Lista UFOP Derivadas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS E BIOLO´GICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Terceira lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Diferencial e Integral I - MTM 122
1. Encontre, usando a definic¸a˜o, as derivadas das func¸o˜es abaixo no ponto 푥0 dado:
푎) 푓(푥) = 3
√
푥+ 8, 푥0 = 0 푏) 푓(푥) =
√
4 + 3푥, 푥0 = 7 푐) 푓(푥) = tg 푥, 푥0 = 0
푑) 푓(푥) = (푥+ 1)3, 푥0 = 0 푒) 푓(푥) = sen (푥− 푎), 푥0 = 푎 푓) 푔(푥) = sen 2푥, 푥0 = 0
푔) 푓(푥) = 5
√
푥, 푥0 = 1 ℎ) 푓(푥) = cos 푥, 푥0 = 0 푖) 푓(푥) =
√
푥+ 2, 푥0 = 0.
푗) 푓(푥) = 3
√
푥, 푥0 = 1 푘) 푓(푥) =
√
푥2 + 8, 푥0 = −1 푙) 푓(푥) = tg5푥, 푥0 = 0
2. Encontre, usando a definic¸a˜o, as derivadas das seguintes func¸o˜es:
푎) 푓(푥) = 3 푏) 푓(푥) = 푥2 푐) ℎ(푡) =
√
푡− 1 푑) 푔(푠) = 1
푠2
3. Considere a func¸a˜o 푓(푥) =
5푥
1 + 푥2
.
푎) Determine, por definic¸a˜o, 푓 ′(2) e use o resultado para encontrar a equac¸a˜o da reta tangente e
a reta normal a` curva 푦 = 푓(푥) no ponto (2, 2).
푏) Usando a definic¸a˜o de derivada, encontre 푓 ′(푥).
푐) Determine os pontos do gra´fico de 푓 em que a reta tangente e´ uma reta horizontal.
4. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico de 푓 no ponto indicado. Em seguida,
determine uma equac¸a˜o da reta tangente e da reta normal ao gra´fico de 푓 nos mesmos pontos.
푎) 푓(푥) = 2푥+ 4, 푃 = (1, 6) 푏) 푓(푥) = 푥3 + 3, 푃 = (−2,−5)
푐) 푓(푥) =
1
푥+ 1
, 푃 = (0, 1) 푑) 푓(푥) =
√
2푥− 2, 푃 = (9, 4).
5. Encontre as derivadas laterais em 푥0, se existirem, e determine se 푓 e´ deriva´vel em 푥0.
푎) 푓(푥) = ∣푥∣, 푥0 = 0. 푏) 푓(푥) = 3
√
푥, 푥0 = 0.
푐) 푓(푥) = ∣푥+ 5∣, 푥0 = −2 푑) 푓(푥) = 6− 2푥, 푥0 = 3.
푒) 푓(푥) =
{
푥+ 2 se 푥 ≤ −4
−푥− 6 se 푥 > −4 , 푥0 = −4. 푓) 푓(푥) =
⎧⎨⎩
푥3 − 1
푥− 1 se 푥 > 1
푏2 − 6 se 푥 ≤ 1
, 푥0 = 1
6. Encontre as derivadas das func¸o˜es abaixo aplicando as regras de derivac¸a˜o:
푎) 푦(푥) = 2푥 푏) 푓(푥) = −7푥+ 2 푐) ℎ(푡) = 1− 2푡− 푡2
푑) 푠(푥) = 푥4 − 3푥2 + 5 푒) 푦(푡) = 4푡 23 푓) 푔(푥) = 5 4√푥− 푥5
푔) 푓(푥) =
√
푥(
√
푥+ 2) ℎ) ℎ(푝) =
푝3
3
+
3
푝3
푖) 푔(푡) = (2푡4 − 1)(5푡3 + 6푡).
푗) 푓(푥) = (푥+ 2)2 푘) 푓(푥) =
√
푥(푥2 + 1) 푙) 푓(푡) =
√
2푡
4푡+ 1
푚) 푦 =
1
푠− 2 푛) ℎ(푡) = 2푡
√
푡+ 6푡 표) 푔(푠) =
푠4 − 3푠2 + 1
(2푠+ 3)4
푝) 푓(푥) =
2
푒푥 − 푒−푥 푞) 푓(푥) = log 푥
2 + 6푥 푟) 푓(푥) = 42푥−3
푠) 푓(푥) = 푒
1
푥 푡) 푓(푥) = cossec (cos(푥2 + 1)) 푢) 푓(푥) = 푒ln(푥+1)
2
.
