Lista Cálculo Vetorial - Cálculo III

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COLETÂNEA DE EXERCÍCIOS 
CÁLCULO III 
Prof. Me. Flávio da Silva 
 
 
FACULDADE NORTE CAPIXABA DE SÃO MATEUS 
 
 
Maio de 2016 
23 
 
Capítulo 2. Cálculo Vetorial 
Seção 1. Campos Vetoriais 
1. Desenhe os campos vetoriais , em , e , em , definidos abaixo. 
 
a) b) 
c) d) 
e) f) 
g) h) 
2. Dentre as quatro figuras a seguir, duas delas estão relacionadas, cada uma, a um dos 
campos vetoriais 
 
 e , 
 
em . Identifique essas duas figuras com o seu campo vetorial correspondente, dizendo o 
porquê das escolhas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
3. Qual dos desenhos abaixo representa o campo de vetor gradiente da função , definida por 
, em ? Dê razões para suas escolhas. 
 
 
 
4. As ou (também chamadas ou 
) de um campo vetorial são as trajetórias seguidas por uma partícula cujo 
campo de velocidade é um campo vetorial dado. Assim, os vetores do campo vetorial são 
tangentes a suas linhas de fluxo. 
 
a) Use um esboço do campo vetorial para desenhar algumas linhas de 
escoamento. Desses seus esboços é possível descobrir qual é a equação das linhas de 
escoamento? 
 
b) Se as equações paramétricas de uma linha de escoamento são e , explique 
por que essas funções satisfazem as equações diferenciais e . Então 
resolva as equações diferenciais para encontrar uma equação da linha de escoamento que 
passa através do ponto (1, 1). 
 
 
 
 
 
 
25 
 
Seção 2. Integrais de Linha
1. Calcule a integral de linha, onde é a curva dada. 
 
a) , , , 
b) , é a metade direita do círculo 
c) , é o segmento de reta que liga (1, 2) a (4, 7) 
d) , é o arco de parábola de (1, 1) a (3, 9) 
e) , é o arco de curva de ( 1, 1) a (1, 1) 
f) , é o segmento de reta que liga (0, 6, 1) a (4, 1, 5) 
g) , , , , 
h) , , , , 
i) , consiste nos segmentos de reta: 
 
de (0, 0, 0) a (0, 1, 1), de (0, 1, 1) a (1, 2, 3) e de (1, 2, 3) a (1, 2, 4) 
 
j) , , , 
k) , , , 
l) , , , 
 
2. Um arame fino é entortado no formato da semicircunferência , . Se a 
densidade linear for uma constante , determine a massa e o centro de massa do arame. 
 
3. Determine a massa e o centro de massa de um arame com formato da hélice 
 
, , , , 
 
se a densidade em qualquer ponto for igual ao quadrado da sua distância do ponto à origem. 
 
4. Se um arame com densidade linear está sobre uma curva plana , seus 
 em relação aos eixos e são definidos por 
 
 
Ache os momentos de inércia do arame com o formato de um semicírculo , , 
cuja a função densidade em qualquer ponto é linear e proporcional a sua distância à reta . 
26 
 
5. Se um arame com densidade linear está sobre uma curva espacial , seus 
 em relação aos eixos , e são definidos por 
 
 
 
 Determine os momentos de inércia do arame com o formato da hélice 
 
, , , , 
 
se a densidade for uma constante . 
 
6. Determine o trabalho realizado pelo campo de força em uma 
partícula que se move sobre a parábola de ( 1, 1) a (2, 4). 
 
7. A força exercida pela carga elétrica colocada na origem sobre uma partícula carregada em 
um ponto com vetor posição é 
 
 
 
onde é uma constante. Ache o trabalho feito quando a partícula se move ao longo de uma 
linha reta de (2, 0, 0) a (2, 1, 5). 
 
8. Experiências mostram que uma corrente contínua em um fio comprido produz um campo 
magnético B que é tangente a qualquer círculo em um plano perpendicular ao fio cujo centro 
seja o eixo do fio (como na figura). 
 
A relaciona a corrente elétrica ao campo magnético criado e afirma que 
 
 
onde é a corrente total que passa por qualquer superfície limitada por uma curva fechada e 
 é uma constante chamada permeabilidade no vácuo. Tomando como um círculo de raio , 
mostre que o módulo do campo magnético a uma distância do centro do fio é dado 
por . 
27 
 
Seção 3. Teorema Fundamental para Integrais de Linha
1. Veja se é um campo vetorial conservativo, e se for, encontre uma função potencial de . 
 
a) b) 
c) d) 
2. A figura abaixo mostra o campo vetorial e três curvas que vão de (1, 2) a 
(3, 2). Por que tem o mesmo valor para as três curvas e qual é esse valor comum? 
 
