estatística - exercícios resolvidos

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Estatística Aplicada à Ciências Humanas – Turma A 
5ª Lista de Exercícios – 11/06/2014 
 
1) Quais dos seguintes pares de eventos A e B são mutuamente exclusivos? 
Resp: o item (b) é o único que apresenta eventos mutuamente exclusivos. 
 
a) A: ser filho de um advogado 
 B: nascer em São Carlos 
 
b) A: ter menos de 16 anos de idade 
 B: votar para presidente 
c) A: possuir um Fiat Palio 
 B: possuir um Renault Clio 
 
d) A: formar-se em psicologia 
 B: fazer exame da ordem na OAB 
 
 
2) Defina um espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios: 
 
a) Um fichário com 10 fichas contém 3 nomes de mulheres. Seleciona-se ficha após ficha, até o último nome 
de mulher aparecer, e anota-se o número de fichas selecionadas. 
Pela situação colocada, é necessário encontrar todas as fichas com nome de mulher. 
A questão aqui é: "quantas fichas devem ser selecionadas para se encontrar todos os nomes de mulher?" 
Não dá pra saber, pois as fichas estão misturadas, mas dá pra saber qual é o número mínimo de fichas que 
podem ser selecionadas e também, o número máximo. Como temos que descrever todos os valores possíveis 
(espaço amostral), então, esses valores vão do valor mínimo até o máximo. 
 
Ω = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } 
 
b) Algumas famílias são entrevistadas numa pesquisa onde são anotados: a classe social a que pertence (A, B, 
C) e o estado civil do chefe da família (casado, viúvo, desquitado). 
Basta fazer todas as combinações possíveis de classe social com estado civil que teremos o espaço amostral. 
Este espaço amostral tem 9 combinações possíveis: 3 classes sociais x 3 estados civis. 
 
Ω = { (A,casado), (A,viúvo), (A,desquitado), (B,casado), (B,viúvo), (B,desquitado), (C,casado), 
(C,viúvo), (C,desquitado) } 
 
c) Um software é executado até que ocorra uma falha. O número de rodadas é, então, anotado. 
Obs: quem já não passou pela experiência de um programa deixar de funcionar de uma hora pra outra a 
ponto de, até, ter que reiniciar o equipamento? 
Bom, neste espaço amostral temos que pensar que: 
- o programa pode ter uma falha grave e que vai falhar na primeira vez que é executado; 
- o programa tem uma falha que só aparece com uma dada configuração do programa e, por isso, demora a 
aparecer ou 
o programa não tem nenhum problema e nunca vai falhar. 
Logo é um espaço amostral, na teoria, vai até infinito. 
 
Ω = { 1, 2, 3, 4, . . . } 
 
d) Mede-se o tempo de atendimento de um paciente num consultório. 
Este experimento é muito comum quando se pretende medir a qualidade de um serviço prestado. No caso é 
um consultório, mas poderia ser um banco; um supermercado; o balcão de companhia aérea; o guiche de 
uma repartição pública, etc... 
O importante aqui é perceber que o interesse é medir o tempo de atendimento tem um limite, pois no final 
do expediente este atendimento é encerrado. 
Logo, este atendimento pode variar de um tempo muito pequeno (ou zero) até este limite, mesmo sendo 
situações muito improváveis. 
 
Ω = { 0  T  tL }, em que tL é o tempo limite de atendimento. 
 
Este tempo limite pode ser pré-definido (1/2h, 1h, etc...) ou até mesmo o tempo total de atendimento do 
médico no consultório. 
 
e) Numa indústria automobilística, n carros foram produzidos com um defeito grave no sistema de freios. Os N 
automóveis do lote são inspecionados um-a-um até que o n-ésimo carro com defeito seja encontrado. O 
número de carros inspecionados é anotado. 
Ω = { n, (n + 1), (n + 2), . . ., N } 
 
f) Num estudo epidemiológico, para se estudar a propagação de uma doença contagiosa, observa-se a distância 
da ocorrência de novos casos e a direção de alastramento a partir de um foco inicial. 
Este espaço amostral é um pouco mais complicado. Para se combater uma doença contagiosa é necessário 
saber como é a sua propagação, portanto, é preciso indicar a distância ao foco inicial e a direção de 
propagação, tipo latitude e longitude, ou algo semelhante. Uma possibilidade seria: 
 
Ω = { (d, ) }, em que: 
d  0 é a distância de um novo caso ao foco inicial e 
0    360 é o ângulo deste novo caso a um eixo de referência (Figura). 
 
 
g) Um banco está interessado em medir o tempo que os caixas ficam parados esperando um cliente. 
Este espaço amostral é igual ao do item (d), porém aqui mede-se o tempo de ociosidade do atendente, que 
pode atender um cliente atrás do outro, sem ficar parado um instante sequer ou, num dia sem movimento, 
pode ficar o tempo inteiro de expediente se atender ninguém. 
Logo o tempo que o atendente fica parado vai de zero até o seu tempo máximo de expediente. 
 
