Séries de Pagamentos

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Séries de 
Pagamento
Séries de 
Pagamento
TópicosTópicos
1. Caracterização dos Modelos
2. Cálculo do Valor Presente
3. Equivalência Financeira
4. Séries de Pagamento não 
Convencionais
2
CaracterizaçãoCaracterização
◦ Até aqui vimos como realizar análises 
financeiras de operações que envolviam um 
único pagamento ou poucos pagamentos 
que eram sempre tratados de forma unitária.
◦ Contudo, no mercado financeiro operações 
que envolvem diversos pagamentos 
(períodos ou não) é muito comum.
◦ Operações financeiras que evolvem vários 
pagamentos são chamadas de Série de 
Pagamentos. Pagamentos realizados de 
forma seriada são também representados em 
fluxos de caixa e apresentam diversas 
modalidades.
3
4
CaracterizaçãoCaracterização
As diferentes características de uma série de 
pagamentos podem ser divididas em quatro 
fatores: período de ocorrência, periodicidade e 
duração e valores.
Evidentemente, essas características estão 
relacionadas ao padrão de pagamento definido 
na operação financeira.
1. Período de Ocorrência: Postecipados, 
Antecipados e Diferidos.
2. Periodicidade: Períodos e Não 
Periódicos.
3. Duração: Limitados (finitos), 
Indeterminados (infinitos).
4. Valores: Constantes e Variáveis.
5
CaracterizaçãoCaracterização
O modelo padrão que será mais explorado aqui 
será a série postecipada, limitada, constante e 
periódica.
0 1 2 3 4 ... nn-1
PMT PMT PMT PMT PMT PMT
�Periodic Payment Amount (valor do pagamento periódico)
Valor 
Presente
Valor 
Presente
6
O Valor Presente de uma série de pagamentos 
uniformes é determinado pelo somatório dos 
valores presentes de cada um dos pagamentos.
Portanto, matematicamente temos:
�� =
���
(1 + �)
+
���
1 + � 2
+
���
1 + � 3
+
���
1 + � 4
+ ⋯ +
���
1 + � �
− 1
+
���
1 + � �
Colocando PMT em evidência:
�� = ���[ 1 + � �� + (1 + �)��+ (1 + �)��+ ⋯ + (1 + �)����+ (1 + �)��]
0 1 2 3 4 ... nn-1
PMT PMT PMT PMT PMT PMT
Valor 
Presente
Valor 
Presente
7
O cálculo do Valor Presente pode ser resumida 
em duas partes: a prestação (PMT) e o Fator de 
Valor Presente (FVP).
�� = ��� � ���(�, �)
O FVP é a soma de uma progressão geométrica 
(PG) de n períodos cujo primeiro termo (a1) e a 
razão (q) são iguais a (1+i)-1 e o n-ésimo termo (an) 
igual a (1+i)-n.
A fórmula da soma de uma PG (Sn) é dada por:
�� =
�1 − ���
1 − �
Sendo Sn = FPV (i,n):
���(�,�) =
(1 + �)��−(1 + �)��−(1 + �)��
1 − (1 + �)��
Multiplicando o numerador e o denominador por 
(1+i):
���(�,�) =
1 − (1 + �)��
�
Dessa forma, o Valor Presente é dado por:
�� = ��� ×
1 − (1 + �)��
�
8
Valor 
Presente
Valor 
Presente
9
ExercíciosExercícios
1. João recebe a oferta para adquirir um carro 
através do pagamento de 13 prestações 
mensais e consecutivas de R$ 8.500,00 a uma 
taxa juros de 3,2 a. m. Até quanto você pagaria 
nesse carro à vista?
2. Um empréstimo de R$ 35.400,00 é concedido 
para o pagamento em 9 prestações mensais 
iguais a uma taxa de juros de 53,8% a.a. Qual é 
o valor das prestações desse empréstimo?
3. Um terreno está sendo ofertado nas 
seguintes condições: R$ 12.500,00 de entrada 
e mais 12 prestações iguais e consecutivas de 
R$ 4.500,00. Considerando que a taxa de juros 
média para este tipo de operação é de 3,2% a. 
m., qual seria o valor máximo qe deveria ser 
cobrado deste terreno à vista?
