Apostila FenômenosTransportes Bernoulli

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FENÔMENOS DE TRANSPORTES
FLUIDODINÂMICA
“A água de boa qualidade é exatamente como a saúde ou a liberdade: ela só tem valor quando acaba”.
João Guimarães Rosa (1908-1967)
Prof. Cezar L. F. Pires
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FLUIDODINÂMICA
A Fluidodinâmica estuda o movimento (escoamento) dos líquidos.
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Equações Determinísticas
Equações Determinísticas (Físicas) –apresentam significado físico explicito, oriundas de um principio físico. 
 A partir de determinada causa bem conhecida seu uso pode estimar os efeitos recorrentes de um fenômeno físico com boa precisão.
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Equações Empíricas
Equações Empíricas (experimentais) – não apresentam significado físico explícito. São levantadas a partir de um experimento físico, com posterior ajuste matemático das variáveis (em geral aleatórias) monitoradas durante o experimento.
 
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Equações Determinísticas da Fluidodinâmica
1) Equação de Energia (Bernoulli) – oriunda do Princípio de Conservação de Energia.
2) Equação da Continuidade – oriunda do Princípio de Conservação de Massa.
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Equação de Energia (Bernoulli)
Principio da Conservação de Energia Mecânica:
Et = Ep + Ec = constante;
onde:
ET – energia total mecânica que se conserva;
Ep – energia potencial gravitacional – Ep = mgh;
Ec – energia cinética (de movimento) – Ec = ½ mv².
onde: m – massa; h – altura em relação a um referencial;
 v – velocidade média do escoamento e
 g – aceleração gravitacional (g = 9,81 m/s²).
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Daniel Bernoulli (1700/1782) cientista holandês. Lembrado por suas aplicações da matemática à mecânica, especialmente à mecânica de fluidos, e pelo seu trabalho pioneiro em probabilidade e estatística. Lecionou matemática em 1724 na Universidade de São Petersburgo - Rússia. Em 1733 ocupou a cátedra sucessiva de medicina, metafísica e filosofia natural na Universidade de Basel - Suíça, até a sua morte.
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Equação de Bernoulli (Energia)
Equação de Energia (Bernoulli)
Hipóteses Simplificadoras:
Escoamento Unidimensional - apenas uma dimensão espacial do escoamento é relevante, podendo portanto desprezar as outras duas;
Escoamento de fluido não viscoso – ex.: água;
Fluido incompressível (densidade constante desprezando variações térmicas) – líquidos (água);
Escoamento permanente (estacionário) – sem variação temporal, com fluxo (vazão) constante.
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Equação de Energia (Bernoulli)
Aplicado o conceito de conservação de energia entre duas seções transversais à um escoamento fluido como definido anteriormente, temos:
ET1 = ET2 = ET = cte
Ep1 + Ec1 = Ep2 + Ec2
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Equação de Energia (Bernoulli)
ou: 
mgh1 + ½ mv1² = mgh2 + ½ mv2²
sendo: m – massa de fluido constante.
Pode-se então dividir todas as parcelas da equação pela massa e também costuma-se pela gravidade g, tem-se assim:
h1 + v1²/2g = h2 + v2²/2g
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Equação de Energia (Bernoulli)
É importante observar que ao dividirmos toda equação original pela massa pela aceleração da gravidade, ocorre mudança na dimensão original (dimensão de energia, expressa por exemplo em Joules), para uma dimensão mais simples de comprimento (em metros, em geral).
Eq. de Bernoulli – Dimensão: L - comprimento
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Equação de Energia (Bernoulli)
É igualmente importante perceber que nesta nova dimensão cada parcela preserva uma equivalência com a dimensão original de energia a partir do conceito de carga hidráulica. 
h – oriundo da energia (carga) potencial gravitacional;
v²/2g – oriundo da energia (carga) cinética.
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Equação de Energia (Bernoulli)
A carga estática (potencial) é subdividida em duas:
h = z + p/ɣ
E a Equação de Bernoulli para Fluidos Perfeitos aplicada entre duas seções do escoamento em sua forma mais usual:
z1 + p1/ɣ + v1²/2g = z2 + p2/ɣ + v2²/2g 
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Equação de Energia (Bernoulli)
onde, z – carga/altura (energia potencial) de posição. Expressa o potencial para adquirir escoamento devido à declividade existente entre as seções. É mais relevante no escoamento de condutos livres (rios e canais).
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Equação de Energia (Bernoulli)
p/ɣ = p/ρg – carga/altura (energia potencial) de pressão (estática) ou piezométrica, onde:
ɣ - peso específico do fluido;
ρ - massa específica do fluido;
e ɣ = ρg – 2º Lei de Newton.
Água:
ɣ = 1.000 kgf/m³ (ST) = 9.810 N/m³ (SI - mks);
ρ = 1.000 kg/m³ (SI - mks).
v²/2g – carga/altura (energia cinética) de movimento /dinâmica.
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Equação de Energia (Bernoulli)
Expressa o potencial para adquirir escoamento devido a diferença de pressões existente entre as seções. O escoamento se dá do ponto de maior para o de menor pressão. É mais relevante no escoamento de condutos forçados (tubulações sob pressão).
LP – linha de pressões
ou piezométrica.
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Equação de Bernoulli – Fluidos Perfeitos
v²/2g – carga/altura (energia cinética) de movimento /dinâmica.
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Equação de Bernoulli – Fluidos Perfeitos
“Eu ouço e eu esqueço, eu vejo e eu lembro, eu faço e eu compreendo”.
Exercício:
A água escoa por um conduto forçado cuja seção varia do ponto 1 para o ponto 2 de 100 cm² para 50 cm². Em 1 a pressão é de 0,5 kgf/cm² e a elevação é de 100 m, ao passo que no ponto 2 a pressão é de 3,38 kgf/cm² na elevação de 70 m. Calcular a vazão (l/s) que escoa neste conduto desprezando as perdas entre 1 e 2.
Respostas v1=2,83m/s; v2=5,66m/s e Q=0,0283m³/s=28,3l/s
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