Estruturas-Isostaticas-Exercicios-Propostos

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CURSO DE 
ELEMENTOS DE 
MECÂNICA DAS 
ESTRUTURAS 
 
 
 
 
 
 
Prof. Maria Cascão Ferreira de Almeida 
 
2008 
 
 
Departamento de Mecânica Aplicada e Estruturas 
 
 1
 
 
 
 
 
CURSO DE 
ELEMENTOS DE 
MECÂNICA DAS 
ESTRUTURAS 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
E 
GABARITOS 
 
 
 
 
Prof. Maria Cascão Ferreira de Almeida 
 
 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 3
 AE1-LE1A 1
 
ANÁLISE ESTRUTURAL I 
LISTA DE EXERCÍCIOS 1A 
 
 
1) Classifique as estruturas abaixo quanto à estaticidade e à estabilidade: 
 
 a) b) 
 
 
 
 c) d) 
 
 
 
 
 
 e) f) g) 
 
 
 
 
h) i) j) 
 
 
2) Determine as reações de apoio: 
a) b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 1m 1m 1m 1m
 4 kN 4 kN
 30º 30º 30º 30º
 8m
2,5m
2,5m
2,5m
50kN
 2,7m
 2,7m
2,7m
9kN
9kN
 
 
3) Determine as reações de apoio das vigas biapoiadas abaixo. Comparando 
os resultados obtidos em cada série, o que você pode concluir em (a) e em 
(b)? (comprimentos em m). 
 4
a) 
 
 
 
b) 
 
 
c) Determine os diagramas dos esforços internos em (a) e (b). 
 
4) Determine os esforços internos nas seções indicadas: 
a) b) 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
5) Para as vigas do exercício 4 trace os diagramas dos esforços internos e 
forneça para a viga 4(b), as funções que expressam tais esforços. 
 100kNm
 1,5 5,0
 100kNm
 1,5 5,0
 100kNm
 1,5 1,5 3,5
 100kNm
 1,5 2,5 2,5
 4
 20kN
 20kN
 1 3 2 2
 20kN
 3 1
 20kN
 4
 20kN
 2m 2m 1m
 9kN
 7kNm
 A B
 
 40kN
 40kN
 1 2 1 1 3
 A
 B
 C
 
 1,5m 1,5m 3,0m
 6 tf
 A
 B C
 20kNm 20kNm
 4m
 B C D
 A
 5
ANÁLISE ESTRUTURAL I 
LISTA DE EXERCÍCIOS 1B 
 
1) Classificar as estruturas abaixo quanto a estaticidade e a estabilidade: 
 
 
 
 
 
 
2) Calcular as reações de apoio das estruturas a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 6
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determinar os valores dos esforços internos nas seções indicadas: 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 tf
 3 tf
 2 tf
 1 tf
 1m 2m 2m 1m
 2m
2m
 5m
 2kN/m
 8 tf
 S1 S2
 S4
 10 tf
 60ª
 1,5m 1,5m 2m 1m 3m 2m
 S3
 6 tfm
 2 tfm
 4m 2m 2m
 S1 S2
 7
ANÁLISE ESTRUTURAL I 
LISTA DE EXERCÍCIOS 1C 
 
1) Calcular os momentos em torno dos eixos X, Y e Z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Reduzir ao ponto O o sistema de forças representado abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Classificar as estruturas abaixo quanto à sua estaticidade e à sua 
estabilidade. Ao verificar a estabilidade, justifique sua resposta. 
a) b) 
 
 
 
 
c) d) e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) g) 
 
 
 
 
(4,6,0) 
Y
(0,6,0) 
X
(4,0,4) 
Z
45º 
2 kN 4 kN 
8 kN 
5 kN 
2 m 9 m 2 m 3 m 
O 
 8
 