Gil
Realce
Gil
Realce
Gil
Realce
2
7. Encontre as derivadas das func¸o˜es abaixo aplicando as regras de derivac¸a˜o:
푎) 푓(푥) = 푒2푥sen 3푥 푏) 푓(푥) = 푥2 − cos푥 푐) 푓(푥) = ln ∣cossec푥− cotg푥∣
푑) 푓(푥) = tg푥− 푥 푒) 푓(푥) = 5푥 sec푥 푓) 푓(푥) = sen2 푥+ cos2 푥
푔) 푓(푥) =
cos 2푥
푥
ℎ) 푓(푥) = 1
2
cossec 2푥 푖) 푓(푥) = arctg 푥
푗) 푓(푥) = arcsen
√
푥 푘) 푓(푥) = arctg
(
2푥
1− 푥2
)
푙) 푓(푥) = 푥2 arccos 푥
푚) 푓(푥) = arcsen (푥3 + 1) 푛) 푓(푥) = arccos 푥
2
표) 푓(푥) = ln ∣arctg3푥∣
푝) 푓(푥) = arccossec
√
푥2 + 4 푞) 푓(푥) = ln
(
푥2 + 푒3
푥3 + 1
)2
푟) 푓(푥) =
(
푥− 1
2− 푥
)푥
8. Encontre as derivadas das func¸o˜es abaixo, dizendo quais regras de derivac¸a˜o voceˆ utilizou.
푎) 푓(푥) =
4푥− 5
3푥+ 2
푏) 푓(푥) = tg3푥− sec3 푥 푐) 푓(푥) = 7
푥2 + 5
푑) 푓(푥) =
tg푥
1 + 푥2
푒) 푓(푥) =
3푥2 − 5푥+ 8
7
푓) 푓(푥) =
1
sen푥tg푥
푔) 푓(푥) = 푥3sen푥 ℎ) 푓(푥) = 푒푒
푒푥
푖) 푓(푥) = 푒ln
2(푥2+1)2
9. Derive as func¸o˜es abaixo, simplificando suas respostas.
푎) 푓(푥) = −1
6
ln
(
3 + 푒−푥
1 + 푒−3
)
+ 7푥 + 휋휋 푏) 푓(푥) = 푥 arctg푥− 1
2
ln(1 + 푥2)
푐) 푓(푥) =
푥휋 + 휋푥
푥푥 + 휋휋
푑) 푓(푥) =
{
푥2arcsen(1/푥), se 푥 ∕= 0
0, se 푥 = 0
푒) 푓(푥) =
푥3 + 3푥2 + 7
푒tg푥
푓) 푓(푥) = arctg(cos
√
푥) + 2푥푥2
푔) 푓(푥) = 푥∣푥− 2∣ ℎ) 푓(푥) = sen5(ln7 푥3)
푖) 푓(푥) =
ln푥
cossec푥
+ (푥2 − 푥+ 1)cotg 푥 푗) 푓(푥) = 푥
3 + 2푥
푒푥 cos푥
푘) 푓(푥) = 푒arccos(5푥+2) log3
(
푥
푥+ 1
)
푙) 푓(푥) = (ln 푥)cos푥
푚) 푓(푥) = log3
(
3(5푥
−3+2)arcsen7푥
)
푛) 푓(푥) = sen2 (푥2 + 1)− ln(2sec푥) + 푒
⎛⎝ 푥− 1
푥2 + 1
⎞⎠
.
