P2 2 2011 mecatronica

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Pucminas – Engenharia Mecatrônica – Turno Manhã 
Prova 02 – Álgebra Linear - Valor 40 Pontos – 25/11/11 – Prof. Fabiano 
 
Nome: _______________________________________________________________________ 
 
1) Verifique se o conjunto de funções �2����cos �3
�,3��������3
�� é linearmente 
Independente. (4 pontos) 
 
 
2) Considere as seguintes transformações lineares: 
 ��: �� � �� , reflexão no plano xy; 
 ��: �� � �� , projeção na direção do vetor �� � �1,2,1�; 
 
a) Determine a matriz de �� (2 pontos) 
b) Determine a matriz de �� (2 pontos) 
c) Determine a matriz da composta �� � �� (2 pontos) 
d) Determine o núcleo de �� � �� (2 pontos) 
e) Determine a imagem de �� � �� (2 pontos) 
f) A composta �� � �� é inversível? Caso positivo determine a transformação inversa? (2 pontos) 
 
 
3) Determine a matriz � � 3 3 sabendo-se que seus autovalores são !� � �2, !� � 3 e !� �3, e as respectivas direções de autovetores são: (10 pontos) 
 
��� � " 22�1#, ��� � "
131# e ��� � "
�112 # 
 
 
4) Seja �: �$ � �$, linear, tal que 
 
� %&'()* � +
& � ' , 3( , 4)3& � 2' , 10( , 10)2& � 2' , 5( , 7)& � ' , 2( , 2) 1. 
 
Determine, se existir, a transformação inversa ���. Caso ��� não exista, explique. (10 pontos) 
 
5) Determine os autovalores e autovetores associados da matriz "1 2 21 2 10 0 1# (4 pontos)