4) Calcular as reações de apoio das estruturas abaixo: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 kNm 
8 m 8 m 
2,5 m 
8 m 4 m 
5 kN 
5 kN 
5 m 
5 m 5 m 
15 kN 
5 kN 
5 kN 
7 m 6 m 4 m 
45º 
 9
5) a) Determinar as reações de apoio. 
b) Calcular os valores dos esforços simples na seção S da estrutura 
abaixo. 
c) Para determinar os ESI em S é necessária a determinação das reações 
de apoio? Justifique a sua resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Calcular os esforços internos nas seções indicadas nas estruturas abaixo. 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
5 m 5 m 
4 m 
S 
5 m 
10 kNm 
2 kN 
5 kN 
6 kNm 
S B A 
3 kN 
3 m 3 m 2 m 
 
5 kN 5 kN 
B 
2 
A 
S2 S1 
2 2 1 (em m) 
10 kNm 2 kN 
S2 S1 
3 kN 
2 1 2 2 (em m) 
 10
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) 
 
 
 
 
 
 
 
3 m 1 m 2 m 4 m 
B A 
8 kN S 3 kN/m
3 m 2 m 2 m 2 m 2 m 
6 kN/mS1 
S2 
2 m 4 m 3 m 
3 kN 
3 kN/m 6 kN/m 
S 
S 
2 kN/m
2 m 2 m 2 m 
20 kN 
S B A 
2,5 m 2,5 m2 m 2 m
10 kN 10 kN 
 11
2 m 2 m 1 m 2 m 1 m 
2 kN/m
2 kNm3 kN 
S B A 
i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
j) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 m 2 m 
A B 
D C 
2 m 
2 m 
23 kN
3 kN/m 
S1 
S2 
4 m 
A 
15 kN 
5 kN/m 
B C 
D 
1,5 m 
1 m 
1 m 
S1 
S2 
 12
3 m 4 m 2 m 
2 m 
2 m 
S2 
S1 
12 kN/m 
l) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
m
 
A 
2 m 3 m 
B 
3 
m
 
2 
m
 
3 
kN
/m
 
D 3 kN 
C 
S1 
2 m5 m2 m 1 m 
D 
2 kN/m
C 
S1 2 m 
B 
S2 
10 kN
A 
 
 13
2 m 4 m 
B 
3 m 
1 m 
2 m 
2 kN/m 
D 
S 
A 
C 
1 kN/m 
o) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
q) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 m 
2 m 
4 m 4 m 
1,
5 
kN
/m
 
B 
1,
5 
kN
/m
 
E 
S2 
A 
S1 
C 
D 
15 kN 
2 m 
3 kN/m 
S 
C 
A 
3 m 3 m 3 m 
3 m 
3 m 
D 
B 
 14
r) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
s) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t) Traçar os diagramas dos esforços internos para as vigas bi-apoiadas 
dos itens (a), (b), (e) e (f). 
S 
B 
4 m 4 m 
A 
3 kN/m 
4 m 
A 
3 m 3 m 
2 m 
2 m 
2 m 
B 
10 kN 
D 
S C 
5 kN 
 15
ANÁLISE ESTRUTURAL I 
LISTA DE EXERCÍCIOS 2A 
 
1) Classifique as estruturas abaixo como externamente isostáticas, 
hiperestáticas ou hipostáticas, indicando se são estáveis ou instáveis. 
 
a) b) c) 
 
 
 
d) e) f) 
 
 
 
 
2) Determine as reações de apoio da viga simplesmente apoiada dotada de 
balanço à direita. Escreva as funções que expressam os esforços internos e 
trace os diagramas. 
 
 
 
 
 
 
3) Determine as reações de apoio e os esforços internos na seção S. Escreva 
as funções que expressam os esforços internos e trace os diagramas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A
 25 tf
 10 tf
 5 tf/m
 3m 3m 1,5m
 B C
 3m 2m
 200N/m
 500N
 60º
 S
 16
4) Determine os esforços solicitantes internos nas seções S1 e S2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Determine os esforços solicitantes internos na seção S, as funções que 
expressam os esforços internos ao longo da viga e trace as linhas de estado. 
 