Ω = { 0  T  tE }, em que tE é o tempo máximo de expediente. 
 
 
3) Resolva o seguinte problema: 
Um homem, sua esposa e mais quatro amigos vão ao teatro e entram numa fileira de cadeiras com 6 lugares. 
Quantas disposições de lugares são possíveis de maneira a permitir que a esposa sempre se sente ao lado do 
marido? 
Resp: 2×120 = 240 possibilidades. 
 
 
4) Num processo seletivo um indivíduo vai passar por exames médicos, por uma avaliação psicológica e uma 
avaliação física. Para fazer os exames médicos existem 4 laboratórios; para a avaliação psicológica, são 5 
profissionais disponíveis e para o teste físico, 3 clínicas. 
a) Qual o total de opções que ele tem? 
Resp: 4×5×3 = 60 possibilidades. 
 
b) Em quantas destas opções constará, por exemplo, o laboratório “Pasteur” e a psicóloga “Marli”? 
Resp: fixando o laboratório e a psicóloga, temos (Pasteur, Marli)×3 clínicas, ou seja, 3 possibilidades. 
 
c) Em quantas destas opções constará, por exemplo, o laboratório “Pasteur” ou a psicóloga “Marli”? 
Resp: 
i) fixando o laboratório, temos (Pasteur)×5 psicólogas ×3 clínicas, ou seja, 15 possibilidades, ou 
ii) fixando a psicóloga, temos (Marli)×4 laboratórios ×3 clínicas, ou seja, 12 possibilidades, 
iii) descontando uma possibilidade, na qual (Pasteur, Marli) foram contadas nas situações (i) e (ii), 
temos: 15 + 12 – 1 = 26 possibilidades 
 
 
5) De 50 pessoas observadas num parque, 20 são obesas, 16 são altas e, destas, 4 são também obesas. Das 
pessoas altas, 5 também praticam esporte. Não foi observada nenhuma pessoas obesa que praticasse esporte. 
a) Quantas pessoas praticam esporte e quantas são só obesas, só altas (sugestão: faça o diagrama de Vem). 
Resp: pratica esportes = 23; só obesas = 16 e são só altas = 7 
 
b) Qual a probabilidade de se selecionar ao acaso uma pessoa: 
i) Alta ou que pratica esporte. P(alta ou esporte) = 34/50 = 0.68 
ii) Obesa e alta. P(obesa e alta) = 3/50 = 0.08 
iii) Praticar esporte, não sendo alta e nem obesa. P[esporte e (alta)
c
 e (obesa)
c
] = 18/50 = 0.36 
iv) Obesa e praticar esporte. P(obesa e esporte) = 0 
v) Não ser alta. P[(alta)
c
] = 34/50 = 0.68 
c) Sabendo que foi selecionada uma pessoa alta, qual a probabilidade de: 
i) Ser obesa. P(obesa | alta) = 4/16 = 0.25 
ii) Praticar esporte. P(esportes | alta) = 5/16 = 0.3125 
 
 
6) Numa turma de 48 alunos existem 14 de pós-graduação e o restante são graduandos. Uma comissão com 5 
alunos para representar o curso numa reunião no conselho departamental deve ser formada. A comissão 
deve ter 3 alunos de graduação e dois de pós. 
(Não precisa fazer!!) 
a) Qual o total de comissões com 5 alunos que podem ser formadas e qual o número de comissões com 3 da 
graduação e 2 da pós. 
b) Como ninguém se prontificou a participar decidiu-se sortear os alunos para formar a comissão. O 
responsável pelo sorteio misturou os nomes de todos os 48 alunos numa caixa e os cinco nomes foram, 
então, sorteados. Qual é a probabilidade de que a comissão seja formada com exatamente 3 alunos da 
graduação e 2 da pós? 
c) Qual a probabilidadede que pelo menos 3 alunos da graduação estejam presentes na comissão? 
 