 
 
3. Mostre que a integral de linha , onde é qualquer 
caminho de ( 1, 0) a (5, 1), é independente do caminho e calcule a integral. 
 
4. Considere um campo vetorial . Mostre que: 
 
a) Se é conservativo e , , têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então 
 
 
b) A integral de linha não é independente do caminho (use o item (a)). 
 
5. Diga se o conjunto dado é ou não aberto, conexo por caminhos e ou simplesmente conexo. 
 
a) b) c) 
6. Diz-se que é um se , para alguma 
constante , onde . 
 
a) Determine o trabalho realizado por ao mover um objeto de um ponto por um caminho 
para um ponto em termos da distância e desses pontos à origem. 
 
b) O campo gravitacional é um exemplo de campo de quadrado inverso. Use a 
parte (a) para determinar o trabalho realizado pelo campo gravitacional quando a Terra se 
move do afélio (em uma distância máxima de do Sol) ao periélio (em uma 
distância mínima de ) (use os valores , e 
 ). 
 
c) Outro exemplo de campo inverso do quadrado é o campo elétrico . Suponha que 
um elétron com carga de esteja localizado na origem. Uma carga positiva 
unitária é colocada à distância de do elétron e se move para uma posição que está à 
metade da distância original do elétron. Use a parte (a) para determinar o trabalho realizado 
pelo campo elétrico (use o valor ). 
28 
 
Seção 4. Teorema de Green
1. Calcule a integral de linha por dois métodos, a saber o método direto e o Teorema de Green. 
 
a) , onde é o retângulo com vértices (0, 0), (2, 0), (2, 3) e (0, 3). 
 
b) , onde é o círculo centrado na origem e de raio 1. 
 
c) , onde é o triângulo com vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 2). 
 
d) , onde é formado pelo arco da parábola de (0, 0) a (2, 4) 
e pelos segmentos de reta de (2, 4) a (0, 4) e de (0, 4) a (0, 0). 
 
2. Calcule a integral de linha sobre a curva , com orientação positiva, pelo Teorema de Green. 
 
a) , onde é o quadrado de lados , , e . 
 
b) , onde é a fronteira da região delimitada pelas 
parábolas e . 
 
c) , onde é a fronteira da região delimitada pela 
parábola e pela reta . 
 
d) , onde é o círculo . 
 
e) , onde é a fronteira da região contida entre os círculos 
 e . 
 
3. Aplique o Teorema de Green para encontrar o trabalho realizado pela força 
 
 
 
ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo para (1, 0), em seguida ao longo de um 
segmento de reta até (0, 1), e então de volta à origem ao longo do eixo . 
 
4. Sabemos que uma das aplicações do Teorema de Green está no cálculo de áreas. 
a) Se é o segmento de reta ligando o ponto ( ) ao ponto ( ), mostre que 
 
 
b) Se os vértices de um polígono, na ordem anti-horária, são ( ), ( ), , ( ), mostre 
que a área do polígono é 
 
 
 
c) Determine a área do pentágono com vértices (0, 0), (2, 1), (1, 3), (0, 2) e ( 1, 1). 
 
29 
 
5. Seja a região limitada por um caminho fechado simples no plano . Utilize o Teorema 
de Green para demonstrar que as coordenadas do centroide ( , ) de sãoonde é a área de . 
 
6. Use o exercício 5 para encontrar o centroide do triângulo com vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 1). 
 
7. Uma lâmina plana com densidade constante ocupa uma região do plano 
limitada por um caminho fechado simples . Mostre que seus momentos de inércia em relação 
aos eixos são 
 
 
8. Na seção 6, exercício 19 (Aplicações Físicas das Integrais Duplas), vimos que os momentos 
de inércia , e de uma lâmina com função densidade e ocupando uma certa região 
 são, respectivamente, 
 
 
 
 
Por exemplo, para determinarmos os momentos de inércia , e do disco homogêneo 
(notamos que a fronteira de é o círculo , que em coordenadas polares é descrito 
como 0 , 0 ) com densidade , centrado na origem e de raio , 
fazemos: 
 
 
 
 
 
(Note que, em relação a e , pela simetria do problema, tem-se que e ) 
 
Vamos fazer o mesmo, mas agora usando as ideias desta seção, ou seja, utilize o exercício 7 
para achar o momento de inércia de um círculo de raio com densidade constante em 
relação a um diâmetro. 
 
