20170831 Alg Lin

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Espaços vetoriais reais
Exemplo 1:
V = (conj complex) é espaço vetorial real
{a + bi: a, b (pertencem ao conj reais), i²=-1}
+ (soma de complexos):
(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i
Satifsaz (A1) thru (A4)
(...) continuação de provas de que obedece às propriedades
Exemplo 2:
Considerar o sistema (*) - (a[11] x[1] thru a[mn] x[n], todas as linhas = 0)
Seja S o conj. solução de (*) -- (S subconj. de R^n)
Observe que se (c1 ... cn) e (d1 ... dn) pertencem à S:
 (c1 ... cn) + (d1 ... dn) pertencem à S (provado anteriormente no curso)
 = (c1 + d1 ... cn + dn)
-- (A1) e (A2) são satisfeitos (valem para todos os elementos de R^n, e portanto valem para S)
-- Como (0 ... 0) pertence à S, (A3) também é válido
-- Já mostramos, também, que se (lambda) pertence à R, (lambda)(c1 ... cn) pertence à S, e temos a operação de multiplicação por escalar, e também é faćil notar que (ME1), (ME2), (D1), (D2) são satisfeitos
-- Por fim, o oposto de um vetor v = -v = (-1)*v, como (-1) pertece à R, (A4) (?) é satisfeito, S é um espaço vetorial real
Exemplo: Sejam A pertencente à M(m) e (lambda) pertencente à R um autovalor de A
V(lambda) = {autovalores associados à lambda}
Como V(lambda) é o conjunto de soluções de um sistema homogêneo, então V(lambda) é espaço vetorial (contido no R^n)
Def.: Seja V um espaço vetorial e seja U subconj. de V
Dizemos que U é um subespaço vetorial de V se ele próprio é um espaço vetorial com as mesmas opeações
Prop.: Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto de V
Então S é subespaço veotrial de V sse:
 (1) O elemento neutro pertence à S
 (2) Para cada par de vetores u,v pertencentes à S, então u+v pertence à S
 (3) Para cada vetor v pertencente à S e cada escalar lambda pertencente à R, (lambda)v pertence à S
Exemplo:
 (a b)
S = (b c)
 (1) (0 0) é simétrico, logo pertence à S
 (0 0)
 (2) (a b) + (d e) = (a+d b+e)
 (b c) (e f) (b+e c+f)
 (3) (lambda) * (d e) = ((lambda)d (lambda)e)
 (e f) ((lambda)e (lambda)f)
Combinações lineares
Seja V um espaço vetorial, e considere (v1 ... vn) pertencente à V e (alfa[1] ... alfa[n]) pertencente à R
O vetor v = alfa[1]*v1 ... alfa[n]*vn é chamado combinação linear de v1 ... vn
Exercício: Verificar se (5, -1, 4) e (2, 2, 2) são combinações lineares de (1, -1, 2) e (2, 0, 1) (em R^3)
(Basta fazer [vetor a ser verificado] = alfa[v1] + beta[v2], se tiver soluções então é)
Obs.: Pode ser feito com matrizes aparentemente