10. Derive implicitamente:
푎) 4푥2 − 9푦 = 1 푏) 푥√
푦
− 4푥푦 = 푥 푐) 푦3 + 2푥푦 = 푒푥4
푑) (푥+ 푦)2 − (푥− 푦)2 = 푥3 푒) 푥3 + 푦3 = 8푥푦 푓) 3√푥+ 3√푥푦 = 4푦2
푔) 4푥푦 + 푙푛(푥2푦) = 7 ℎ) 푦 = cos(푥− 푦) 푖) 5푦2 + 3 = 푥2sen 2푦
푗) 푥푦 + 푦 cos푥 = 1 푘) 푦 = (1 + 푥)푒
−푥
푙) cos 푦 + ln(푥2 + 푦2) = 2푥
푚) 푦 = tgh푥3 + log3
√
푥2 + 1 푛) 푦 = (푥2 + cos 푥)(1+sen푥) 표) 푥2 + 푦2 = 2푥
푝) 푥2푦 + 푥푦2 = 6 푞) 푦푥+ cos 푦 = 2푥 푟) (푥2 + 3푦2)5 = 2푥푦
푠) 푦sen푦 = 1− 푥푦 푡) 푦 = 푦3 − 푥푦 + 푦3 + 1 푢) 푥푦 + 푦푥 = 휋
11. Uma part´ıcula move-se ao longo de uma curva cuja equac¸a˜o e´
푥푦3
1 + 푦2
=
8
5
. Suponha que a
coordenada 푥 esteja crescendo a uma taxa de 6푚/푠 quando a part´ıcula estiver no ponto (1, 2).
Determine a taxa com que 푦 estara´ variando neste instante.
Gil
Realce
Gil
Realce
Gil
Realce
3
12. Sejam as para´bolas 푦 = 푥2 + 푎푥+ 푏 e 푦 = −푥2 + 푐푥, 푎, 푏, 푐 ∈ ℝ. Determine os valores de 푎, 푏 e 푐
de modo que as para´bolas tenham uma mesma reta tangente no ponto (1, 0).
13. Supondo que a equac¸a˜o 7푦2 = 푥푦3 + 4 defina, implicitamente, uma func¸a˜o diferencia´vel 푓 tal que
푦 = 푓(푥), determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva dada no ponto 푃 = (3, 2).
14. Sejam 푎 > 푏 > 0 nu´meros reais e 푦 = 푓(푥) a func¸a˜o dada implicitamente pela equac¸a˜o
푥2
푎2
− 푦
2
푏2
= 1.
푎) Mostre que 푓 ′(푥) =
푏2푥
푎2푦
para todo 푦 ∕= 0.
푏) Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de 푓 no ponto 푃 = (푥0, 푦0).
15. Se 푦 = 푓(푥) e´ a func¸a˜o definida implicitamente pela equac¸a˜o
√
푥2 + 푦2 = 푥푦, fac¸a o que se pede:
푎) Mostre que 푦′ =
푥(푦2 − 1)
푦(1− 푥2) .
푏) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de 푦 = 푓(푥) no ponto (
√
2,
√
2).
16. Se 푦(푥) e´ a func¸a˜o definida implicitamente pela equac¸a˜o 3
√
푥3 + 푦3 = 푥푦. Mostre que:
푎) 푦′ =
푥2(푦3 − 1)
푦2(1− 푥3) .
푏) A reta normal ao gra´fico de 푦(푥) no ponto ( 3
√
2, 3
√
2) passa pela origem.
17. Se 푦 = 푎푔(푥), onde 푎 e´ uma constante, 푎 > 1, 푎 ∕= 1, e 푔 e´ uma func¸a˜o deriva´vel para todo 푥,
deduza uma fo´rmula para 푦′.
18. Verifique se o ponto dado faz parte da curva e encontre as retas tangente e normal a` curva no
ponto dado:
푎) 푥2푦 + 푥푦2 − 푦2 = 1, (1, 1) 푏) 푥2푦2 = 9, (−1, 3)
푐) 푦2 − 2푥− 4푦 − 1 = 0, (−2, 1) 푑) 푥2 cos2 푦 − sen푦 = 0, (0, 휋)
푒) 2푥푦 − 휋sen푦 = 2휋, (1, 휋/2) 푓) cos2 푦 + sen2푥 = 5
4
, (휋/3, 휋/4)
19. Encontre, caso exista(m), o(s) intervalo(s) onde 푓 ′(푥) > 0, 푓 ′(푥) < 0 e o(s) ponto(s), caso
exista(m), onde 푓 ′(푥) = 0, sendo 푓 a func¸a˜o dada por:
푎) 푓(푥) =
푥2√
푥2 − 1 푏) 푓(푥) =
푥2 + 1
푥
푐) 푓(푥) =
2푥
푥2 + 1
푑) 푓(푥) = 푥+
9
푥
푒) 푓(푥) =
푥3 − 푥+ 1
푥2
푓) 푓(푥) =
푥
푥2 + 1
푔) 푓(푥) =
4− 푥2
푥+ 3
ℎ) 푓(푥) =
푥3
3− 푥2 푖) 푓(푥) =
(푥− 2)3
푥2
푗) 푓(푥) = 푥 ln2 푥 푘) 푓(푥) = 푥
√
4− 푥2 푙) 푓(푥) = 푥2 − 1
푥
푚) 푓(푥) = tg푥− 2 sec 푥, 푥 ∈ (−휋/4, 휋/4) 푛) 푓(푥) = √9− 푥2 표) 푓(푥) = 2푥− 3
푝) 푓(푥) =
푥
2
− sen푥, 푥 ∈ (0, 2휋) 푞) 푓(푥) = √푥 푟) 푓(푥) = arctg푥
푠) 푓(푥) = cos 푥+ sen푥, 푥 ∈ (0, 2휋) 푡) 푓(푥) = 푥 ln푥 푢) 푓(푥) = 푥
2
푥2 + 4
.