 
 
 
 
 
 
6) Determine as reações de apoio e os esforços internos nas seções indicadas. 
No item b, que observações se pode fazer levando em conta aspectos de simetria e 
anti- simetria dos carregamentos em estruturas simétricas? 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4m
 12m 4m
 3m
 6mS1 S2
 20kN/m
 150kN
 90kNm
 30kN
 45º
 2m
 3m 3m 3m
 S
 2m 1m 3m
 2m
 2m
 1 tf
 1 tf
 S1
 S2 S3
 3 tf
 1 tf/m
 50kN 50kN
 S1 S2 S3
 1,5 1,5 2,0 2,0 1,5 1,5
 1,5 1,5 2,0 2,0 1,5 1,5
 50kN
 50kN
 S3
 S1 S2
 (m)
 17
7) Obtenha as funções que expressam os esforços internos e trace os seus 
diagramas. Forneça também os coeficientes angulares das tangentes ao 
diagrama dos esforços cortantes nas seções A, B e C. 
 
 
 
 
 
 
 
8) Dado o diagrama de esforços cortantes abaixo, determine os carregamentos 
aplicados e os diagramas de momentos fletores, sabendo-se que as vigas 
estão submetidas somente a cargas ( concentradas e/ou distribuídas ) 
transversais. 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
9) Determine as reações de apoio e os esforços internos na seção S do pórtico plano 
da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3m 3m 3m
 +
 _
 70
 10
 50
 10
 D.Q. (kN)
 2m 4m 1,5m
 3m
 3m
 8 tf
 10 tf/m
 4 tf
 2,5m
 3,5m
 5 tf/m
 S
 2m 1m
 20
 80
 D.Q. (kN)
 +
 3m 2m
 3 tf/m A
 B
 C
 18
10) Diga como se denomina a estrutura abaixo e classifique-a quanto à 
estaticidade e à estabilidade. Determine as funções que expressam os 
esforços internos e trace seus diagramas. 
 
 
 
 
 
 
 
1m 3m 2m
 48kN/m
 60kNm
 50kN
 3
 4
 19
 
 ANÁLISE ESTRUTURAL I 
LISTA DE EXERCÍCIOS 3A 
1) Trace as linhas de estado das estruturas abaixo, fazendo todas as 
observações importantes: 
a) b) c) 
 
 
 
 
 
d) e) f) 
 
 
 
 
 
g) h) i) 
 
 
 
 
 
 
 
j) k) l) 
 
 
 
 
 
 
 
 a b
 L
 q
 L
M
 L
 P
 L
 a b
 P
 P
 L
 q
 L
 q
 L
 q
P
 q
 P
 L
 a b
 P P
 a b a
 L
 P P
 b a a
 L
 L=2a
 q
 a b a
 L
 a b
 L
 q
 20
m) n) o) 
 
 
 
 
 
 
p) q) r) 
 
 
 
 
 
 
s) t) u) 
 
 
 
 
 
v) w) x) 
 
 
 
 
 
y) z) 
 
 
 
 
 
 
 
 L/2 L/2
 q
 q
 L
 4xa
 q
P=2qa
 q
 L Lb
 q
 L Lb
 q
 L Lb
 L Lb
 q
 P
 M
 L Lb L Lb
 M
 a b Lb
 L
 M
 q
 a b
 L
 q
 4xa
 a b
 L
 M
 L a
 M
 L/2 L/2
 q
 q
 21
2) a) Trace os diagramas dos esforços internos da estrutura abaixo. 
b) Diga como se denomina a estrutura. 
c) Considerando a estrutura abaixo como uma associação de vigas 
isostáticas, identifique-as e especifique quais têm estabilidade própria e 
quais não têm estabilidade própria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Dada a viga abaixo, determine: 
a) as distâncias a e b para que se obtenha a estrutura mais econômica em 
termos de consumo de material. 
b) trace os diagramas dos esforços internos. 
 
