Resistência dos Materiais - Deformações Parte 3

Prévia do material em texto

Professor Humberto Ritt 
Engenheiro Civil, M.Sc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEFORMAÇÃO 
Parte 3 
http://lattes.cnpq.br/1994972650209034 
• Princípio da superposição é frequentemente usado para determinar a 
tensão ou o deslocamento em um ponto de um elemento quando este 
estiver sujeito a um carregamento complicado. 
 
 
 
 
• A barra é estatisticamente indeterminada quando as equações de 
equilíbrio não são suficientes para determinar as reações. 
 
Princípio da superposição 
Elemento com carga axial estaticamente 
indeterminado 
 
 
Indeterminação Estática 
 Estruturas onde as forças internas e as 
reações não podem ser determinadas 
apenas por meio da estática, são 
chamadas de estruturas estaticamente 
indeterminadas. 
 A estrutura será estaticamente indeterminada sempre que 
ela for vinculada a mais apoios do que aqueles necessários 
para manter seu equilíbrio. 
0 RL 
 Deformações devido as forças reais e pela reações redundantes são 
determinadas separadamente e, em seguida, adicionadas ou 
superpostas. 
 
 Reações redundantes são substituídas 
por forças desconhecidas que, 
juntamente com as demais forças, deve 
produzir deformações compatíveis com 
as restrições originais. 
Exemplo 
Determine o valor das reações em A e B 
para a barra de aço com o carregamento 
mostrado, assumindo que não existe 
folgas entre os apoios e a barra. 
SOLUÇÃO: 
 Consideramos a reação em B como 
redundante e liberamos a barra daquele 
apoio. 
 
 A reação Rb é considerada 
desconhecida. 
Exemplo 
SOLUÇÃO: 
 Resolvendo o deslocamento em B devido às 
forças aplicadas, 
EEA
LP
LLLL
AAAA
PPPP
i ii
ii
9
L
4321
26
43
26
21
3
4
3
321
10125.1
m 150.0
m10250m10400
N10900N106000







 Resolvendo o deslocamento em B devido à 
reação redundante, 
 
 







i
B
ii
ii
R
B
E
R
EA
LP
δ
LL
AA
RPP
3
21
26
2
26
1
21
1095.1
m 300.0
m10250m10400
Os deslocamentos devido às forças e devido à 
reação redundante devem ser compatíveis, 
  
kN 577N10577
0
1095.110125.1
0
3
39







B
B
RL
R
E
R
E


Exemplo 
Encontrar a reação em A, devido às cargas e a 
reação em B 
 
kN323
kN577kN600kN 3000


A
Ay
R
RF
kN577
kN323


B
A
R
R
A haste de aço tem diâmetro de 5 mm e está 
presa à parede fixa em A. Antes de ser 
carregada, há uma folga de 1 mm entre a 
parede B’ e a haste. Determine as reações em 
A e B’ se a haste for submetida a uma força 
axial P = 20 kN. Despreze o tamanho do colar 
em C. (Eaço = 200 GPa) 
Exemplo 
    (2) mN 0,927.38,04,0
001,0/


BA
CBBACA
AB
FF
AE
LF
AE
LF
A condição de compatibilidade para a haste é 
. 
m 001,0/ AB
Usando a relação carga-deslocamento, 
As equações 1 e 2 nos dá FA = 16,6 kN e 
FB = 3,39 kN 
Solução: 
 
O equilíbrio da haste exige 
  (1) 01020 ;0 3   BAx FFF
 A mudança de temperatura numa barra resulta uma 
mudança no comprimento da mesma chamada de 
deformação térmica. 
 Não há tensão associada com a deformação térmica, a 
menos que o alongamento seja contido pelo apoio. 
 
 térmicadilatação de ecoeficient 



AE
PL
LT PT
 Trate o apoio adicional como redundantes e 
aplicar o princípio da superposição. 
Tensão térmica 
0 PT 
A deformação térmica e a deformação do apoio 
redundante devem ser compatíveis. 
 
