P3 2 2008 mecatronica

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Pucminas – Engenharia Mecatrônica 
Prova 03 – Álgebra Linear - Valor 25 - Pontos – 21/11/08 – Prof. Fabiano 
 
Nome: ________________________________________________________________ 
 
1) Determine uma base e a dimensão do espaço vetorial das matrizes simétricas de 
ordem 3 � 3. (3 pontos) 
 
Dica: uma matriz quadrada � � � � � � �	
�� é simétrica se 	
� � 	�
 . 
 
 
 
2) Sejam ���, ��� e ��� vetores linearmente independentes de um espaço vetorial 
qualquer. Os vetores os vetores ��� � ��� � ���, ��� � ��� � ��� e ��� � ��� � 2��� � ��� 
são linearmente independentes ou linearmente dependentes? (6 pontos) 
 
 
 
3) Determine uma base de vetores unitários e a dimensão do espaço solução do sistema 
homogêneo (5 pontos) 
 
�� � 3� � 2� � 2� � 3� � 0� � 4� � 3� � 4� � 2� � 02� � 3� � � � 2� � 9� � 0� 
 
 
O espaço solução encontrado é subespaço de qual espaço vetorial? (2 pontos) 
 
 
4) Sejam ���, ���, … , ��! vetores não nulos e mutuamente ortogonais do "!(isto é, todos 
são ortogonais entre si). 
 
a) Mostre que ���, ���, … , ��! são linearmente independentes (dica: utilize as 
propriedades do produto escalar) (3 pontos) 
 
b) Mostre que qualquer vetor �� # "! pode ser escrito como uma combinação linear da 
forma 
 �� � 	���� � 	� ��� � … � 	! ��! 
 
e determine os coeficientes 	�, 	�, … , 	!. (3 pontos)