Lista de algebra linear

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECOˆNCAVO DA BAHIA - UFRB
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS E TECNOLO´GICAS - CETEC
A´LGEBRA LINEAR
CET065
Lista 01 - Matrizes e Sistemas Lineares
Aluno(a):
Professores: Erikson Alexandre / Jaqueline Azevedo / Jarbas Fernandes / Mariana Pinheiro
I - Matrizes
(1) Sejam: A =
[
1 2 3
2 1 −1
]
, B =
[
−2 0 1
3 0 1
]
, C =
 −12
4
, D = [ 2 −1 ], E =
 1 03 −1
4 2

e F =
[
1 0
0 1
]
. Calcule, quando possı´vel:
(a) A+ B
(b) B+ F
(c) A · C
(d) C · A
(e) Et + (−A)
(f) C · D+ 2E− At
(g) Ct · E− 3D
(h) E · F+ At − Bt
(2) Dadas as matrizes A =
[
aij
]
2×2, tal que aij =
{
i+ j , se i = j
0 , se i 6= j e B =
[
bij
]
2×2, tal que
bij = 2i− 3j, enta˜o A+ B e´ igual a:
(a)
[
−1 4
−1 −2
]
(b)
[
1 −4
−1 −2
]
(c)
[
−1 4
1 2
]
(d)
[
1 −4
1 2
]
(e)
[
1 4
1 2
]
(3) Sendo as matrizes M = [mij]2×3, N = [nij]a×b, P = [pij]c×4, Q = [qij]d×e, e´ possı´vel determinar
M+ N, N · P e P−Q, se:
(a) b− a = c− d
(b) a = b = c = d = e− 1
(c) b = a+ 1, c = d = e = 4
(d) a · b = 6, a+ 1 = b = c = d = e− 1
(e) b = c = d =
a+ c
2
(4) O valor de x para que
[
−2 x
3 1
]
·
[
1 −1
0 1
]
seja uma matriz sime´trica e´:
(a) −1 (b) 0 (c) 1 (d) 2 (e) 3
(5) Uma matriz A de ordem n e´ dita ser idempotente se A2 = A.
a) Mostre que se AB = A e BA = B enta˜o A e B sa˜o idempotentes.
b) Mostre que
 2 −2 −4−1 3 4
1 −2 −3
 e´ idempotente.
(6) Calcule o determinante da matriz
 1 −2 5−7 4 3
8 0 −3

a) Pela definic¸a˜o
b) Em relac¸a˜o a` segunda coluna, usando o desenvolvimento de Laplace.
1
2
(7) Uma matriz quadrada A e´ ortogonal quando A e´ inversı´vel e A−1 = At.
(a) Determine se possı´vel x e y em R a fim de que a matriz A =
[ √
2 x
y
√
2
]
seja ortogonal.
(b) Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais e´ ortogonal.
]
(8) Encontre a matriz LRFE de cada uma das seguintes matrizes:
(a) A =
 1 4 0 02 2 1 0
0 0 0 1

(b) B =
 1 −1 0−2 2 0
0 1 0

(c) C =
[
1 −3 2 −1
2 −1 2 −2
]
(d) D =
 0 1 32 1 4
2 3 3

(e) E =
 3 00 0
0 2

(9) Reduza as matrizes abaixo a` forma reduzida escalonada e determine o posto e a nulidade das
mesmas.
(a) A =
 1 1 1 31 0 −1 1
0 1 2 2

(b) B =
[
1 −4
3 2
]
(c) C =
 6 3 −4−4 1 −6
1 2 −5

(d) D =
 0 1 3 −22 1 −4 3
2 3 2 −1

(10) Seja θ ∈ [0,pi] e considere a matriz Aθ =
[
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
]
a) Calcular Aθ .Aδ
b) Calcular A0 e A−θ
c) Determinar Det(A0) e se possı´vel calcular A−10
(11) Usando as operac¸o˜es elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo sa˜o inversı´veis e,
em caso afirmativo, determine a sua inversa.
(a) A =
[
1 3
2 7
]
(b) B =
 2 5 14 1 2
0 4 1
 (c) C =
 1 2 60 1 5
2 3 7
 (d) D = [ 1 2
3 4
]
(e) E =
 4 2 34 5 6
7 8 8