 
 TE
A
P
TAEP
AE
PL
LT





 0
EXEMPLO 
 
A montagem mostrada na figura abaixo consiste das barras (1) e (2) , unidas 
pelo flange B, e ligadas em suas extremidades à suportes rígidos A e C. Uma 
carga concentrada P é aplicada no ponto B e a montagem é submetida a uma 
variação de temperatura T, conforme indicado. Determine a tensão normal no 
ponto médio de cada trecho. 
Generalização da Lei de Hooke – estados múltiplos de carregamento 
- Elemento sujeito a um carregamento 
multiaxial; 
 
- Componentes da deformação 
específica normal são expressas em 
função das componentes de tensão e 
podem ser determinadas a partir do 
princípio da superposição. 
 
Consideramos até o momento a análise de tensões e deformações em barras 
sujeitas a cargas axiais. Considerando este eixo como sendo o eixo x, 
determinou-se a tensão normal x = Px / Ax e a deformação específica 
longitudinal x = x / E , bem como as deformações específicas transversais 
y = z = -  x = -  x / E. 
 
Considerando agora um elemento sujeito à ação de cargas que atuam nas 
direções dos três eixos, produzindo tensões normais atuantes nas faces 
perpendiculares à estes, x , y e z . 
 
Tem-se um estado de carregamento triaxial. 
EEE
EEE
EEE
zyx
z
zyx
y
zyx
x









EXEMPLO 
 
Uma placa de dimensões 800 x 1200 mm e espessura de 10 mm é submetida à 
cargas axiais aplicadas conforme a figura. 
Adotando-se E = 200 GPa e  = 0,3, determine as variações que ocorrem nas 
dimensões desta placa. 
 
Nota-se que para esta situação z = 0 e as tensões que atuam nas faces 
perpendiculares aos eixos x e y, são: 
 
x = Px / Ax = 960000 / 10 . 800 = 120 MPa 
y = Py / Ay = 840000 / 10 . 1200 = 70 MPa 
 
As deformações específicas são calculadas através da Lei de Hooke 
Generalizada : 
 
x = x / E -  y / E = (120 – 0,3 . 70) / 200000 = 4,95 . 10
-4 = 495  
y = -  x / E + y / E = (-0,3 . 120 + 70) / 200000 = 1,7. 10
-4 = 170  
z = -  x / E -  y / E = (-0,3 . (120 + 70)) / 200000 = -2,85. 10
-4 = -285  
 
As variações nas dimensões são dadas por: 
 
=  / L  =  . L 
 
x = x . Lx = 495  . 1200 = 0,594 mm 
y = y . Ly = 170  . 800 = 0,136 mm 
z = z . Lz = -285  . 10 = - 0,00285 mm 
EXEMPLO 
 
Uma barra em cobre, com módulo de elasticidade de 120 GPa e 
coeficiente de Poisson de 0,34, está submetida a um carregamento 
aplicado em suas faces conforme mostrado. 
 
Sabendo-se que o comprimento aumentou 2,4 mm e a altura diminuiu 
0,32 mm, determine o valor das cargas aplicadas e a variação na 
espessura. 
As deformações específicas são obtidas por: 
 
 =  / L 
x = x / Lx = 2,4 / 300 = 8 . 10
-3 
y = y / Ly = -0,32 / 50 = - 6,4 . 10
-3 
 
Sendo z = 0 e substituindo os valores na Lei de Hooke Generalizada, tem-
se: 
 
x = x / E -  y / E 
y = -  x / E + y / E 
 
8 . 10-3 = ( x - 0,34 y )/ 120 10
3 
-6,4 . 10-3 = ( -0,34x + y )/ 120 10
3 
 
960 = x - 0,34 y 
-768 = -0,34x + y 
 
multiplicando a primeira linha por 0,34: 
326,4 = 0,34 x - 0,1156 y 
 
e somando à segunda linha, tem-se: 
-441,6 = 0 + 0,8844 y  y = -500 MPa 
 
Substituindo na primeira linha, tem-se a tensão atuante na direção x: 
 
