Gabarito P1 A2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
BC0406 - Introduc¸a˜o a` Probabilidade e a` Estat´ıstica
Noturno A2, Prof. Vladimir Perchine
Prova - 1 (gabarito)
1a. Lanc¸amos treˆs moedas honestas. Descreva os seguintes eventos e calcule as prob-
abilidades deles: a) aparecem duas caras, b) aparece pelo menos uma cara.
A = {CCC¯, CC¯C, C¯CC}, P (A) = 3/8
B = {CC¯C¯, C¯CC¯, C¯C¯C, CCC¯, CC¯C, C¯CC,CCC}, P (B) = 7/8
1b. Escolhemos uma pessoa aleatoriamente e perguntamos em qual meˆs ela nasceu e
em qual dia de semana ela faz aniversa´rio neste ano. Descreva o espac¸o amostral
deste evento. Ele e´ equiprova´vel? Por que?
Seja n o nu´mero de meˆs, e m, o nu´mero do dia de semana. O espac¸o amostral Ω =
{(n,m)|n = 1, . . . , 12;m = 1, . . . , 7} na˜o e´ equiprova´vel por dois motivos. Primeiro, meses
diferentes teˆm quantidades diferentes de dias. Por exemplo, em janeiro ha´ mais aniversari-
antes de que em fevereiro. Segundo, a quantidade de dias de semana em um ano tambe´m
depende do dia. O ano de 2016 e´ bissexto, ou seja, possui 366 dias. Entre eles, ha´ 53
sextas-feiras, 53 sa´bados, 52 domingos, 52 segundas-feiras etc.
2a. Uma senha de 7 s´ımbolos deve conter no mı´nimo 3 letras e no mı´nimo 3 d´ıgitos
nume´ricos, em ordem arbitra´ria. Nenhum s´ımbolo pode ser repetido. Quantas
senhas distintas existem?
Ha´ duas possibilidades: 4 letras + 3 nu´meros e 3 letras + 4 nu´meros. Primeiramente, escol-
hemos quais posic¸o˜es sera˜o ocupadas por letras e quais, por nu´meros. Depois, escolhemos
uma letra ou um nu´mero, correspondentemente, para cada posic¸a˜o:(
7
4
)
· 26 · 25 · 24 · 23 · 10 · 9 · 8 +
(
7
3
)
· 26 · 25 · 24 · 10 · 9 · 8 · 7 = 1, 17936 · 1010
Um outro me´todo e´ contar primeiro as formas de escolher sete s´ımbolos e depois multiplicar
pelo nu´mero de permutac¸o˜es entre eles (ja´ que todos os s´ımbolos sa˜o distintos):
7! ·
(
26
3
)(
10
4
)
+ 7! ·
(
26
4
)(
10
3
)
= 1, 17936 · 1010
2b. Uma senha de 8 s´ımbolos deve conter no mı´nimo 3 letras e no mı´nimo 3 d´ıgitos
nume´ricos, em ordem arbitra´ria. S´ımbolos podem ser repetidos. Quantas senhas
distintas existem?
Ha´ treˆs possibilidades: 5 letras + 3 nu´meros, 4 letras + 4 nu´meros e 3 letras + 5 nu´meros.
Primeiramente, escolhemos quais posic¸o˜es sera˜o ocupadas por letras e quais, por nu´meros.
Depois, escolhemos uma letra ou um nu´mero, correspondentemente, para cada posic¸a˜o:(
8
5
)
· 265 · 103 +
(
8
4
)
· 264 · 104 +
(
8
3
)
· 263 · 105 = 1, 08367 · 1012
3a. Treˆs pessoas sa˜o distribu´ıdas aleatoriamente em uma filheira com 8 cadeiras. Qual
a probabilidade de que as treˆs fiquem juntas, uma ao lado da outra?
Entre 8 cadeiras, podemos formar 6 grupos de treˆs cadeiras adjacentes: (1, 2, 3), (2, 3, 4),
. . ., (6, 7, 8). Logo,
P =
6(
8
3
) = 3
28
= 0, 107
3b. Treˆs pessoas sa˜o escolhidas aleatoriamente de um grupo de quatro casais. Qual
a probabilidade de que entre as treˆs na˜o aparec¸a nenhum casal?
1◦ me´todo. Escolhemos treˆs casais entre os quatro, e de cada um deles, escolhemos um
representante: (
4
3
)
· 23(
8
3
) = 4
7
= 0, 571.
2◦ me´todo. A primeira pessoa com probabilidade p1 = 1 sera´ uma das oito presentes. A
segunda na˜o formara´ um casal com a primeira com p2 = 6/7, e a terceira, com p3 = 4/6 na˜o
formara´ um casal com nenhuma das primeiras duas. Logo, P = 1 · 6
7
· 4
6
= 4
7
.
4a. Sejam A e B dois eventos com P (A) = 0, 3, P (B) = 0, 4 e P (A ∩ B) = 0, 12. Calcule
P (A|BC).
P (A|BC) = P (A ∩B
C)
P (BC)
=
P (A)− P (A ∩B)
1− P (B) =
0, 18
0, 6
= 0, 3
4b. Sejam A e B dois eventos com P (A) = 0, 3, P (B) = 0, 4 e P (A ∩ B) = 0, 12. Calcule
P (AC |BC).
P (BC) = 1−P (B) = 0, 6, P (AC∩BC) = 1−P (A∪B) = 1−P (A)−P (B)+P (A∩B) = 0, 42
P (AC |BC) = P (A
C ∩BC)
P (BC)
= 0, 7
4c. Sejam A e B dois eventos com P (A) = 0, 3, P (B) = 0, 4 e P (A ∩ B) = 0, 12. Calcule
P (AC |B).
P (AC |B) = P (A
C ∩B)
P (B)
=
P (B)− P (A ∩B)
P (B)
= 0, 7
Uma outra forma de resolver os treˆs u´ltimos exerc´ıcios e´ reparar que os eventos A e B sa˜o
independentes, P (A) · P (B) = 0, 3 · 0, 4 = 0, 12 = P (A ∩B) e, portanto,
P (A|BC) = P (A) = 0, 3, P (AC |BC) = P (AC |B) = P (AC) = 0, 7