 
 
 
 
 
 
4) a) Trace os diagramas dos esforços internos da viga bi-apoiada dotada de 
balanço nas três situações abaixo. 
b) Tire conclusões sobre a influência do balanço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 q
 b L a L-2a a L b
 1 2 3 4 5 6 7 8
 KL L
 K<1
 I)
 KL L
 K=1
 II)
 KL L
 K>1
 III)
 
 3
 4
75 kN
10 kN/m 10 kN/m
 6m 2m 4m 2m 2m 8m
 22
 
5) Determine as funções que expressam os esforços internos para o item b e 
trace os diagramas para os itens a. 
 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
6) Trace os diagramas dos esforços internos e comparando-os, tire conclusões 
sobre a influência da simetria e ante-simetria dos carregamentos em 
estruturas simétricas. 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 5m
 3m
 10 kN/m
 30ª
1m 3m
 3m
 2 tf/m
 0,5 tf/m
 1 tf
 23
 
ANÁLISE ESTRUTURAL I 
LISTA DE EXERCÍCIOS 3B 
 
1) Fazer os esboços dos diagramas de esforços internos das estruturas abaixo, 
evidenciando com clareza todas as observações importantes. 
 
a) e) 
 
 
 
b) f) 
 
 
 
c) g) 
 
 
 
d) h) 
 
 
 
2) Conferir os valores das reações de apoio e traçar as linhas de estado das estruturas 
abaixo. 
a) 
 
VA = 11,2 kN 
 VB = 11,8 kN 
 
 
b) 
 
 VA = 32 kN 
 VB = 8 kN 
 
c) 
 
 
 VA = 38 kN 
 VB = 25 kN 
 
 
d) 
 VA = 46,5 kN 
 VB = - 4,5 kN 
 
 
P2 P1 
MP
P 
q
P 
P M P2 P1
2 m 3 m 2 m
BA 
3 m 
5 kN8 kN 10 kN 
q 
q 
10 kN/m 
6 m 4 m 
BC A 
27 kN 
A B
12 2 22
18 kNm12 kN/m 
BA 
30 kN
3 m3 m6 m
12 kN/m 
 24
e) 
VA = 16,5 kN 
 VB = 10,5 kN 
 
 
 
 
 
f) VA = VB = 40,5 kN 
 
 
 
 
Para estrutura e carregamento simétricos o que se pode observar quanto ao DMF e 
ao DEQ? 
 
g) 
VA = 25,25 kN 
 VB = 52,25 kN 
 
 
 
 
 
h) H = 3 kN 
 V = 20 kN 
 M = 30 kNm 
 
 
 
i) 
 
 M = 213,33 kNm 
 
 
 
 
 
j) H = 34,6 kN 
 V = 45 kN 
 M = 292,5 kNm 
 
 
 
 
 
k) VA = 105 kN 
 VB = 45 kN 
 
 
4 m 3 m3 m 
B
10 kN/m 
A 
15 kN/m
2 m 2 m 3 m 
10 kN 
5 kNm 10 kN/m
3 kN 
52 12
5 kN/m 
30º
40 kN
BA 
7 m 2 m3 m 
10 kN/m
20 kN/m 
A B
3 m 3 m6 m
30 kN12 kN/m 
4,5 m 4,5 m
BA 
18 kN/m 
20 kN/m 
20 kN/m
4 m4 m 
 25
 
l) 
 
 VA = VB = 10 kN 
 
 
 
 
 
m) 
VA = 24 kN 
 HA = 15 kN 
 VB = 16 kN 
 
 
 
n) 
 
 
 
 
 
 
o) VA = 7,5 kN 
 VB = 112,5 kN 
 VE = 49 kN 
 VF = 11 kN 
 
 
 
 VC = 4,7 kN 
p) VA = 12,4 kN 
 HA = 7,1 kN 
 MA = 40 kNm 
 
 
 
3) Traçar os diagramas de esforços internos das estruturas abaixo e indicar seus nomes: 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
2 m 2 m6 m 
BA 
10 kN/m 40 kN40 kN 
3 m3 m 4 m 2 m
BA 15 kN
10 kN8 kNm 
9 kN/m 
4 m 3 m3 m 
BA 
20 kNm20 kNm 
3 m2 m3 m3 m 2 m 3 m 
10 kN10 kNm 
20 kNm 
3 m 5 m 4 m
10 kN20 kNm 
FEDC BA 
2 m2 m2 m2 m 4 m4 m 
8 kN15 kN/m 
4 m 4 m 2 m
45º
CB A 
10 kN10 kN 
 26
 
4) Fornecer o diagrama do carregamento sabendo que a estrutura está submetida 
apenas a cargas transversais. Traçar o DMF. 
 