 
30 
 
Seção 5. Rotacional e Divergência
1. Seja um campo escalar e um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. 
Em caso negativo, justifique. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar. 
 
a) b) c) 
d) e) f) 
g) h) i) 
j) k) l) 
2. Verifique se o campo vetorial é conservativo, e se for o caso, encontre uma função potencial. 
 
a) b) 
 
3. Existe um campo vetorial em tal que ? Justifique. 
4. Considere dados arbitrariamente os campos vetoriais , 
onde , e são diferenciáveis, e . Mostre que: 
 
a) é irrotacional b) é incompressível 
 
5. Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existam e são 
contínuas. Se for um campo escalar e , forem campos vetoriais, então , e 
serão definidos por 
 
 
 
a) b) 
c) d) 
e) f) 
g) 
6. Verifique as identidades. 
 
a) b) c) 
d) e) f) 
g) 
 
7. Se , ache . Existe um valor de para o qual ? 
 
8. Neste exercício, e satisfazem as hipóteses do Teorema de Green e as derivadas 
parciais apropriadas de e existem e são contínuas. 
31 
 
a) Use o Teorema de Green na forma para demonstrar a 
: 
 
 
 
(A quantidade , que aparece na integral de linha, é a derivada direcional na 
direção do vetor normal e chamada de ). 
 
b) Use a primeira identidade de Green para demonstrar a : 
 
 
 
9. Este exercício ilustra a conexão entre vetor rotacional e rotações. Seja um corpo rígido 
girando sobre o eixo . A rotação pode ser descrita pelo vetor , onde é a velocidade 
angular de , ou seja, a velocidade tangencial de qualquer ponto em dividida pela distância 
 do eixo de rotação. Seja o vetor posição de . Use a figura abaixo e mostre que: 
 
a) Considerando o ângulo , o campo de velocidade de é dado por 
 
b) c) 
 
 
 
10. As relacionam o campo elétrico e o campo magnético , quando 
eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue: 
 
 
 
onde é a velocidade da luz. Use essas equações para demonstrar o seguinte: 
 
a) b) 
c) (Dica: use exercício 5-g) d) 
32 
 
Seção 6. Integrais de Superfície
1. Calcule as integrais de superfície especificadas. No caso (letras f, g, h, i, j) das integrais de 
superfície de campos 
 
, para o campo vetorial dado e a superfície orientada , 
 
calcular tais integrais é, em outras palavras, localizar (determinar) o fluxo de através de . 
Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior ) positiva. 
 
a) , onde é o pedaço do plano que está acima do retângulo [0,3] 
 [0, 2]. 
b) , onde é o pedaço do plano que está no primeiro octante. 
c) , onde é a superfície , com e . 
d) , onde é o hemisfério , . 
e) , onde é o helicoide , com 
 e . 
f) , onde é a parte do paraboloide que está 
acima do quadrado , , e com orientação ascendente . 
 
g) , onde é a superfície , com e , e 
com orientação ascendente . 
h) , onde é a parte do plano que se encontra no 
primeiro octante, e com orientação descendente . 
i) , onde é a esfera . 
 
j) , onde é o helicoide definido na letra (e), e com orientação 
ascendente . 
 
2. Determine o centro de massa do hemisfério 
 
, , 
 
se ele tiver densidade constante. 
 
3. Determine a massa de um funil fino com o formato do cone 
 
, , 
 
se sua função densidade é . 
 
4. Dê uma expressão integral para o momento de inércia em torno do eixo de uma folha 
fina no formato da superfície se a função densidade é . Em seguida, determine o momento 
de inércia em torno do eixo do funil do exercício 3. 
 
 
33 
 
(Aplicações Físicas das Integrais de Superfície) 
 
5. (Fluxo Elétrico) Suponha que uma carga elétrica esteja localizada na origem. Pela 
, a força elétrica (x) exercida por essa carga sobre uma carga localizada no 
ponto com vetor posição x é 
 
 
 
onde é uma constante (que depende da unidade usada). Para cargas de mesmo sinal, temos 
 e a força é repulsiva. Para cargas opostas temos e a força é atrativa. Trata-se 
assim de um campo vetorial, mais especificamente, um exemplo de . Os 
físicos, frequentemente, em vez de considerarem a força elétrica , consideram a força por 
unidade de carga: 
 
 
 
Então é um campo vetorial em chamado de . A integral de superfície 
 
 
chama-se a de através da superfície . Uma importante lei de eletrostática é a 
, que diz que a carga total englobada por uma superfície é 
 
 
 
onde é uma constante (denominada ) que 
depende das unidades usadas (no sistema SI, ). Use a Lei de 
Gauss para encontrar a carga: 
 
a) Contida no hemisfério sólido , , se . 
 
b) Dentro de um cubo com vértices ( ), se . 
 
