Provas Cálculo 1

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Curso: Engenharia
Nome:
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral I-Estudo dirigido-gabarito.
Professor: Fernando Marinho
Questa˜o 1 Determine a equac¸a˜o reduzida da reta rtg, tangente ao gra´fico de
f(x) =
sen x
x
em x0 = pi/2.
f ′(x) =
cos x.x− sen x.1
x2
⇒ mtg = f ′(pi/2) = cos pi/2.pi/2− sen pi/2.1
(pi/2)2
=
−1
pi2/4
=
−4
pi2
f(pi/2) =
sen pi/2
pi/2
=
2
pi
. Da´ı, rtg :
−4
pi2
=
y − 2
pi
x− pi/2
Questa˜o 2 Verifique se f(x) =
1
4
(x+1)e4x− 1
16
e4x e´ crescente ou decrescente em x0 = −3.
f ′(x) =
1
4
.(1.e4x + (x+ 1).e4x.4)− 1
16
.e4x.4 =
e4x
4
+ (x+ 1).e4x − e
4x
4
= (x+ 1).e4x ⇒
f ′(−3) = (−3+ 1).e4.(−3) = −2.e−12) < 0⇒ reta tangente decrescente ⇒ func¸a˜o decrescente
em x0 = −3.
Questa˜o 3 Um mo´vel se desloca, em uma trajeto´ria unidimensional, com equac¸a˜o de velo-
cidade v(t) = 3t2 + 2t+ 4, em metros, para t em segundos:
a) determine a acelerac¸a˜o no instante t = 6 s;
b) se a posic¸a˜o inicial e´ s0 = 4 m, qual e´ sua posic¸a˜o no instante t = 3 s?
(a)a(t) = 6t+ 2⇒ a(6) = 6.6 + 2 = 38 m/s2
(b)s′(t) = v(t) = 3t2 + 2t + 4 ⇒ s(t) = 3. t
3
3
+ 2
t2
2
+ 4t + s0 = t
3 + t2 + 4t + 4, logo
s(3) = 33 + 32 + 4.3 + 4 = 49 m.
Questa˜o 4 Esboce o gra´fico de p(x) = −x3+3x2+9x−6, explicitando regio˜es de crescimento
e de decrescimento, concavidade e intersec¸a˜o com o eixo OY . Determine o ponto onde o
coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico mtg(x) atinge o menor valor poss´ıvel, se
houver.
x
y
y=-x^3+3x^3+9x-6
-1
31
5
-11
21
-6
(y->infinito)
 
(y-> -infinito)
Questa˜o 5 Um tanque tem a forma de um cone vertical (com ve´rtice para baixo) de raio
R = 2 m e altura H = 5 m. O volume de a´gua dentro dele e´ V =
pir2h
3
, quando a altura e´ h
e r e´ o raio do so´lido formado por ela. Se a vaza˜o de sa´ıda de a´gua e´ constante 1 m3/min,
qual e´ a taxa de variac¸a˜o da altura quando ela vale 3 m?
Sugesta˜o: Escreva V em func¸a˜o, somente, de h. Substitua r.
2 m
5 m
r m
h m
Func¸a˜o volume: V (t) =
pir(t)2.h(t)
3
, e como
r(t)
2
=
h(t)
5
⇒ r(t) = 2.h(t)
5
.
Logo, V (t) =
pi.
(
2.h(t)
5
)2
.h(t)
3
=
4.pi.h(t)3
75
=
4pi
75
.h(t)3.
Raza˜o de sa´ıda= -(taxa de variac¸a˜o do volume)
⇒ dV (t)
dt
= −1 = 4.pi
75
.3.h(t)2.
dh(t)
dt
(Regra da Cadeia).
Enta˜o, quando h(t) = 3 m, −1 = 4.pi
75
.3.32.dh(t)
dt
⇒ −1 = 108.pi
75
.dh(t)
dt
.
Da´ı,
dh(t)
dt
=
−75
108.pi
m/min. Note que e´ negativa ja´ que h(t), naturalmente, e´ decrescente.