Principais conceitos de Matemática Financeira

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Principais conceitos de Matemática Financeira 
 
 
A aula 1 destina-se a discutir de forma sucinta os conceitos básicos da 
matemática financeira. O estudo desta seção é de fundamental importância como 
preparação para as discussões que se seguirão ao longo do curso. 
 
Conceitos básicos 
 
Juros: remuneração pelo uso do dinheiro. 
Taxa de Juros (i): razão entre os juros recebidos/pagos ao final do período da 
operação e o valor originalmente aplicado. 
Fluxo de Caixa: conjunto de entradas e saídas de dinheiro, ao longo do tempo, 
para um indivíduo ou empresa. As entradas de um fluxo de caixa corresponderão 
aos recebimentos e as saídas corresponderão aos pagamentos ou desembolsos. 
Valor Presente (PV) ou Principal: corresponde ao valor do dinheiro hoje, ou 
seja, na data-zero do fluxo de caixa. 
Valor Futuro (FV) ou Montante: corresponde ao valor do dinheiro em uma 
data futura, posterior a data-zero do fluxo de caixa. 
Regime de Capitalização: é o nome dado ao processo de formação de capital 
ao longo do tempo. 
 
Juros compostos: capitalização 
 
No regime de juros compostos, o rendimento gerado pela aplicação será 
incorporado ao capital, passando a participar da geração do rendimento do 
período seguinte. 
 
Observação: No regime de juros simples, apenas o capital inicial rende juros. 
 
Fórmula do valor futuro no regime de juros compostos: 
 
FV = PV (1 + i) n 
 
 
 
 
 
 
 
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FV = valor futuro; 
PV = valor presente; 
i = taxa de juros; 
n = número de períodos (podendo ser expresso em meses, anos, semestres etc.) 
 
O fator (1 + i) n é chamado fator de capitalização para aplicação única. 
 
Observação: Tendo em vista que estaremos lidando com funções exponenciais, 
a solução dos problemas demandará a aplicação de funções logarítmicas, a 
consulta a tabelas financeiras ou a utilização de máquinas financeiras. 
 
Exemplo: Se um banco oferece uma taxa de 2,50% ao mês no regime de juros 
compostos, qual o valor resgatado a partir da aplicação de R$1.500,00 por 2 
meses? 
Solução: PV = R$1.500,00; i = 2,50% a.m. ; n = 2 meses ; FV = ? 
 
FV = PV (1 + i) n 
FV = 1.500 (1 + 0,025) 2 
FV = 1.575,94 
 
Resolvendo pela calculadora financeira: 
 
Tecle “f” => tecle “fin” (para limpar a memória financeira) 
Tecle “f” => tecle “reg” (para limpar a memória dos registros) 
Digite “1.500” => tecle “CHS” (para inverter o sinal*) e “PV” (valor 
presente) 
Digite “2,5” => tecle “i” (juros) 
Digite “2” => tecle “n” (número de períodos) 
Tecle “FV” => A máquina fornecerá a resposta R$1.575,94 
 
 
 
 
 
 
 
 
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*Coloca-se com sinal negativo considerando que está saindo dinheiro do bolso do 
investidor. Caso você não inverta o sinal para negativo, a resposta será os 
mesmos R$ 1.575,94, porém com sinal negativo. 
 
Atenção! 
 A taxa de juros (i) da operação deverá, necessariamente, estar expressa na 
mesma unidade de tempo que o prazo (n). 
 Para tornar prazo e taxa compatíveis, divida ou multiplique o prazo 
adequadamente; NUNCA DIVIDA OU MULTIPLIQUE A TAXA. 
 
Fórmula do valor presente no regime de juros compostos: 
PV = FV / (1 + i) n 
 
Exemplo: Um título de crédito deverá ser resgatado por R$30.000,00 no seu 
vencimento que ocorrerá daqui a 5 meses. Admitindo que o custo de capital é de 
8,00% ao mês, determinar seu valor atual para liquidação antecipada, no regime 
de juros compostos. 
Solução: FV = R$ 30.000,00; i = 8,00% a.m.; n = 5 meses; PV = ? 
 