Gil
Realce
Gil
Realce
4
20. Encontre as derivadas das func¸o˜es abaixo aplicando as regras de derivac¸a˜o, simplificando ao
ma´ximo sua resposta:
푎) 푓(푥) = 3푥
2
+ log3(푥
2 + 1) + 푒2푥sen(3푥) +
cossec (2푥)
2
.
푏) 푓(푥) = 푥arctg(푥2) + ln(1 + 푥2)−1/2 + ln(2sec푥) + 휋2 + 푥cos푥.
푐) 푓(푥) =
푥3 + 푒3
푥3 + 1
+ cos2(푥2 + 1) + arcsen(
√
푥) + 푥 arccos(푥2).
푑) 푓(푥) = 2푥
√
푥+ 6푥+ 푥2 + 2푥 + 푥푥 + log휋(푥
2 + sec 푥+ tg푥)휋.
푒) 푓(푥) = 푥3 + 4(2푥
2−3) + 3푒푥
3 − 푒ln(푥+1)3 + arcsen(푥2 + 1)
푓) 푓(푥) =
(
2 cos2
√
푥2 + 1 + 2sen2
√
푥2 + 1
)3
+ 푥 arctg 푥2 − 3√3 cos 푥
푔) 푓(푥) = cossec (cos 푥) + 푒tg푥 + sec(푥2 + 1) + sen(arcsen (푥2 + 3)7)
ℎ) 푓(푥) = ln
(
푥2 + 푒3
푥3 + 휋
)
+
푥− 1
3푥2 + 2
− ln(1 + 푥2)−1/2 + 휋휋 + log3 푥2.
21. Determine o valor das constante 푎 e 푏 de modo que a func¸a˜o 푓(푥) =
{
푥3 + 푎푥, se 푥 ≤ 1,
푏푥2, se 푥 > 1
seja
deriva´vel em todo nu´mero real.
22. Considere a func¸a˜o 푓 dada por 푓(푥) =
{
−푥2 + 푥+ 2, se 푥 ≤ 3,
3푥− 13, se 푥> 3 .
푎) Verifique se 푓 e´ cont´ınua em 푥 = 3.
푏) Verifique se existe 푓 ′(3).
푐) Esboce o gra´fico de 푓.
23. Considere a func¸a˜o definida por: 푓(푥) =
{
푥2 − 1, se 푥 < 1,√
푥− 1, se 푥 ≥ 1 .
푎) A func¸a˜o e´ cont´ınua em 푥 = 1?
푏) A func¸a˜o e´ deriva´vel em 푥 = 1?
푐) Determine, se poss´ıvel, a equac¸a˜o das retas tangente e normal a` curva 푦 = 푓(푥) em (3, 푓(3)).
푑) Encontre a expressa˜o de 푓 ′(푥).
24. Seja 푓(푥) =
⎧⎨⎩ 푥2 − 1 se 푥 ≥ 1(푎− 2)(푥− 1) se 푥 < 1.
푎) Encontre o valor de 푎 para que 푓 seja deriva´vel em 푥 = 1.
푏) Para o valor de 푎 encontrado no item (푎) encontre 푓 ′(푥).
25. Seja 푦 = 푓(푥) a func¸a˜o que e´ dada implicitamente pela equac¸a˜o 푒푦 = 3
√
푦2 + 4푥.
푎) Mostre que 푦′ =
4
3푒3푦 − 2푦 .
푏) Determine a reta tangente ao gra´fico de 푓 quando 푦 = 0.