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ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 1 / 34 Capı´tulo 1 Matrizes ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 2 / 34 Matriz Uma matriz do tipom× n e de entradas reais (ou complexas) e´ um quadro demn nu´meros reais (ou complexos) dispostos emm linhas e n colunas. A = a11 a12 . . . a1j . . . a1n a21 a22 . . . a2j . . . a2n . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . aij . . . ain . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amj . . . amn Notac¸a˜o: A = [aij ]m×n ou A = [aij ] ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 3 / 34 Entrada de uma matriz A = a11 a12 . . . a1j . . . a1n a21 a22 . . . a2j . . . a2n . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . aij . . . ain . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amj . . . amn Elemento ou entrada (i, j) Notac¸a˜o: Mm×n(R) - conjunto de todas as matrizes do tipom× n sobre R. ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 4 / 34 Linhas de uma matriz A = a11 . . . a1j . . . a1n . . . . . . . . . ai1 . . . aij . . . ain . . . . . . . . . am1 . . . amj . . . amn Linha i ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 5 / 34 Colunas de uma matriz A = a11 . . . a1j . . . a1n . . . . . . . . . ai1 . . . aij . . . ain . . . . . . . . . am1 . . . amj . . . amn Coluna j ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 6 / 34 Matriz nula [aij ] e´ a matriz nula se aij = 0, para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n, i.e., todas as entradas sa˜o nulas. 0 . . . 0 . . . 0 . . . . . . . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . . . . . . . 0 . . . 0 . . . 0 • A matriz nula do tipom× n designa-se por 0m×n. ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 7 / 34 Matriz coluna e matriz linha Matriz coluna: a1 . . . am m×1 Matriz linha: [ a1 . . . an ] 1×n ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 8 / 34 Matrizes quadradas Uma matriz diz-se quadrada se o nu´mero de linhas e´ igual ao nu´mero de colunas. a11 . . . a1i . . . a1n . . . . . . . . . . . . ai1 . . . aii . . . ain . . . . . . . . . . . . an1 . . . ani . . . ann n×n • n diz-se a ordem da matriz (Sem 6= n, a matriz diz-se retangular.) ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 9 / 34 Matrizes quadradas A = a11 . . . a1i . . . a1n . . . . . . . . . . . . ai1 . . . aii . . . ain . . . . . . . . . . . . an1 . . . ani . . . ann • Diagonal principal de A: a11, a22, . . . , ann ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 10 / 34 Matriz triangular inferior Uma matriz quadrada A = [aij] diz-se triangular inferior se aij = 0 para i < j. a11 0 . . . 0 . . . . . . ai1 . . . aii . . . . . . . . . . . . 0 an1 . . . ani . . . ann ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 11 / 34 Matriz triangular superior Uma matriz quadrada A = [aij] diz-se triangular superior se aij = 0 para i > j. a11 . . . a1i . . . a1n 0 . . . . . . . . . . . . aii . . . ain . . . . . . 0 . . . 0 ann ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 12 / 34 Matriz diagonal Uma matriz quadrada A = [aij] diz-se diagonal se aij = 0 para i 6= j. A = a11 . . . 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 . . . aii . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 . . . 0 . . . ann Se todas as entradas da diagonal principal forem iguais, diremos que a matriz e´ escalar. ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 13 / 34 Matriz identidade A matriz diagonal de ordem n cujas entradas da diagonal principal sa˜o iguais a 1 designa-se por matriz identidade (de ordem n). In = 1 0 . . . 1 . . . 