PV = FV / (1 + i) n 
PV = 30.000 / (1 + 0,08) 5 
PV = 20.417,50 
 
Resolvendo pela calculadora financeira: 
 
Tecle “f” => tecle “fin” (para limpar a memória financeira) 
Tecle “f” => tecle “reg” (para limpar a memória dos registros) 
Digite “30.000” => tecle “FV” (valor futuro) 
Digite “8” => tecle “i” (juros) 
Digite “5” => tecle “n” (número de períodos) 
Tecle “PV” => A máquina fornecerá a resposta R$20.417,50 
 
 
 
 
 
 
 
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Séries (ou anuidades) uniformes, variáveis e perpétuas 
 
Todas as corporações se defrontam com oportunidades de vendas, compras ou 
investimentos que somente são viabilizadas pelo parcelamento dos pagamentos. 
O estudo das anuidades fornece o referencial teórico para o estabelecimento de 
planos de poupança, de financiamento, de recomposição de dívidas e avaliação 
de alternativas de investimento. 
 
Define-se série ou anuidade, a uma sucessão de pagamentos ou recebimentos 
exigíveis em épocas pré-determinadas, destinada a extinguir uma dívida ou 
construir um capital. 
 
Exemplo de anuidade postecipada: 
 
 
 
 
 
 
 
Características das anuidades: 
• Cada um dos pagamentos que compõem uma série denomina-se termo da 
anuidade. Os termos podem ser uniformes ou variáveis. 
• Uma anuidade pode ser temporária ou perpétua, conforme seja, 
respectivamente, finito ou infinito o número de seus termos. 
• As anuidades podem ser postecipadas, quando os pagamentos ou 
recebimentos forem efetuados no fim de cada intervalo de tempo a que se 
referir a taxa considerada (representada na ilustração acima), 
antecipadas, quando os pagamentos ou recebimentos ocorrerem no início 
do período (ilustração abaixo) ou diferidas, quando a primeira prestação 
0 1 2 n - 1 n
’
’
’
n 
R R R R 
Onde: “R” é o valor da anuidade e “n” os períodos 
 
 
 
 
 
 
 
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só é efetuada após um certo número de períodos de tempo, contados a 
partir da data zero. 
 
Exemplo de anuidade antecipada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Séries Uniformes 
 
Uma série uniforme é uma sequência de pagamentos ou recebimentos iguais 
efetuados a intervalos de tempo iguais. 
 
Considere o exemplo abaixo de uma série postecipada: 
 
 1000 1000 1000 1000 1000 
 
 
0 1 2 3 4 5 
 
Qual o saldo (valor futuro) que teremos ao final do 5o. ano, se efetuarmos um 
depósito anual de R$ 1.000 (ao final de cada ano), aplicando-se uma taxa de 
juros de 10% ao ano? 
 
Para encontrar o valor futuro de uma série uniforme, basta levar todos os fluxos 
financeiros para uma data focal no futuro. 
 
FV = R(1 + i) n-1 + R(1 + i) n-2 + R(1 + i) n-3 + ...... + R 
0 1 2 n - 1 n 
R R R 
Onde: “R” é o valor da anuidade e “n” os períodos 
R 
 
 
 
 
 
 
 
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Da teoria das progressões chegamos à seguinte fórmula do valor futuro para 
uma série postecipada: 
 
Fórmula => FV = PMT * (1 + i)n – 1 
 i 
 
FV = 1.000 * [(1 + 0,1)5 – 1/0,1] 
FV = 1.000 * (1,6105/0,1 – 1/0,1) 
FV = 1.000 * (16,1051 – 10) 
FV = R$ 6.105,10 
 
Outra maneira de se resolver o problema é através da calculadora financeira, da 
seguinte forma: 
 
Tecle “f” => tecle “fin” (para limpar a memória financeira) 
Tecle “f” => tecle “reg” (para limpar a memória dos registros) 
Tecle “g” => tecle “end” (define uma série postecipada) 
Digite “5” => tecle “n” (equivale ao número de períodos) 
Digite “10” => tecle “i” (taxa de juros por período) 
Digite “1.000” => tecle “CHS” (para inverter o sinal) e “PMT” (valor 
das prestações) 
Tecle “FV” => A máquina fornecerá a resposta R$6.105,10 
 
O mesmo exemplo transformado em uma série antecipada: 
Neste caso, o resultado é simplesmente o da série postecipada, ajustado por 1 
período. 
 