Valor 
Futuro
Valor 
Futuro
10
De forma similar podemos encontrar o valor 
futuro de uma série de pagamentos.
O valor futuro se dá ao final do período 
simultaneamente ao último pagamento. Assim, 
o valor futuro pode ser escrito como:
�� = ��� + ��� 1 + � + ���(1 + �)� + ���(1 + �)� + ⋯ + ���(1 + �)���
0 1 2 3 4 ... nn-1
PMT PMT PMT PMT PMT PMT
VF
Valor 
Futuro
Valor 
Futuro
11
Colocando PMT em evidência:
�� = ���[ 1 + � + 1 + � � + 1 + � � + ⋯ + 1 + � ���]
Ou seja, assim como o Valor Presente, o Valor 
Futuro pode ser representado por dois termos: 
PMT e o Fator de Valor Futuro (FVF):
�� = �������(�, �)
Aplicando a fórmula da soma de uma progressão 
geométrica FFV onde o primeiro termo é igual a 
1, a razão (1+i) e o n-ésimo termo (1+i)n-1, termo 
que:
���(�, �) =
(1 + �)�−1
�
Portanto, o Valor Futuro é dado por:
�� =
(1 + �)�−1
�
1. Qual é o montante acumulado ao final de 10 
meses de uma sequência de pagamentos 
mensais no valor de R$ 1.350,00 cada, dada a 
taxa de juros de 13,4 a.s.?
2. A fim de realizar um investimento de R$ 
32.500,00 daqui a 14 meses, quando Joana 
deverá investir mensalmente a uma taxa de 
3,8% a.m.?
12
ExercíciosExercícios
3. João prometeu realizar 20 pagamentos 
trimestrais de R$ 350,00 para quitar um 
empréstimo cujo montante final é de R$ 
8.940,63. Qual é a taxa de juros que remunera 
o empréstimo?
4. Uma pessoa pegou um empréstimo de R$ 
43.000,00 para ser pago em 11 prestações 
mensais uniformes de R$ 4.443,79 cada. No 
pagamento da 3ª parcela, ela solicita um 
refinanciamento do saldo da dívida para ser 
pago em 15 prestações mensais e iguais, 
vencendo a primeira em 30 dias. A taxa de 
juros do refinanciamento é de 3,2% a.m. 
Encontre o valor da prestação do 
refinanciamento.
13
ExercíciosExercícios
14
Até aqui vimos como trabalhar com séries 
convencionais, ou seja, postecipadas, uniformes 
limitadas, constantes e periódicas.
A partir de agora começamos a analisar séries 
não convencionais, isto é, que fogem do padrão 
mencionado acima.
Começas com as séries de pagamento 
antecipadas. Elas correm quando o pagamento 
começa antes do final do primeiro período.
Séries 
Antecipadas
Séries 
Antecipadas
0 1 2 3 4 ... nn-1
PMT PMT PMT PMT PMT PMT
Antecipação
15
Para calcular uma série antecipada, basta 
considerar o primeiro pagamento (antecipado) e 
o restante como série postecipada.
Para cálculo do valor presente basta incluir o 
valor corrente da prestação e somar com a série 
postecipada.
A calculadora financeira distingue séries 
postecipadas e antecipadas. A série postecipada
é o padrão da calculadora. Para realizar o cálculo 
de uma série antecipada, basta pressionar a tecla 
“g” e “7”. Aparecerá a expressão “begin” no visor 
da calculadora. Para voltar ao sistema 
postecipado, pressione “g” e “8”.
Séries 
Antecipadas
Séries 
Antecipadas
16
Matematicamente, a série antecipada antecipa 
uma prestação para ser paga no ato do negócio.
Em outras palavras, a antecipação de uma 
parcela equivale a multiplicar a série postecipada
por (1+i), tanto para o cálculo do valor presente 
quanto para o valor futuro.