6. (Fluxo de Calor) Suponha que a temperatura em um ponto em um corpo seja 
. Então, o é definido como o campo vetorial 
 
 
 
onde é uma constante determinada experimentalmente, chamada da 
substância. A taxa de transmissão de calor através da superfície no corpo é então dada pela 
integral de superfície 
 
 
 
De acordo com isso, considere que a temperatura em um ponto em uma substância 
com condutividade seja . 
 
Responda: 
 
Qual é a taxa de transmissão de calor nessa substância através da superfície cilíndrica 
, ? 
 
34 
 
Seção 7. O Teorema de Stokes
1. Um hemisfério e uma porção de um paraboloide são mostrados na figura que segue. 
 
 
Suponha que seja um campo vetorial sobre cujas componentes tenham derivadas parciais 
contínuas. Explique por quê 
 
2. Useo Teorema de Stokes para calcular . 
 
a) , onde é a parte do paraboloide que está 
acima do plano , e com orientação ascendente . 
 
b) , onde é o hemisfério , , e com 
orientação ascendente . 
 
c) , onde é formada pelo topo e pelos quatro lados da pirâmide 
com vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1) e (0, 1, 0) que está à direita do plano com 
orientação na direção positiva do eixo . (Dica: use a equação abaixo) 
 
3. Use o Teorema de Stokes para calcular . Em cada caso, é orientado no sentido 
anti-horário quando visto de cima. 
 
a) , onde é a fronteira da parte do plano no 
primeiro octante. 
 
b) , onde é a curva da intersecção do plano com o 
cilindro . 
 
c) , onde é a curva da intersecção do plano com 
o cilindro . 
 
d) , onde é a curva da intersecção do paraboloide hiperbólico 
 com o cilindro . 
 
4. Suponha que e satisfaçam as hipóteses do Teorema de Stokes e , tenham derivadas 
parciais de segunda ordem contínuas. Use o exercício 5-(b,d), da seção 5, para demonstrar: 
 
a) b) c) 
35 
 
Seção 8. O Teorema da Divergência (de Gauss)
1. Verifique se o Teorema de Gauss é verdadeiro para o campo vetorial na região . 
 
a) , onde é o cubo limitado pelos planos , , , 
, e . 
 
b) , onde é o sólido delimitado pelo paraboloide e 
pelo plano . 
 
2. Use o Teorema de Gauss para calcular a integral de superfície , ou seja, calcule o 
fluxo de através de . 
 
a) , onde é a superfície do cubo com vértices 
( ). 
 
b) , onde é a metade superior (de cima) da 
esfera . 
 
[Dica: Note que não é uma superfície fechada. Calcule primeiro as integrais sobre e , 
onde é o disco , orientado para baixo, e ] 
 
3. Verifique se para o campo elétrico 
 
 
 
4. Seja a esfera . Use o Teorema de Gauss para avaliar 
 
 
5. Demonstre cada identidade, supondo que e satisfaçam as condições do Teorema de 
Gauss e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas 
parciais de segunda ordem contínuas. 
 
a) , é um vetor constante b) , 
c) d) 
e) 
 
f) 
 
6. Suponha que e satisfaçam as condições do Teorema de Gauss e que seja uma função 
escalar com derivadas parciais contínuas. Demonstre que 
 
Estas integrais de superfície e triplos de funções vetoriais são vetores definidos por meio da 
integração de cada função do componente. 
 
[Dica: Comece aplicando o Teorema de Gauss para ; é um vetor constante arbitrário] 
36 
 
7. (Princípio de Arquimedes) Um sólido ocupa uma região com superfície e é imerso num 
líquido com uma densidade constante . Escolhemos um sistema de coordenadas de modo 
que o plano coincida com a superfície do líquido e valores positivos de sejam medidos 
para baixo, adentrando o líquido. Então, a pressão na profundidade é , onde é a 
aceleração da gravidade. A força de empuxo total sobre o sólido devida à distribuição de 
pressão é dada pela integral de superfície 
 
 
 
onde é o vetor normal unitário apontando para fora. Use o resultado do exercício 6 para 
mostrar que , onde é o peso do líquido deslocado pelo sólido. (Observe que é 
dirigida para baixo porque é dirigida para baixo.) 
 