(12) Determine, se possı´vel, o valor de x para que a matriz A =
 0 2x 1x2 0 −x
x+ 1 x3 0
 seja:
(a) sime´trica (b) antissime´trica
(13) Mostre que:
(a) Se A e B sa˜o sime´tricas, enta˜o AB e´ sime´trica se, e somente se, AB = BA.
3
(b) Se A e B sa˜o sime´tricas, enta˜o A+ B e kA sa˜o sime´tricas, para todo escalar k.
(c) Se A e B sa˜o antissime´tricas, enta˜o A+ B e kA sa˜o antissime´tricas, para todo escalar k.
(d) Para toda matriz A de ordem n, a matriz A + At e´ sime´trica e a matriz A − At e´ antis-
sime´trica.
(14) Seja A = [aij] uma matriz antissime´trica. Demonstre que os elementos da diagonal principal sa˜o
todos nulos, ou seja, aii = 0 para i = 1, . . . , n.
(15) Seja A uma matriz idempotente de ordem n. Prove que B = I − A e´ uma matriz idempotente.
(16) Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem tais que AB = A e BA = B. Mostre que A e B
sa˜o matrizes idempotentes.
(17) Considere A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Demonstre que:
(a) se A e´ uma matriz sime´trica, enta˜o BtAB e´ uma matriz sime´trica.
(b) se A e´ uma matriz antissime´trica, enta˜o BtAB e´ uma matriz antissime´trica.
(18) Utilizando as propriedades de trac¸o, mostre que na˜o existem matrizes A e B, de ordem n, tais
que AB− BA = I.
(19) Considere a matriz real A dada por A =
[
a b
c d
]
com ad− bc 6= 0.
a)Mostre que:
A−1 = 1
ad− bc
[
d −b
−c a
]
.
b) O que podemos concluir se ad− bc = 0? Justifique sua resposta.
(20) Prove que toda matriz quadrada A e´ a soma de uma matriz sime´trica com uma matriz antis-
sime´trica.
(21) Ilustre exercı´cio anterior usando a matriz A =
 1 2 34 5 6
7 8 9
.
(22) Determine todas as matrizes que comutam com a matriz A =
[
1 1
0 0
]
.
(23) Para cada nu´mero real α consideremos a matriz: Tα =
[
cos α − sin α
sin α cos α
]
. Mostre que:
(a) TαTβ = T(α+β)
(b) T−α = Ttα
(24) Mostre que uma matriz A e´ inversı´vel se, e somente se, At e´ inversı´vel. Conclua que as operac¸o˜es
de inversa˜o e de transposic¸a˜o comutam, ou seja, [At]−1 = [A−1]t, quando A e´ inversı´vel.
4
(25) Considere as seguintes matrizes inversı´veis:
A =
 1 1 11 1 1
0 1 2
 B =
 1 1 00 1 0
0 0 1
 C =
 1 2 10 1 2
1 1 1
 .
a) Encontre a extressa˜o de X tal que BAX=C
b)Determine, caso exista, a inversa da matriz X do item anterior.
(26) Determine os valores de a e b para que as matrizes abaixo sejam inversı´veis:
A =
 1 1 12 1 2
1 2 a
 B =
 3 7 61 5 6
1 1 b
 .
(27) Seja A uma matriz invertı´vel. Prove que, para qualquer escalar λ na˜o-nulo,
(λA)−1 = 1
λ
A−1.
(28) Deˆ exemplos, se possı´vel, de matrizes satisfazendo as condic¸o˜es dadas abaixo. OBS: Considere
N(A) como a nulidade de A e p(A) como o posto de A.
a)B2x3; p(B) = 2 b)D2x4; p(D) = 3 c)C3x2; p(C) = 3 d)F2x3; N(F) = 2
e)G4x3; N(G) = 0 f )H3; N(H) = 0 g)J3; P(J) = 2
(29) Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem e B invertı´vel. Mostre que
tr(B−1AB) = tr(A).
5
II - Sistemas Lineares
(30) Resolva os seguintes sistemas:
(a) S1 =

x+ 2y− z = 2
2x− y+ 3z = 9
3x+ 3y− 2z = 3
(b) S2 =

2x− 3y+ z = 2
3x+ 2z = 0
5y− 2w = −5
y− z+ w = −4
(c) S3 =
{
x− y− z = 4
x− y+ z = 2
(d) S4 =

x+ 2y− 3z = 0
2x+ 4y− 2z = 2
3x+ 6y− 4z = 3
(31) Determine a soluc¸a˜o do sistema abaixo, considerando o corpo dos nu´meros complexos.
{
2x+ (i− 1)y+ w = 0
3y− 2iz+ 5w = 0
(32) Considere o sistema de equac¸o˜es lineares
S =

