Guia Integrais Triplas

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Roteiro de estudos: integral tripla
Coordenadas cartesianas e cilı´ndricas
Se nas integrais duplas existiam dois tipos de domı´nios ba´sicos de integrac¸a˜o (as de tipo I e
tipo II, veja a Sec¸a˜o 15.3), a situac¸a˜o fica mais complicada na integral tripla. Ao inve´s de definir
essas regio˜es, vamos dar uma descric¸a˜o gene´rica delas. Sa˜o regio˜es em que existe um “fundo”
e um “teto”, quer dizer uma superfı´cie que limita a regia˜o “por cima” e uma superfı´cie “por
baixo”. Mas por cima e por baixo na˜o quer dizer com relac¸a˜o ao eixo z, podendo ser tambe´m
com relac¸a˜o ao eixo y ou x. Veja as figuras 7 e 8 da sec¸a˜o 15.7.
O que queremos evitar, em qualquer desses casos, e´ que a figura tenha o formato de um
barril de chope: esse tem fundo e teto, mas suas laterais quando projetadas sa˜o maiores que o
fundo e o teto. Em suma, queremos que as laterais funcionem como um cilindro reto. Veja as
figuras 4 e 9, que sa˜o como queremos. Um barril de chope na˜o e´ o que queremos.
Como regra geral, todas as regio˜es que tem fundo e tem teto sera˜o resolvidas em coorde-
nadas cartesianas ou cilı´ndricas: achamos as expresso˜es do fundo e do teto (por exemplo, com
relac¸a˜o ao eixo y) e enta˜o projetamos a figura no plano xz (o plano de projec¸a˜o e´ aquele que
na˜o conte´m o eixo do fundo e do teto). Por exemplo,∫
E
F(x, y, z)dv+
∫∫
D
(∫ f2(x,y)
f1(xy)
F(x, y, z)dz
)
dA,
em que f1(x, y) e f2(x, y) sa˜o as equac¸o˜es das superfı´cies que limitam E por baixo e por cima,
respectivamente, e D e´ a projec¸a˜o de ambas as superfı´cies no plano xy.
A regia˜o de projec¸a˜o D pode ser tratada por coordenadas cartesianas (o que produz inte-
gral tripla em coordenadas cartesianas) ou em coordenadas polares (o que produz a integral
tripla em coordenadas cilı´ndricas).
Observe: acabei de escrever que na˜o existe nada de novo nas coordenadas cilı´ndricas:
apenas estamos usando coordenadas polares no plano de projec¸a˜o.
Nossas aplicac¸o˜es ba´sicas de integral tripla sa˜o: Volume
V(E) =
∫∫∫
E
1dV.
Veja o Exemplo 5.
Ale´m dessas, so´ pensaremos em densidade de carga e densidade de massa
Q =
∫∫∫
E
ρdV e m =
∫∫∫
E
ρdV,
em que ρ pode ser densidade de carga ou de massa, respectivamente. Estamos repetindo,
assim, as u´nicas aplicac¸o˜es que vimos na integral dupla...
Coordenadas cilı´ndricas
Basicamente na˜o existe nada de novo. Estude os Exemplos 3 e 4, sec¸a˜o 5.8. Note que neles
existe fundo e teto. Assim, ao inve´s de usar coordenadas cilı´ndricas desde o inı´cio, podı´amos
comec¸ar com coordenadas cartesianas, projetar e enta˜o usar coordenadas polares. Na˜o se
deixe enganar!
Coordenadas esfe´ricas
Estude bem as figuras da primeira pa´gina da Sec¸a˜o 15.9. Note: 0 ≤ φ ≤ pi. Verifique que
as relac¸o˜es (1) e (2) decorrem de trigonometria simples, partindo da Figura 5.
Mais delicado e´ o elemento de volume em coordenadas esfe´ricas. Se bem que na˜o seja
difı´cil deduzir, lembre-se que dV = ρ2senφ dρ dθ dφ. Em geral, essa e´ a ordem de integrac¸a˜o
que sera´ utilizada.
Agore estude com muito cuidado os exemplos dados.