Por exemplo, suponha uma série de pagamentos 
de três períodos. Se ela for postecipadas, o valor 
presente é dado por:
�� =
���
(1 + �)
+
���
(1 + �)�
+
���
(1 + �)�
Séries 
Antecipadas
Séries 
Antecipadas
Se a mesma série de três pagamentos for 
antecipada, o valor presente seria:
�� = ��� +
���
(1 + �)
+
���
(1 + �)�
Ou seja, 
����� = �����(1 + �)
17
Séries 
Antecipadas
Séries 
Antecipadas
18
Dessa forma, a fórmula do valor presente de 
séries antecipadas é dada por:
�� = ���
1 − 1 + � ��
�
(1 + �)
O valor futuro segue a mesma lógica. O valor 
futuro de uma série postecipada de três períodos 
é:
�� = ��� + ��� 1 + � + ���(1 + �)�
A série antecipada equivalente é:
�� = ��� 1 + � + ���(1 + �)�+���(1 + �)�
Ou seja,����� = ����� 1 + � , ou:
�� − ���
1 + � �� − 1
�
(1 + �)
Séries 
Antecipadas
Séries 
Antecipadas
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ExemploExemplo
DADOS
Valor Financiado 
(PV)
R$10,000.00
Taxa de Juros (i) 1% a. m.
Quantidade de 
períodos (n) 
12
Parcela 
Postecipada
R$888.49
Parcela 
Antecipada
R$ 879.69
20
Prestação Postecipadas Prestação Antecipada
Parcela
Saldo 
Inicial
Taxa Juros Amortização Pagamento
Saldo 
Devedor
Parcela
Saldo 
Inicial
Taxa Juros Amortização Pagamento
Saldo 
Devedor
1 10,000.00 1.0% 100.00 788.49 888.49 9,211.51 1 10,000.00 1.0% - 879.69 879.69 9,120.31 
2 9,211.51 1.0% 92.12 796.37 888.49 8,415.14 2 9,120.31 1.0% 91.20 788.49 879.69 8,331.82 
3 8,415.14 1.0% 84.15 804.34888.49 7,610.80 3 8,331.82 1.0% 83.32 796.37 879.69 7,535.45 
4 7,610.80 1.0% 76.11 812.38 888.49 6,798.41 4 7,535.45 1.0% 75.35 804.34 879.69 6,731.12 
5 6,798.41 1.0% 67.98 820.51 888.49 5,977.91 5 6,731.12 1.0% 67.31 812.38 879.69 5,918.74 
6 5,977.91 1.0% 59.78 828.71 888.49 5,149.20 6 5,918.74 1.0% 59.19 820.50 879.69 5,098.23 
7 5,149.20 1.0% 51.49 837.00 888.49 4,312.20 7 5,098.23 1.0% 50.98 828.71 879.69 4,269.53 
8 4,312.20 1.0% 43.12 845.37 888.49 3,466.83 8 4,269.53 1.0% 42.70 836.99 879.69 3,432.53 
9 3,466.83 1.0% 34.67 853.82 888.49 2,613.01 9 3,432.53 1.0% 34.33 845.36 879.69 2,587.17 
10 2,613.01 1.0% 26.13 862.36 888.49 1,750.65 10 2,587.17 1.0% 25.87 853.82 879.69 1,733.35 
11 1,750.65 1.0% 17.51 870.98 888.49 879.67 11 1,733.35 1.0% 17.33 862.36 879.69 870.99 
12 879.67 1.0% 8.80 879.69 888.49 - 12 870.99 1.0% 8.71 870.98 879.69 -
Total - - 661.85 10,000.03 10,661.88 - Total - - 556.29 9,999.99 10,556.28 -
21
Postecipada Antecipada
Parcela
Taxa 
Efetiva
VP Parcela
Taxa 
Efetiva
VP
888.49 1.0% 879.69 879.69 0.0% 879.69 
888.49 2.0% 870.98 879.69 1.0% 870.98 
888.49 3.0% 862.36 879.69 2.0% 862.36 
888.49 4.1% 853.82 879.69 3.0% 853.82 
888.49 5.1% 845.37 879.69 4.1% 845.36 
888.49 6.2% 837.00 879.69 5.1% 836.99 
888.49 7.2% 828.71 879.69 6.2% 828.71 
888.49 8.3% 820.51 879.69 7.2% 820.50 
888.49 9.4% 812.38 879.69 8.3% 812.38 
888.49 10.5% 804.34 879.69 9.4% 804.34 
888.49 11.6% 796.37 879.69 10.5% 796.37 
888.49 12.7% 788.49 879.69 11.6% 788.49 
10661.88 - 10,000.02 10556.28 - 9,999.99
22
1. Encontre o valor a vista de uma compra feita 
através de 9 prestações mensais de R$ 170,00 
com taxa de juros de 2,7% a.m. onde a 
primeira prestação é paga no ato da compra.
