Lista UFOP Limites

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS E BIOLO´GICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Segunda lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Diferencial e Integral I - MTM 122
1. Dada a func¸a˜o 푓(푥) =
2푥+ 2
푥2 − 3푥− 4, determine: lim푥→−1+ 푓(푥) e lim푥→−1− 푓(푥). Existe lim푥→−1 푓(푥)?
Justifique.
2. Existe lim
푥→0
∣푥∣
푥
? Por queˆ?
3. Sendo 1− 푥
2
4
≤ 푢(푥) ≤ 1 + 푥
2
2
para qualquer 푥 ∕= 0, determine lim
푥→0
푢(푥).
4. Calcule lim
푥→0
푥3sen
(
2
푥
)
. Podemos utilizar a propriedade que lim
푥→푎
푓(푥)푔(푥) = lim
푥→푎
푓(푥) lim
푥→푎
푔(푥).
Por queˆ?
5. Sejam 푓 e 푔 duas func¸o˜es com mesmo domı´nio 퐷 tais que lim
푥→푎
푓(푥) = 0 e ∣푔(푥)∣ ≤푀 para todo 푥
em 퐷, onde 푀 > 0 e´ um nu´mero real fixo. Prove que lim
푥→푎
푓(푥)푔(푥) = 0.
6. Calcule os seguintes limites:
푎) lim
푥→−1
√
푥2 + 8− 3
푥+ 1
푏) lim
푥→−5
푥2 + 3푥− 10
푥+ 5
푐) lim
푥→−2
−2푥− 4
푥3 + 2푥2
푑) lim
푥→3
ln∣푥− 4∣ 푒) lim
푥→1
푥3 − 6푥2 + 11푥− 6
푥2 − 1 푓) lim푥→0−
1
푥2
푔) lim
푥→0
cos(푥)− 1
푥
ℎ) lim
푥→0
sen(2푥)
5푥
푖) lim
푥→−√2
푥2 − 2
푥+
√
2
푗) lim
푥→4
3−√5 + 푥
1−√5− 푥 푘) lim푥→0
√
푥+ 2−√2
푥
푙) lim
푥→1
3
√
푥− 1
푥− 1
푚) lim
푦→5
푦 − 5
푦2 − 25 푛) lim푡→1
푡4 − 1
푡3 − 1 표) lim푥→0,5−
√
푥+ 2
푥+ 1
푝) lim
푥→−2+
{(
푥
푥+ 1
)(
2푥+ 5
푥2 + 푥
)}
푞) lim
푥→−2−
(푥− 3) ∣푥+ 2∣
푥+ 2
푟) lim
푥→1−
√
2푥(푥− 1)
∣푥− 1∣
푠) lim
푥→1
푥− 1√
푥+ 3− 2 푡) lim푥→−3푥
√
푥2 푢) lim
푥→0
√
푥+ 1− 1
푥
푣) lim
푥→−∞
2푥+ 5√
2푥2 − 5 푤) lim푥→7
√
푥−√7√
푥+ 7−√14 푥) lim푥→−휋−
푥+ 휋√
(푥+ 휋)2
7. Encontre, caso exista, os seguintes limites:
푎) lim
푥→0
푥+ sen 3푥√
4푥2 − 5푥6 + 3푥8 푏) lim푥→2
√
푥2 − 3−√푥− 1
푥− 2 푐) lim푥→+∞(푥−
√
푥2 + 1)
2
푑) lim
푥→−3−
푥+ 3√
(푥+ 3)2
푒) lim
푥→0
cos 5푥− 1
1− cos 4푥 푓) limℎ→0
tg (푥+ ℎ)− tg 푥
ℎ
푔) lim
푥→0
4
√
푥4 + 1−√푥2 + 1
푥2
ℎ) lim
푥→7
5−√4 + 3푥
푥− 7 푖) lim푥→−2
푥3 + 3푥2 + 2푥
2푥2 − 2푥− 12
푗) lim
푥→−∞
√
푥2 + 4
푥+ 2
푘) lim
푥→0
tg 5푥
푥
푙) lim
푥→0
3
√
푥+ 8− 2
푥
푚) lim
푥→0+
푒ln푥
푥
푛) lim
푥→+∞
(
√
푥2 + 5푥−
√
푥2 + 푥) 표) lim
푥→0
푥2 cos(1/푥)
푝) lim
푥→푎
√
푥−√푎√
푥2 − 푎2 , 푎 > 0 푞) lim푥→2
cos(5푥− 10)− 1
1− cos(4푥− 8) 푟) lim푥→0
cos 5푥− cos 3푥
sen 4푥
푠) lim
푥→0
푥− sen푥
푥+ sen 푥
푡) lim
푥→휋/4
√
1− 2 sen 푥 cos푥
cos 푥− sen푥 푢) lim푥→+∞(arctg 푥− arctg 휋/4)
푣) lim
푥→−∞
푒−푥
2
푤) lim
푥→+∞
(ln(ln 푥)− ln(ln 2)) 푥) lim
푥→+∞
푥2
2푥− 1sen (1/푥)
8. Determine se as func¸o˜es abaixo sa˜o cont´ınuas ou descont´ınuas no ponto dado. No caso de descon-
tinuidade, verifique qual dos ı´tens da definic¸a˜o de continuidade na˜o e´ satisfeito.