960 = x - 0,34 . (-500)  x = 790 MPa 
 
O valor das cargas aplicadas segundo os eixos será de : 
 
x = Px / Ax  Px = 790 . 50 . 20 Px = 790000 N = 790 kN 
y = Py / Ay  Py = -500 . 300 . 20 Py = 3000000 N = 3000 kN 
 
A variação na espessura será de: 
 
z= -  x / E -  y / E = (-0,34 . (790 + (-500)) / 120000 = - 8,22 . 10
-4 
z = z / Lz z = - 8,22 . 10
-4 . 20 = - 0,0164 mm 
• Para cisalhamento puro, o equilíbrio exige que 
tensões de cisalhamento iguais sejam 
desenvolvidas nas quatro faces do elemento. 
O diagrama tensão−deformação de cisalhamento 
• Se o material for homogêneo e isotrópico, a 
tensão de cisalhamento distorcerá o 
elemento uniformemente. 
: deformação de cisalhamento 

• A maioria dos materiais de engenharia apresenta comportamento elástico 
linear, portanto a lei de Hooke para cisalhamento pode ser expressa por 
 
 
• onde G : módulo de elasticidade ao cisalhamento ou transversal ou módulo 
de rigidez transversal. 
 
• Três constantes do material, E, v e G, 
 estão relacionadas pela equação: 
 G
 v
E
G


12
EXEMPLO 
Submetendo-se um corpo de prova de um metal à um teste de torção, obteve-se o 
diagrama tensão x deformação de cisalhamento mostrado. Determine, a partir da 
análise do gráfico, o módulo de elasticidade transversal G. 
 
Considerando um bloco desse material, mostrado a figura, determine a distância 
horizontal máxima d que o topo do bloco pode ser deslocado, quando submetido à 
uma força de cisalhamento V. Qual é o valor de V necessária para este 
deslocamento? 
O módulo de elasticidade transversal ou módulo de cisalhamento pode ser 
determinado a partir das coordenadas do ponto A do gráfico. 
 
O limite de proporcionalidade, isto é, até onde a Lei de Hooke é válida é de 358 
MPa e a deformação de cisalhamento  correspondente é de 0,008 rad. 
 
Substituindo estes valores na Lei de Hooke, tem-se: 
 
= . G  G =  / . G = 358 / 0,008 G = 44750 MPa 
 
Como as deformações de cisalhamento  são muito pequenas, pode-se assumir 
que tg    
 
Assim: tg (0,008)  0,008 rad 
 
tg  = d / 50  d = 50 . 0,008 d = 0,40 mm 
 
-a tensão de cisalhamento no bloco é dada por: 
 
 = V /A  V = 358 . 75 .100 V = 2685000 N = 2685 kN 
EXEMPLO 
 
Um suporte utilizado para atenuar as vibrações em um equipamento 
(amortecedor) é constituído de três chapas rígidas A,B e C, acopladas por meio 
de duas peças em borracha, de dimensões da seção transversal 60 x 40 mm. 
 
Considerando G = 0,3 MPa, determine o deslocamento vertical do ponto A, 
causado por deformações de cisalhamento, quando uma força vertical de 200 N 
é aplicada 
Como a força cisalhante atuante em cada peça de borracha é igual à metade da 
carga aplicada, tem-se V = 200 / 2 = 100N 
 
A tensão de cisalhamento atuante entre as chapas e a borracha é de: 
= V /A = 100 N / ( 60 mm . 40mm ) = 0,042 MPa 
 
Através da Lei de Hooke, obtém-se a deformação de cisalhamento : 
= . G  = 0,042 / 0,3  = 0,14 rad 
 
Como as deformações de cisalhamento  são muito pequenas, pode-se assumir que 
tg    
 
Assim : 
 
tg  = v / 40  v = 40 . 0,14 v = 5,6 mm