7) Considere uma doença determinada pelo gene recessivo a. Se um casal Aa e Aa tiverem um filho, qual é a 
probabilidade de ser doente. 
Possibilidades para o filho: AA; Aa ; aA e aa. 
Logo P( filho aa ) = 1/4 = 0.25 
 
8) Uma mulher tem 1/3 de chance de ainda estar viva daqui a 30 anos e seu marido tem 2/5 de chance. Qual é a 
probabilidade de, daqui a 30 anos: 
a) Ambos estejam vivos P(HM) = (1/3)×(2/5) = 2/15 = 0.133 
b) Ao menos um esteja vivo. P(HM ou HMc ou HcM) = (1/3)×(2/5) + (1/3)×(3/5) + (2/3)×(2/5) = 9/15 
c) Só o homem estar vivo. P(HMc) = (1/3)×(3/5) = 1/5 = 0.2 
 
 
9) Seja X v.a. representando o número de usuários de um microcomputador no período de um mês. A 
distribuição de probabilidade de X é dada abaixo: 
x 2 3 4 5 6 Total 
P(x) 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1 1.0 
a) Calcular P(x  3), P(x  4) e P(3 < x  5); 
P(X  3) = 0.4; P(X  4) = 0.6 e P(3 < X  5) = 0.5 
 
b) Calcular E(x) e Var(x). – Não precisa fazer 
 
10) Suponha que 12% dos alunos da UFSCar estejam infectados com o vírus “VIVACOPA” sem que a doença 
se manifeste. Se no ambulatório da universidade chegarem 20 alunos: 
a) Qual a probabilidade de que exatamente 5 sejam portadores do vírus? 
Seja X = número de alunos infectados dentre os 20. Então X ~ binomial(20, 0.12) 
P(X = 5) = 0.0567 
 
b) Qual a probabilidade de que pelo menos um seja portador? 
P(X  1) = 1 – P(X = 0) = 0.9224 
 
c) Qual o número esperado de infectados nos 25 pacientes? 
Espera-se 20×0.12 = 2.4 infectados (que pode ser arredondado para 2). 
 
 
11) Numa grande companhia, a proporção de funcionários com cargo de supervisão ou gerência que leem 
jornal regularmente é de p = 0.72. Se um grupo com 25 funcionários desta companhia, com este perfil, é 
convocado para uma reunião, determine: 
a) Qual o número esperado de pessoas no grupo que leem jornal regulamente? 
Seja X = núm. de funcionários que leem jornal regularmente, dentre os 25  X ~ binomial(25, 0.72) 
Espera-se 25×0.72 = 18 leitores regulares de jornal 
 
b) Qual a probabilidade de que exatamente 18 funcionários leiam jornal regularmente? 
P(X = 18) = 0.1754 
 
c) Qual a probabilidade de que a maioria do grupo leia jornal regularmente? 
A maioria é mais do que 50%, ou seja, 13 funcionários (já que n é impar) 
P(X  13) = 1 – P(X  12) =0.9904  0.99 (calculado pelo excel). 
 
d) Qual a probabilidade de que no máximo 2/3 do grupo leia jornal regularmente? 
2/3 de 25 é 16.6666, logo no máximo 2/3 não pode ser 17, assim 
P(X  16) = 0.2465 (calculado pelo excel). 
 
 
12) Numa fábrica foram instaladas 1000 lâmpadas novas. Sabe-se que a duração média das lâmpadas é de 800 
horas e desvio padrão de 100 horas, com distribuição Normal. 
Determinar a quantidade de lâmpadas (dentre as 1000) que durarão: 
 X = tempo de duração das lâmpadas. Então X ~ N[800 , 100] 
 
a) menos que 500 horas; 
P(X  500) = P(Z  -3) = 0.0013 
 1000×0.0013 = 1.3  1 lâmpada deverá durar menos de 500h. 
 
b) mais de 700 horas; 
P(X  500) = 1 – P(Z  -1) = 1 – 0.1587 = 0.8413 
 1000×0.8413 = 841.3  841 lâmpada deverão durar mais de 700h. 
 
c) entre 516 e 814 horas. 
P(516  X  814) = P(-2.84  Z  0.14) = P(Z  0.14) - P(Z  -2.84) = 0.5557 – 0.0023 = 0.5534 
 1000×0.5534 = 553.4  553 lâmpada deverão durar entre 516h e 814h. 
 
d) Sabendo que 200 lâmpadas duraram no máximo uma quantidade T de horas, qual é o valor de T ? 
P(X  T) = 0.2 = P[Z  (T – 800)/100], então (T – 800)/100 = -0.84 e T = 716h. 
Logo P(X  716) = 0.2 
 
e) Qual é o tempo, em horas, tal que 15% das lâmpadas têm duração maior do que este tempo? 
P(X  T) = 0.15, ou seja, P[Z  (T – 800)/100] = 0.85. Então (T – 800)/100 = 1.04 e T = 904h. 
Logo P(X  904) = 0.15