푎) 푓(푥) =
1
푥− 3푧 푥0 = 3 푏) 푔(푥) =
1
푥+ 3
푥0 = −3
푐) ℎ(푥) =
{
−푥+ 1 푥 ≤ 0
푥2 푥 > 0
푥0 = 0 푑) ℎ(푥) =
{
−푥2 + 4 푥 ≥ 2
푥2 − 4 푥 < 2 푥0 = 2
푒)푃 (푥) =
⎧⎨⎩
−푥+ 2 푥 > 0
2 푥 = 0
푥+ 2 푥 < 0
푥0 = 0 푓) 푓(푥) =
⎧⎨⎩
1
푥− 3 푥 ∕= 3
0 푥 = 3
푥0 = 3
푔) 푓(푥) =
⎧⎨⎩
푥2 + 푥− 2
푥− 1 푥 ∕= 1
2 푥 = 1
푥0 = 1 ℎ) 푓(푥) =
⎧⎨⎩
2푥2 + 1 푥 < 1
1 푥 = 1
푥+ 1 푥 > 1
푥0 = 1
푖) 푓(푥) = sen (푥− sen 푥) 푥0 = 0 푗) 푓(푥) = tg
(휋
4
cos(sen 휃
1
3 )
)
휃0 = 0
9. Dada a func¸a˜o 푓 definida por 푓(푥) =
⎧⎨⎩
3푥2 − 5푥− 2
푥− 2 se 푥 < 2
3− 푎푥− 푥2 se 푥 ≥ 2,
determine 푎 ∈ ℝ para que
exista lim
푥→2
푓(푥).
10. Determine, se poss´ıvel, o(s) valor(es) para a constante real 퐴 de modo que a func¸a˜o
푓(푥) =
{
4퐴푥− (퐴푥)2, se 푥 ≥ −2
퐴
√
2− 푥− 2푥, se 푥 < −2
seja cont´ınua para todos os valores de 푥 ∈ ℝ.
11. Se 푓 e´ a func¸a˜o dada por 푓(푥) = ln(2 + sen 푥), determine os valores de 푥 ∈ ℝ para os quais 푓 e´
cont´ınua, justificando sua resposta.
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Realce
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Realce
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Realce
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Realce
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Realce
Gil
Realce
Gil
Realce
Gil
Realce
3
12. Considere a func¸a˜o definida por: 푓(푥) =
⎧⎨⎩
√
(푥+ 2)2, se 푥 < 0
푥2, se 0 ≤ 푥 < 2
1, se 푥 ≥ 2.
푎) Esboce o gra´fico da func¸a˜o 푓 .
푏) Calcule lim
푥→0
푓(푥), lim
푥→2
푓(푥), lim
푥→+∞
푓(푥) e lim
푥→−∞
푓(푥).
푐) Determine o(s) ponto(s) em que a func¸a˜o 푓(푥) definida acima e´ descont´ınua. Justifique.
13. Dada a func¸a˜o 푓(푥) =
⎧⎨⎩
푥3 + 2푥2
푥+ 2
, se 푥 < −2
푎푥+ 2, se 푥 ≥ −2
, pede-se:
푎) O valor de 푎 para que 푓 seja cont´ınua.
푏) O gra´fico de 푓, utilizando-se do valor de 푎 calculado no item 푎).
14. Determine L para que a func¸a˜o dada seja cont´ınua no ponto dado.
푎) 푓(푥) =
⎧⎨⎩
푥3 − 8
푥− 2 se 푥 ∕= 2
퐿 se 푥 = 2
, 푥0 = 2 푏) 푓(푥) =
⎧⎨⎩
√
푥−√5√
푥+ 5−√10 se 푥 ∕= 5
퐿 se 푥 = 5
, 푥0 = 5
15. Usando o teorema do valor intermedia´rio, prove que, se 푓 e´ cont´ınua, enta˜o qualquer intervalo que
푓 muda de sinal conte´m uma raiz de 푓 .
16. Prove que a func¸a˜o 푓 dada por 푓(푥) = 3푥7 − 푥− 1 tem (pelo menos) uma raiz em [0, 1].
17. Mostre que a equac¸a˜o 2푥− 1− sen 푥 = 0 tem exatamente uma raiz real.
18. Algum nu´mero real somado a um e´ igual a seu cubo?
19. Encontre um intervalo no qual a equac¸a˜o 푥3 + 푥2 − 2푥 = 1 tem uma soluc¸a˜o.
20. Seja 푓 : [0, 2]→ [0, 2] uma func¸a˜o cont´ınua. Mostre que existe 푎 ∈ [0, 2] tal que 푓(푎) = 푎.
21. Se 푓(푥) = 푥3 − 8푥+ 10, mostre que ha´ pelo menos um valor de 푐 para o qual 푓(푐) e´ igual a:
푎) 휋 푏) −√3 푐) 0
22. Ache as ass´ıntotas verticais e horizontais das func¸o˜es dadas abaixo, caso existam.
푎) 푓(푥) =
푥2 + 1
푥2
푏) 푓(푥) =
2 + 푥
1− 푥 푐) 푓(푥) =
푥2 − 2
푥2 − 푥− 2
푑) 푓(푥) = − 8
푥2 − 4 푒) 푓(푥) = cotg 푥 푓) 푓(푥) = 2sen 푥+
1
푥
23. Encontre, se existirem, as ass´ıntotas verticais e horizontais do gra´fico das func¸o˜es:
푎) 푓(푥) =
4푥+
√
푥2 + 1√
푥2 − 4푥+ 4 푏) 푓(푥) =
푥2 + 푥
푥− 1 .
24. Encontre as ass´ıntotas horizontais das func¸o˜es 푓(푥) =
푥
푥2 + 2푥− 3 e 푓(푥) =
√
푥2 + 1
3푥− 5 . Alguma
dessas func¸o˜es possui ass´ıntota vertical? Deˆ exemplo de uma func¸a˜o que possua duas ass´ıntotas
verticais e uma horizontal.
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