Fórmula => FV = PMT * (1 + i)n – 1 * (1 + i) 
 i 
 
 
FV = 1.000 * (((1,1)5 –1)/0,1) * (1,1) 
 
 
 
 
 
 
 
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FV = 1.000 * ((1,6105 – 1)/0,1) * 1,1 
FV = 1.000 * (6,1051) * 1,1 
FV = R$ 6.715,61 
 
Resolvendoo problema na HP 12C: 
Tecle “f” => tecle “fin” (para limpar a memória financeira) 
Tecle “f” => tecle “reg” (para limpar a memória dos registros) 
Tecle “g” => tecle “beg” (define uma série antecipada) 
Digite “5” => tecle “n” (equivale ao número de períodos) 
Digite “10” => tecle “i” (taxa de juros por período) 
Digite “1.000” => tecle “CHS” (para inverter o sinal) e “PMT” (valor 
das prestações) 
Tecle “FV” => A máquina fornecerá a resposta R$6.715,61 
 
Nos dois exemplos até aqui demonstrados tivemos a apuração do valor futuro 
de uma anuidade com 5 termos uniformes. Podemos também ter uma situação 
onde seja necessário apurar o valor atual, correspondente a um determinado 
número de prestações. 
 
Exemplo: Suponha que você está comprando hoje um VGBL (plano de 
aposentadoria) para garantir uma renda fixa mensal uniforme no valor de R$ 
5.000/mês, pelo período de 5 anos (60 meses). Você começará a receber a 
renda no final do primeiro mês após a compra do título. Qual o montante que 
você terá que desembolsar para adquirir o título, considerando uma taxa de 
juros de 1% ao mês? 
 
Para encontrar o valor presente de uma série uniforme, basta trazer todos os 
fluxos financeiros para a data zero. 
 
PV = R + R + R + ... + R _ 
 (1 + i) (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)n 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Da teoria das progressões chegamos à seguinte fórmula do valor presente para 
uma série postecipada: 
 
Fórmula => PV = PMT * (1 + i)n – 1 
 i * (1 + i)n 
 
PV = 5.000 * (((1,01)60 – 1) / (0,1 * (1,01)60)) 
PV = 5.000 * (0,8167 / 0,018167) 
PV = 5.000 * 44,9551 
PV = R$224.775,19 
 
Resolvendo o problema na HP 12C: 
 
Tecle “f” => tecle “fin” (para limpar a memória financeira) 
Tecle “f” => tecle “reg” (para limpar a memória dos registros) 
Tecle “g” => tecle “end” (define uma série postecipada) 
Digite “60” => tecle “n” (equivale ao número de períodos) 
Digite “1” => tecle “i” (taxa de juros por período) 
Digite “5.000” => tecle “CHS” (para inverter o sinal) e “PMT” (valor 
das prestações) 
Tecle “PV” => A máquina fornecerá a resposta R$224.775,19 
 
Assim como demonstrado na apuração do valor futuro, no cálculo do valor 
presente de séries antecipadas, teremos apenas que proceder ao ajuste de 1 
período: 
 
Assumindo o exemplo acima, mas com o recebimento da primeira retirada do 
benefício no ato da compra do título, teríamos: 
 
PV série antecipada = PV série postecipada * (1 + i) 
PV série antecipada = 224.775,19 * (1,01) 
 
 
 
 
 
 
 
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PV série antecipada = R$ 227.022,94 
 
Da mesma forma que apuramos os valores futuro e presente da anuidade, 
podemos calcular o valor da prestação de uma série (uniforme). Mantendo o 
mesmo exemplo acima, teríamos: 
 
Valor inicial da série postecipada => R$ 224.775,19 
Prazo (em meses) => 60 meses 
Taxa de juros mensal => 1% 
PMT = ? 
 
Fórmula => PMT = PV * i * (1 + i)n 
 (1 + i)n - 1 
 
 PMT = 224.775,19 * {[0,01 * (1,01)60] / [(1,01)60 – 1)]} 
 PMT = 224.775,19 * (0,01817 / 0,8167) 
 PMT = 224.775,19 * 0,02225 
 PMT = 5.000,00 
 
Resolvendo o problema na HP 12C: 
 
Tecle “f” => tecle “fin” (para limpar a memória financeira) 
Tecle “f” => tecle “reg” (para limpar a memória dos registros) 
Tecle “g” => tecle “end” (define uma série postecipada) 
Digite “60” => tecle “n” (equivale ao número de períodos) 
Digite “1” => tecle “i” (taxa de juros por período) 
Digite “224.775,19” => tecle “CHS” (para inverter o sinal) e “PV” (valor 
presente) 
Tecle “PMT” => A máquina fornecerá a resposta R$5.000,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Séries Variáveis (não uniforme) 
 
Existirão situações onde os valores dos termos da série não serão uniformes 
(conforme ilustração a seguir). Tais situações são muito comuns em projetos de 
investimentos, onde as saídas e entradas de caixa se dão de forma variável, 
inviabilizando a aplicação das fórmulas anteriores. 
 
