MÓDULO 7 – ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL

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MÓDULO 7 – ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL 
 
 
Hipóteses 
• Escoamento Unidimensional ou uniforme nas seções 
– Gases em velocidade alta: Re 
• Regime permanente 
• Fluido que escoa: gás perfeito 
 
Na prática nenhum gás obedece perfeitamente ao modelo de gás perfeito. Existem faixas 
de pressões e temperaturas: hipótese aproxima suficientemente os resultados 
 
Gás perfeito 
Equação de Estado 
RT
P

 
 
P: pressão na escala absoluta 
: massa específica 
T: temperatura absoluta 
R: constante do gás 
 
R
 : constante universal dos gases= 8314,5 J/mol 
 
M
R
R
mol

 
 
 Em termos dimensionais: 
  1-22
24
2
θTL
θTFL
FL
R 
T
P
R 


  
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas Gerais e Equações Básicas 
 
1. Equação da Continuidade 
 
 
Seção (1): área A 
Seção (2): área A + dA 
 
222111
m2m1
AvρAvρ
QQ


 
 
2. Equação de Energia 
 
 
 
 
 
h1=entalpia no ponto 1 e h2=entalpia no ponto 2 
22
2
2
m11
2
1 gzh
2
v
qgHgzh
2
v

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Forma diferencial 
dhh
2
dv)(v
dqh
2
v 22


 
 
Simplificando e desprezando o termo de 2a ordem: 
 
dA > 0: Conduto divergente 
dA < 0: Conduto convergente 
dA = 0: Seção constante 
2h
22
2
2
2
2
m11
1
1
2
1 gzu
P
2
v
qgHgzu
P
2
v

ρρ
1h
Se não houver máquina: 
Escoamento for adiabático: 
2
2
2
1
2
1 h
2
v
qh
2
v

2
2
2
1
2
1 h
2
v
h
2
v

dhvdvdq 
3. Equação da Quantidade de Movimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Velocidade do Som 
 
É a velocidade de propagação de uma perturbação de pressão, causada por um fluido 
Função: estado do fluido. Portanto: propriedade que pode ser relacionada com outras (grande 
utilidade no escoamento de fluidos compressíveis). 
Modelo matemático constituído de um fluido perfeitamente incompressível: 
 
A partir do equilíbrio aplica-se uma força dF, provocando no fluido um aumento de pressão 
dP. 
A
dF
dP  














12m222111s vvQnAPnAPF
  21m2211 vvQAPAP sxF
  dv)(vvvA)dP(PPAdFsx  
 vdvdP
A
dFsx 
Escoamento sem atrito: dF
sx
=0 
Fluido perfeitamente incompressível: aumento de pressão (dP) se transmitirá 
imediatamente para a seção seguinte, desta para a próxima e assim sucessivamente: fluido será 
derramado. 
Fluido compressível: ao se deslocar o pistão, cria-se compressão na camada adjacente 
à sua face, que fica a pressão maior que a seguinte, expandindo-se contra a mesma. Esta ficará 
então mais comprimida que a próxima, expandindo-se contra a mesma comprimindo-a, e assim 
por diante. 
 
c: velocidade de propagação 
 
 kRTc  
Observador: 
• fluido passará sempre pela seção (1) com velocidade c e com as propriedades iniciais 
• sairá pela seção (2) com velocidade c-dv e com novas propriedades 
 
Número de Mach - M 
É a relação entre a velocidade do fluido numa seção e a velocidade do som na mesma 
seção: 
c
v
 Μ  
• M < 0,2 escoamento incompressível 
• 0,2 <M < 1 escoamento subsônico 
• M = 1 escoamento sônico 
• M > 1 escoamento supersônico 
 
 
Estado de Estagnação - Relação entre as propriedades do fluido e as propriedades do 
estado de estagnação 
 
Energia total específica de um gás em movimento: 
 
m1v
1
1
2
1
2v
2
2
2
2
2v
2
2
2
2
m1v
1
1
2
1
2
v
22
gHqTc
ρ
P
2
v
Tc
ρ
P
2
v
Tc
ρ
P
2
v
gHqTc
ρ
P
2
v
h
2
v
Tc
ρ
P
2
v
u
ρ
P
2
v
m
 totalEnergia



















 
 
 
12
m
12
m
 totalEnergia
m
 totalEnergia
 : térmica trocae máquinahouver não se
gHq
m
 totalEnergia
m
 totalEnergia
























 
 
2
2
2
1
2
1
2v
2
2
2
2
1v
1
1
2
1
h
2
v
h
2
v
Tc
ρ
P
2
v
Tc
ρ
P
2
v


 
 
Estado de estagnação terá o índice zero (0) e as propriedades do estado de estagnação: 
ho, Po, To, o 
 
 
 
 
 
Desenvolvendo a eq. (III) em séries de potência: 






 ...
24
k-2
4
1
2
v
PP
2
o
2
2
M
M
 
 
Se M for pequeno: 
2
v
PP
2
o


 
k
ρρρ
1
oo
kk
o
o
P
P
ou 
PP








1o
1o
 
k
1-k
1
teAnalogamen
 
2
1-k
1
P
P
















k
k
2
k
k
2
M
M


I 
II 
III 
Eq. (I), (II) e (III): obter valores de oo T
T
 , ,
P
P
o

 para cada valor de M uma vez escolhido o 
gás ou o k. 
 
 
Algumas Aplicações da Teoria 
 
1. Tubo de Pitot: medida da velocidade de um gás em escoamento subsônico 
2. Tubo de Venturi: medida da velocidade de um gás em escoamento subsônico – 
coeficiente de compressibilidade 
3. Descarga de um gás para a atmosfera por um orifício de um reservatório de 
grande dimensões 
 
 
 
EXEMPLOS 
Exemplo 1 – Uma massa de ar de 8Kh de oxigênio sofre transformação de um estado (1) (P1=1,3 
bar(abs) e T1=10C) para o estado (2) (P2=5 bar(abs) e T2=95C). Sabendo que para o oxigênio 
k=1,393 e cp=921,6 J, determinar: (a)Constante R da equação de estado; (b) Calor específico a 
volume constante, (c) Variação de energia interna, (d) Variação de entalpia e (e) densidade final. 
 
Resolução 
kgK
J
a 260
1,393
1-1,393
921,6 
1k
k
cR 
1k
kR
c ) pp 




 
kgK
J
b 6,661
1,393
921,6
 
k
c
c )
p
v 
 
  kJmc 9,44910956,6618 TcU ) v 
 
  kJmd 7,62610956,9218 TcH ) p 
 
  3
5
2
2
2 226,5
27395260
105
 
RT
P
 )
m
kg
e 


 
 
 
Exemplo 2 – Um projétil desloca-se à velocidade de 360 Km/h. Qual é o tipo de escoamento se 
no local a temperatura é 20 C? Dados: K=1,4 e R=286 J/Kg.K. 
100m/s 
3,6
360
v 
 
m/s423 2932861,4 kRTc 
 
29,0
342
100
 
v
M 
c
 
 
Bibliografia Básica 
Bunetti, F., Mecânica dos Fluidos , São Paulo, Prentice Hall, 2ª ed. 2009. 
White, F.M., Mecânica Dos Fluidos, McGraw-Hill, 4ª ed. 2010.