Paulo: Pioneira, 19--.
MARTINS, G. A; DONAIRE, D. Princípios de estatística. São Paulo: Atlas, 19--.
MORETTIN, P. A; BUSSAB, W. O. Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 19--, 20--.
FONSECA, J. S; MARTINS, G. A. Curso de estatística. São Paulo: Atlas, 19--.
SPIEGEL, M. R. Estatística. São Paulo: Makron Books do Brasil, 19--.
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