A solução desses problemas demandará que cada termo da série seja tratado 
como uma série única. 
 
Prazo Valor 
Taxa de 
Juros Fórmula 
Valor 
presente 
0 -100 1% - 100 (100,0) 
1 -50 1% - 50 / (1 + 0,01)1 (49,5) 
2 50 1% 50 / (1 + 0,01)2 49,0 
3 100 1% 100 / (1 + 0,01)3 97,1 
4 150 1% 150 / (1 + 0,01)4 144,1 
5 150 1% 150 / (1 + 0,01)5 142,7 
6 -100 1% - 100 / (1 + 0,01)6 (94,2) 
7 50 1% 50 / (1 + 0,01)7 46,6 
8 100 1% 100 / (1 + 0,01)8 92,3 
9 150 1% 150 / (1 + 0,01)9 137,2 
 
 
Valor presente 
total 465,4 
 
 
 
150 150 150
50 100 50 100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-50
-100 -100
 
 
 
 
 
 
 
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Resolvendo problemas de série variável na HP 12 C: 
 
 Digite “f” “fin” 
Tecle “f” “reg” 
Digite “100” “CHS” 
 Tecle “g” “cfo” 
 Digite “50” “CHS” 
 Tecle “g” “cfj” 
 Digite “50” 
 Tecle “g” “cfj” 
 Digite “100” 
 Tecle “g” “cfj” 
 Digite “150” 
 Tecle “g” “cfj” 
 Digite “150” 
 Tecle “g” “cfj” 
 Digite “100” “CHS” 
 Tecle “g” “cfj” 
Digite “50” 
 Tecle “g” “cfj” 
 Digite “100” 
 Tecle “g” “cfj” 
 Digite “150” 
 Tecle “g” “cfj” 
 Digite “1” 
 Tecle “i” 
 Tecle “f” “NPV” => A máquina fornecerá a resposta R$ 465,37 
 
 
 
 
 
 
 
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 Séries Perpétuas 
 
Em algumas situações o número de pagamentos da série uniforme pode ser 
considerado infinito. Temos, então, uma série perpétua, também conhecida por 
perpetuidade. São bastante utilizadas em cálculos de aposentadoria e de 
precificação de empresas (valuation). 
 
O valor presente de uma série uniforme postecipada perpétua é igual ao valor do 
pagamento (PMT) dividido pela taxa de juros (i). 
PV = PMT / i 
 
O valor presente de uma série uniforme antecipada perpétua é igual ao valor 
presente do pagamento (PMT) dividido pela taxa de juros (i), multiplicado pelo 
fator (1+i) 
 PV = (PMT / i) * (1 + i) 
 
 
 Formulário 
 
Séries uniformes – anuidades postecipadas 
 
 FV = PMT * (1 + i)n – 1 onde: PMT = o valor das prestações 
 i 
 
 PMT = FV * ________i________ 
 (1 + i)n – 1 
 
 PV = PMT * (1 + i)n – 1 
 i * (1 + i)n 
 
 PMT = PV * i * (1 + i)n 
 (1 + i)n - 1 
 
 
 
 
 
 
 
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Séries uniformes – anuidades antecipadas 
 
 FV = PMT * (1 + i)n – 1 * (1 + i) 
 i 
 
 PMT = FV * ________i________ / (1 + i) 
 (1 + i)n – 1 
 
 
 PV = PMT * (1 + i)n – 1 * (1 + i) 
 i * (1 + i)n 
 
 PMT = PV * i * (1 + i)n / (1 + i) 
 (1 + i)n - 1 
 
Séries variáveis 
Não permite a aplicação direta de fórmulas. É necessário tratar cada termo da 
série como uma série única. 
 
Séries perpétuas postecipadas 
PV = PMT / i 
 
Séries perpétuas antecipadas 
PV = (PMT / i) * (1 + i)