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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
MATA01 GEOMETRIA ANALÍTICA - CÁLCULO VETORIAL E RETAS E
PLANOS
PROFESSORA VANESSA BARROS
Lista de Exercícios
1. Analise se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas.
( ) Se os vetores ( u⃗ , v⃗ , w⃗ ) são linearmente dependentes então os
vetores ( u⃗ , v⃗ ) são linearmente dependentes.
( ) Se dois vetores ( u⃗ , v⃗ ) são linearmente independentes então os vetores
( u⃗ , v⃗ , w⃗ ) são linearmente independentes (onde w é um terceiro vetor
qualquer).
( ) Sejam u⃗ , v⃗ , w⃗ vetores não nulos e linearmente dependentes. Então 
(2 u⃗ ,- v⃗ ) são linearmente dependentes.
( ) Se três vetores ( u⃗ , v⃗ , w⃗ ) são linearmente independentes então os
vetores ( u⃗ , v⃗ ) são linearmente dependentes.
( ) Se três vetores ( u⃗ , v⃗ , w⃗ ) são linearmente dependentes então os
vetores ( u⃗ , v⃗ ) podem ser linearmente dependentes ou independentes.
( ) Se os vetores ( u⃗ , v⃗ ) são linearmente independentes então os vetores 
( u⃗ , v⃗ , w⃗ ) podem ser linearmente dependentes ou independentes.
2. Calcule todos os possíveis valores de m que tornam os vetores u⃗ e v⃗
abaixo ld.
a) u⃗ = (m, 1, m), v⃗ =(1, m, 1)
b) u⃗ =(1-m2, 1-m, 0) , v⃗ = (m, m, m)
3. Seja o triângulo ABC abaixo.
C (3, 3, 2)
a) Determine os ângulos do triângulo ABC.
b) Determine o vetor u⃗ sabendo que ele é paralelo a A⃗B , tem sentido
contrário e mede duas vezes o tamanho de A⃗B .
c) Determine o ponto D= B + u⃗ .
4. Sabendo que a projeçao de v sobre u é (2, 1), u⃗ = (4,2) e ‖v⃗‖ =6 (modulo
de v), determine v⃗ .
5. Seja ABC o triangulo abaixo (retangulo em A).
Sabendo que |⃗AB| = |⃗AC| =2, responda as perguntas a seguir.
a) Qual o módulo de A⃗B x B⃗A ?
b) Qual a direção de B⃗C x B⃗A ?
c) Qual o sentido (aponta para cima ou para baixo) de B⃗C x B⃗A ?
6. Calcule a área do paralelogramo abaixo.
A (3, 2, 1) B (3, 2, 2)
B
CA
C (3,2,-5)D
A (1,0,1) B (2,1,3)
7. Determine as coordenadas do ponto Q simétrico do ponto P(1,0,3) em relação
ao ponto M(1,2,-1).
8. Seja r a reta determinada pelos pontos A(1,0,1) e B(3,-2,3).
a) Obtenha as equações de r nas formas vetorial, paramétrica e simétrica.
b) Verifique se o ponto P(-9,10,-9) pertence a r.
c) Obtenha dois vetores diretores (Ver definição abaixo) de r e dois pontos de r,
distintos de A e B.
Definição: Vetor diretor da reta r é qualquer vetor não nulo paralelo a r.
9. Seja π o plano que contém o ponto A(3,7,1) e é paralelo aos vetores u⃗ =
(1,1,1) e v⃗ =(1,1,0).
a) Obtenha duas equações vetoriais de π.
b) Obtenha equações paramétricas de π.
c) Verifique se o ponto (1,2,2) pertence a π.
d) Verifique se o vetor w⃗ = (2,2,5) é paralelo a π.
10.Determine a posição relativa entre os planos Ω: 2x+3y+4z=5 e
ß: 6x+2y+2z=3.
GABARITO
1. F F F F V V V
2. a) m = 1 ou m=-1 b) m=1 ou m=0
3. a = b = 45 ° c= 90°
4. v⃗ 1 = ( 10+√155
5
, 5−2√155
5
 ) e 
 v⃗ 2 = ( 10−√155
5
, 5+2√155
5
 ) 
5. a) 0 
b) Perpendicular a B⃗C e B⃗A ao mesmo tempo 
c) De acordo com a regra da mão direita, o sentido é para cima
6. área = 10√2
7. Q(1,4,-5)
8. a) Equação vetorial da reta: (x,y,z) = (1,0,1) + t (2,-2,2) 
 Equação simétrica: 
x−1
2
=− y
2
= z−1
2
 Equações paramétricas: {x=1+2ty=−2z=1+2 t
b) O ponto pertence a reta.
c) u⃗1=(4,−4,4) / u⃗2=(1,−1,1) / C(5,−4,5) / D(2,−1,2)
9. a) A⃗P=2u⃗+3 v⃗ ou A⃗P=5 u⃗+4 v⃗ 
 Equação geral do plano: −x+ y−4=0
b) Equações paramétricas: {x=3+h+ty=7+h+ tz=1+h
c) O ponto não pertence ao plano.
d) O vetor dado não é paralelo ao plano.
10. Os planos são concorrentes.