O resultado é o : 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
Capítulo 2
Seção 1 
1. Farei a metade do trabalho deixando apenas as letras a, b, d, e como exercício! 
c) f) 
 
g) h) 
 
2. i) O campo vetorial correspondente à figura IV, pois todos os vetores têm tamanho e 
direção idênticos 
 
ii) O campo vetorial correspondente a figura II, pois cada vetor tem mesmo 
comprimento e direção do vetor de posição do ponto , e portanto todos os vetores se 
distanciam diretamente do ponto a partir da origem. 
 
3. O desenho II representa o campo de vetor gradiente da função , em . De 
fato, pois , e assim, cada vetor tem a mesma direção e 
comprimento duas vezes a do vetor de posição do ponto , e segue que todos os vetores 
se distanciam diretamente do ponto a partir da origem e seus comprimentos crescem a medida 
que se afastam da origem. 
4. a) Abaixo, esboçamos o campo vetorial junto com algumas linhas de fluxo, 
cuja forma é similar ao gráfico das hipérboles . 
 
 
61 
 
Assim, podemos imaginar que as linhas de fluxo têm equações do tipo , com c constante.
b) Se e são as equações paramétricas da linha de fluxo, então o vetor 
velocidade da linha de fluxo no ponto (x, y) é . Como os vetores velocidade 
coincidem com os vetores do campo de vetores, temos: 
 
Usando o método das equações separáveis (visto no curso de EDO) concluímos que uma 
equação para as linhas de fluxo que passa pelo ponto (1, 1) é , com . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
Seção 2
1. a) b) 
c) d) 
e) f) 
g) h) 
i) j) 
k) l) 
2. e 
3. e 
4. e 
5. e 
6. 
7. 
8. Teórico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
Seção 3
1. a) b) não é conservativo 
c) d) 
2. Primeiramente note que como o campo vetorial , definido sobre que é uma região aberta 
e simplesmente conexa, é tal que e possuem derivadas parciais de primeira 
ordem contínuas satisfazendo a , então é conservativo (teorema). Daí, 
uma vez que é conservativo, segue do TFC para integrais de linha que a integral de linha de 
 depende somente dos pontos extremais da curva, ou seja, é independente do caminho. Ora, 
como as três curvas possuem os mesmos pontos extremais (pontos iniciais e terminais), segue 
que a integral de linha de tem o mesmo valor para cada curva, e este valor comum é 16. 
3. Faça! 
4. Mostre 
5. a) Sim, sim e sim b) Sim, não e não c) Sim, sim e não 
6. a) b) c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
 
Seção 4
1. a) b) 
c) d) 
2. a) b) 
c) d) 
e) 
3. 
4. Faça! 
5. Teórico 
6. 
7. Teórico 
8. Os momentos de inércia sobre um dos diâmetros são iguais (simetria). Assim, . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
Seção 5
1. a) não tem sentido porque é um campo escalar 
 
b) é um campo vetorial 
c) é um campo escalar 
d) é um campo vetorial 
e) não tem sentido porque não é um campo escalar 
f) é um campo vetorial 
g) é um campo escalar 
h) não tem sentido porque é um campo escalar 
i) é um campo vetorialj) não tem sentido porque é um campo escalar 
k) não tem sentido porque é um campo escalar 
l) é um campo escalar 
 
2. a) Como é um campo vetorial definido sobre todo cujas funções componentes têm 
derivadas parciais de segunda ordem contínuas e , então é um campo 
vetorial conservativo (teorema). Assim, existe tal que , e neste caso , definida por 
, é uma função potencial de . 
 
b) Como , segue que é um campo vetorial não conservativo. 
3. Não, pois se existisse tal , então , e isso contradiz um teorema. 
 
4. Teórico 
5. Prove 
6. Verifique 
7. Se , então . Consequentemente, se então temos . 
8. Teórico 
9. Teórico 
10. Teórico 
 
 
66 
 
Seção 6
1. a) b) c) 
d) e) f) 
g) h) i) 
j) 
2. (0, 0, /2) 
 
3. 
4. ; 
5. a) b) 
6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
Seção 7
1. Explique 
2. a) b) c) 
3. a) b) c) 
d) 
4. Teórico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
Seção 8
1. Verifique 
2. a) b) 
3. Verifique 
4. 
5. Teórico 
6. Teórico 
7. Teórico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
Capítulo 3. Séries de Fourier 
Seção 1. Sequências Infinitas 
1. 
Respostas 
 
Seção 2. Séries 
1. 
Respostas 
 
Seção 3. Séries de Fourier 
1. 
Resposta