2. Com as mesmas informações do exercício 
acima, encontre o valor futuro.
3. Quanto seria o valor presente e futuro se o 
primeiro pagamento fosse 30 dias após a 
compra?
4. Um produto foi adquirido a prazo, com 9 
prestações mensais de R$ 154,12 mais uma 
entrada de R$ 300,00. Sabendo-se que a taxa 
de juros contratada foi de 3% a. m., qual é o 
preço a vista e o valor futuro desse protudo?
ExercícioExercício
Séries de pagamento diferidas são séries cujo 
pagamento ocorre após o final um período de 
mora.
Diferimento também é conhecido como 
carência.
Como a base para identificar o período de 
carência é a série postecipada, o tempo de 
carência equivale ao mês do primeiro 
pagamento menos um mês.
Em outras palavras, a série é considerada diferida 
quando o primeiro pagamento ocorre após o 
final do primeiro período. 23
Séries 
Diferidas
Séries 
Diferidas
0 1 2 3 4 ... nn-1
Carência
PMT PMT PMT PMT
24
Para o cálculo do valor presente adicionamos o fator 
de acumulação de capital que depende da taxa de 
juros e da carência, ���(�, �):
�� = ���� ��� �, � � ��� (�, �)
Onde c é o número de carência, n o número de 
prestações e o ��� é dado por:
��� =
1
(1 + �)�
Importante não confundir o prazo total da operação 
com o �. No caso de séries diferidas, o prazo total da 
operação é a soma da carência com o número de 
prestações.
O cálculo do valor futuro é praticamente o mesmo. A 
única diferença é que consideramos apenas �, ou seja, 
o número de prestações da série.
Séries 
Diferidas
Séries 
Diferidas
ExercícioExercício
25
1. Uma mercadoria é vendida a prazo em 18 
prestações mensais de R$ 249,90. Sendo 2,9% 
ao mês a taxa de juros, determine o preço a 
vista considerando:
a) O primeiro pagamento no ato da compra.
b) O primeiro pagamento ao final do primeiro mês.
c) O primeiro pagamento ao final do segundo mês.
d) O primeiro pagamento ao final do quarto mês.
2. Um estudante precisará de R$ 18.000,00 em 
15 meses para fazer um intercâmbio. Quanto 
ele terá que depositar mensalmente se ele 
conseguir obter uma taxa de 1,4% ao mês? 
Quanto ele terá que pagar se começar a 
depositar apenas a partir do terceiro mês?
Séries não 
Periódicas
Séries não 
Periódicas
26
A periodicidade de uma série reflete a regra do 
intervalo de tempo entre os pagamentos da série.
Quando esse intervalo não apresenta regularidade, 
dizemos que a série de pagamentos é não periódica.
Tanto o cálculo do valor presente quanto do valor 
futuro são feitos através do somatório da 
capitalização de cada um dos termos, isto é:
�� = �
���
(1 + �)�
�
���
�� = � ����(1 + �)
�
�
���
As fórmulas são as mesmas para séries variáveis, ou 
seja, séries com prestações diferentes.
ExercícioExercício
1. Uma empresa realiza um financiamento para 
ser pago em 8 prestações mensais de R$ 
1.500,00 a uma taxa de juros de 4,7 a.m. 
Todavia, a emrpesa conseguiu pagar apenas 
as prestações do mês 1, 3, 4 e 7. Quanto ela 
terá que pagar no mês 8 para quitar a dívida?
2. Uma pessoa realiza uma aplicação de taxa de 
3,8% ao mês em que os 6 depósitos são 
realizados de forma crescente, aumentando 
100 reais por mês com a primeira de R$ 
250,00. Calcule o valor presente e futuro dessa 
operação.
27