3x− 5y+ 12z− w = −3
x+ y+ 4z− w = −6
2y+ 2z+ w = 5
(a) Determine a soluc¸a˜o do sistema;
(b) Acrescente a equac¸a˜o 2z + kw = 9 no sistema acima, e enta˜o discuta a soluc¸a˜o do novo
sistema em func¸a˜o do paraˆmetro real k;
(c) Admita, agora, que o sistema S, dado, seja homogeˆneo, isto e´, todos os termos indepen-
dentes, das varia´veis, sa˜o iguais a zero. Adicione a equac¸a˜o 2z− y− 2w = 0 neste sistema
homogeˆneo, e enta˜o obtenha a sua soluc¸a˜o.
(33) Um bio´logo colocou treˆs espe´cies de bacte´ria (denotadas por I, II e III) em um tubo de ensaio,
onde elas sera˜o alimentadas por treˆs fontes diferentes de alimentos (A, B e C). A cada dia sera˜o
colocadas no tubo de ensaio 2.300 unidades de A, 800 unidades de B e 1.500 unidades de C. Cada
bacte´ria consome um certo nu´mero de unidades de cada alimento por dia, como mostra a tabela
abaixo.Quantas bacte´rias de cada espe´cie podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir
todo o alimento?
Alimento Bacte´ria 1 Bacte´ria 2 Bacte´ria 3
A 2 2 4
B 1 2 0
C 1 3 1
6
(34) A tabela abaixo da´ a quantidade de proteı´na, carboidrato e gordura existentes em 1 Kg das rac¸o˜es
R1, R2 e R3.
Rac¸a˜o Proteı´na Carboidrato Gordura
R1 0,1 0,2 0,3
R2 0,1 0,3 0,4
R3 0,1 0,1 0,2
Pergunta-se:
(a) Que quantidade de cada uma destas rac¸o˜esdeve ser dada a um animal que precisa receber
0,7 Kg de proteı´na, 1,1 Kg de carboidrato e 1,8 Kg de gordura?
(b) Qual o custo mı´nimo para alimentar um animal, sabendo-se que os prec¸os das rac¸o˜es R1, R2
e R3 sa˜o R$ 1,50, R$ 3,00 e R$ 2,00, respectivamente?
(35) A empresa K produz caminho˜es e avio˜es. Para produzir um caminha˜o, a empresa K necessita
de uma tonelada de ac¸o, 40 quilos de borracha e 2 meses de trabalho. Para produzir um avia˜o,
necessita de 50 toneladas de ac¸o, 1000 quilos de borracha e 50 meses de trabalho. Considere as
matrizes A =
 1 504 1000
2 50
 e X = ( x1
x2
)
onde x1 e´ o nu´mero de caminho˜es produzidos e
x2 e´ o nu´mero de avio˜es produzidos. Interprete o produto AX. Se y1 e´ o custo de cada tonelada
de ac¸o, y2 e´ o custo de cada quilo de borracha e y3 e´ o custo de cada meˆs de trabalho, qual e´ o
custo de um caminha˜o e de um avia˜o? Como representar o custo matricialmente por meio de um
produto da forma BY onde Y =
 y1y2
y3
? Qual o significado de ATY?
(36) Seja Ct o nu´mero de crianc¸as na I´ndia no inı´cio do ano t e At o nu´mero de adultos na I´ndia no
inı´cio do ano t. Durante um dado ano, 5as crianc¸as morrem. Tambe´m, durante um dado ano, 3a
matriz
(
Ci+1
Ai+1
)
em func¸a˜o da matriz
(
Ci
Ai
)
.
(37) Usando apenas as teorias dos sistemas de equac¸o˜es lineares e de escalonamento gaussiano, pro-
cure balancear, de forma mı´nima, a seguinte equac¸a˜o quı´mica, ou seja, determine os valores de
x, y, z e w inteiros positivos, na expressa˜o abaixo:
xAl(OH)3 + yH2SO4 −→ zAl2(SO4)3 + wH2O
(38) Construir o polinoˆmio interpolador quadra´tico dos pontos A = (1, 4), B = (−1, 10), C = (2, 7).
(39) Determine os valores de a e b que tornam o seguinte sistema possı´vel e determinado
S =

3x− 7y = a
x+ y = b
5x− 3y = 5a = 2b
x+ 2y = a+ b− 1
7
(40) Calcule o valor de k para que o sistema linear homogeˆneo admita apenas soluc¸o˜es pro´prias.
S =

x− y− z = 0
x− 2y− 2z = 0
2x+ ky+ z = 0
(41) Discuta, segundo o paraˆmetro m, os seguintes sistemas lineares:
(a) S1 =

x+ y+ z = 0
x− y+mz = 2
mx+ 2y+ z = −1
(b) S2 =

mx+ y− z = 4
x+my+ 2z = 0
y− z = 2
Bom Estudo!