0 1 ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 14 / 34 Igualdade de matrizes Duas matrizes A = [aij ] e B = [bij], do tipom× n, dizem-se iguais se aij = bij , para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n. • Nestas condic¸o˜es, escrevemos A = B. Submatriz de A: e´ uma matriz que se obte´m por supressa˜o de linhas e/ou colunas de A. Operac¸o˜es com matrizes ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 15 / 34 Adic¸a˜o de matrizes Se duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ] forem do mesmo tipom× n, enta˜o a soma A+B e´ a matriz do tipom× n cuja entrada (i, j) e´ aij + bij , para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n. ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 16 / 34 Propriedades da adic¸a˜o de matrizes • ∀A,B,C ∈Mm×n(R), (A+B) + C = A+ (B + C) • ∀A,B ∈Mm×n(R), A+B = B + A • ∀A ∈Mm×n(R), A+ 0m×n = A • ∀A = [akℓ]m×n, ∃A ′ = [−akℓ]m×n, A+ A ′ = 0m×n ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 17 / 34 Multiplicac¸a˜o de um nu´mero por uma matriz O produto de um nu´mero (real ou complexo) α por uma matriz A = [aij ] do tipom× n e´ a matriz igualmente do tipom× n tal que a entrada (i, j) e´ αaij , para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n. • Nestas condic¸o˜es, usamos a seguinte notac¸a˜o: αA. ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 18 / 34 Propriedades do produto de um nu´mero por uma matriz • ∀α, β, ∀A, (αβ)A = α(βA) • ∀α, ∀A,B, α(A+B) = αA+ αB • ∀α, β, ∀A, (α+ β)A = αA+ βA • ∀A, 1A = A ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 19 / 34 Multiplicac¸a˜o de matrizes O produto de A = [aij], do tipom× n, por B = [bij], do tipo n× p e´ a matriz do tipom× p, tal que a entrada (i, j) e´ definida por cij = (linha i de A)× (coluna j de B) = [ ai1 ai2 · · · ain ] b1j b2j . . . bnj = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj = n∑ k=1 aikbkj para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , p. ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 20 / 34 Multiplicac¸a˜o de matrizes O produto de A = [aij], do tipom× n, por B = [bij], do tipo n× p e´ a matriz do tipom× p, tal que a entrada (i, j) e´ definida por cij = (linha i de A)× (coluna j de B) = n∑ k=1 aikbkj para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , p. • Notac¸a˜o para o produto de A por B: AB ou A×B. ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 21 / 34 Observac¸o˜es • O produto AB apenas esta´ definido se o nu´mero de colunas de A for igual ao nu´mero de linhas de B. • A linha i de AB obte´m-se multiplicando a linha i de A pela matriz B. • A coluna j de AB obte´m-se multiplicando a matrizA pela coluna j deB. ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 22 / 34 Propriedades do produto de matrizes • ∀Am×n,∀Bn×p,∀Cp×r, (AB)C = A(BC) • ∀A,B ∈Mm×n(R),∀Cn×p, (A+B)C = AC +BC • ∀Am×n,∀B,C ∈Mn×p(R), A(B + C) = AB + AC • ∀Am×n,∀Bn×p,∀α, α(AB) = (αA)B = A(αB) • ∀Am×n, A0n×p = 0m×p, 0p×mA = 0p×n • ∀Am×n, AIn = A, ImA = A ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 23 / 34 OBSERVAC¸ ˜AO: • A MULTIPLICAC¸ ˜AO DE MATRIZES N ˜AO ´E COMUTATIVA !! Quando AB = BA, diz-se que A comuta com B e A e B dizem-se permuta´veis. • AS LEIS DO ANULAMENTO DO PRODUTO EM MATRIZES N ˜AO S ˜AO V ´ALIDAS !! Matrizes invertı´veis ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 24 / 34 Inversa de uma matriz Uma matriz quadrada A, de ordemn, e´ invertı´vel se existir uma matriz quadrada B, de ordem n, tal que AB = BA = In . Exemplo Uma inversa de [ 2 −1 1 −1 ] e´ ? ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 25 / 34 Propriedades da inversa de uma matriz • Se A e´ invertı´vel, enta˜o a inversa e´ u´nica e denota-se por A−1. • Se A e B sa˜o matrizes invertı´veis, enta˜o AB e´ uma matriz invertı´vel e (AB)−1 = B−1A−1. • Se A e´ invertı´vel e k e´ um nu´mero inteiro, enta˜o (Ak)−1 = (A−1)k. • Se A e´ invertı´vel e α e´ um escalar na˜o-nulo, enta˜o (αA)−1 = 1 α A−1. ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 26 / 34 Transposta de uma matriz A transposta de uma matriz A do tipom× n, AT , e´ uma matriz do tipo n×m cujas linhas sa˜o as colunas de A pela mesma ordem. Exemplo A = [ 1 2 −1 3 0 1/2 ] AT = 1 32 0 −1 1/2 • Se A = AT , enta˜o diremos que A e´ sime´trica. • Se A = −AT , enta˜o diremos que A e´ anti-sime´trica. ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 27 / 34 Propriedades da transposic¸a˜o Considere as matrizes A,B do tipom× n, e C do tipo n× p, e um nu´mero α. • (AT )T = A • (A+B)T = AT +BT • (AC)T = CTAT • (αA)T = αAT • Se A e´ invertı´vel, enta˜o (AT )−1 = (A−1)T . ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 28 / 34 Matriz ortogonal Uma matriz quadrada diz-se ortogonal se for invertı´vel e a sua inversa coincidir com a sua transposta. Exemplo A matriz A = [ √ 2 2 − √ 2 2√ 2 2 √ 2 2 ] e´ ortogonal (verificar!) ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 29 / 34 Matriz de permutac¸a˜o Uma matriz quadrada de ordem n diz-se uma matriz de permutac¸a˜o se tiver as mesmas linhas que a matriz identidade In, mas na˜o necessariamente pela mesma ordem. Exemplos 0 1 00 0 1 1 0 0 0 1 01 0 0 0 0 1 ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 30 / 34 Matrizes elementares Chama-se matriz elementar de ordem n a toda a matriz que se obte´m de In por aplicac¸a˜o de uma operac¸a˜o elementar a`s respectivas linhas, i.e. I. Troca entre si de duas linhas II. Multiplicac¸a˜o de todos os elementos de uma linha por um nu´mero diferente de zero III. Substituic¸a˜o de uma linha pela soma dessa linha com um mu´ltiplo de outra ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 31 / 34 Matrizes elementares do tipo I Para i, j ∈ {1, · · · , n}, com i 6= j, Pij e´ a matriz que resulta de In trocando entre si a linha i com a linha j Exemplos P12 = 0 1 01 0 0 0 0 1 = P21 ; P24 = 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 = P42 • Seja Am×n. PijA e´ a matriz que se obte´m de A trocando a linha i com a linha j. • APij e´ a matriz que se obte´m de A trocando a coluna i com a coluna j. Teorema (Pij) −1 = Pij ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 32 / 34 Matrizes elementares do tipo II Para i ∈ {1, . . . , n} e α um escalar na˜o nulo, Di(α) e´ a matriz que se obte´m de In multiplicando a linha i por α Exemplos D2(7) = 1 0 00 7 0 0 0 1 ; D3(9) = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 9 0 0 0 0 1 • Seja Am×n. Di(α)A e´ a matriz que se obte´m de A multiplicando a linha i por α. Teorema (Di(α)) −1 = Di(α −1) ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 33 / 34 Matrizes elementares do tipo III Para i, j ∈ {1, . . . , n}, com i 6= j, e α um escalar, Eij(α) e´ a matriz que se obte´m de In substituindo a linha i pela soma da linha i com a linha j previamente multiplicada por α Exemplos E24(−4) = 1 0 0 0 0 1 0 −4 0 0 1 0 0 0 0 1 ; E31(1/2) = 1 0 0 0 0 1 0 0 1/2 0 1 0 0 0 0 1 • Seja Am×n. Eij(α)A e´ a matriz que se obte´m de A adicionando a` linha i a linha j previamente multiplicada por α. • AEij(α) e´ a matriz que se obte´m de A adicionando a` coluna j a coluna i previamente multiplicada por α Teorema (Eij(α)) −1 = Eij(−α) ALGA 2015/2016 – Mest. Eng. Civil Matrizes – 34 / 34 Observac¸o˜es • Se E for uma matriz elementar, EA e´ a matriz que se obte´m de A aplicando-lhe a`s linhas as mesmas operac¸o˜es elementares que foram aplicadas a`s linhas de In para obter E • Resultado ana´logo e´ va´lido para o produto AE, reflectindo-se agora o efeito da multiplicac¸a˜o nas colunas de A: AE e´ a matriz obtida de A aplicando-lhe a`s colunas as mesmas operac¸o˜es elementares que foram aplicadas a`s colunas de In para obter E. Operações com matrizes Matrizes invertíveis
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