 
 
DEC 
(kN) 
 
 
 
 
 
 
5) Qual deve ser o valor de d para que o momento fletor máximo, em valor absoluto, 
seja o menor possível? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Para as estruturas abaixo, dar seus nomes e traçar os diagramas dos ESI. 
a) 
 
 
 HA = 80 kN 
 VA = 67,5 kN 
 VB = 92,5 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4,
0
m
8,0 m
20 kN/m 
60 kNm 
B
A 
4 m4 m 2 m 
_ 
+ 
5,0
3,0 
4,0 
d = ?
q
LL 
CBA 
 27
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 HA = 0 
VA = 400 kN 
 MA = 2000 kNm 
 
 28
 
ANÁLISE ESTRUTURAL I 
LISTA DE EXERCÍCIOS 4A 
 
1) a) Como se denomina a estrutura abaixo? 
b) Determine as funções que expressam os esforços internos. 
c) Trace os seus diagramas. 
 
 
 
 
 
 
2) Uma viga metálica de comprimento L e peso próprio por unidade de 
comprimento q deverá ser içada para transporte. Dois olhais de içamento 
deverão ser previstos. Escolha suas posições e justifique. 
 
3) Diga como se denominam as estruturas abaixo e trace os diagramas dos 
esforços internos. 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
( comprimentos em m ) 
 
 
 5 KN
 16 m 4 m 10 m
2 KN/m 5 KNm
 BA
 
 
 10 KN 10 KN 10 KN 5 KN
 5 KN
 5 5 5 5 3 3 2
 
 2 tf/m
 7,5 7,5 5, 0 5,0 10,0 15,0
 5 tf
 15 tfm
 29
4) a) Determine as funções que expressam os esforços internos. 
b) Trace os seus diagramas. 
c) Forneça os esforços internos nas seções C e D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Construa as linhas de estado das seguintes estruturas e diga como se 
denominam: (comprimentos em m) 
 
5)6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) 8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Esboçar os diagramas dos esforços internos das estruturas abaixo: 
 
20 KN/m
 10 m 4 m 4 m
 6 m
 50 KN 30 KN/m
 D
 C
 A
 B
 2 tf/m
 2 4
 3
 1,6 tf/m
 2,0
 3,0
 2,5
 15 KN
 40 KN/m
 4 tf/m
 1,6 tf/m
 
 8 8
 5
 3 20 KN
 12 KN/m
 6
 4
 30
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 M
 
q
P
 
M
 P P
 31
ANÁLISE ESTRUTURAL I 
LISTA DE EXERCÍCIOS 4B 
 
1) a) Diga como se denomina a estrutura associada da figura. 
b) Quais os métodos de resolução que você conhece? 
c) Resolva-a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Forneça para a estrutura abaixo: 
a) As reações de apoio. 
b) Os momentos fletores no nó 8. 
c) Sabendo-se que para o sistema de eixos locais x e y, com origem no nó 
9 e indicado na figura, a equação do arco é dada por y = 20 x (16 - x), 
determine os esforços internos em S (x=4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
162 
21 kNm 5 kN/m 
50 kN 
1 52 3 4
10 kN/m
3 
4 
2,4 2,4 (em m) 4,81,6 1,6 2,4
4 3 
2 
4 m 4 m 4 m 4 m 4 m 4 m 
2 1 
3 5 
9 
4 
6 
6 
10 8 8 7 7 
0,5 tf/m
0,5 tf/m 0,5 tf/m 
1 tf 1 tf 
x 
y 10 11 
11 S
0,5 tf/m
0,
5 
tf/
m
 
5
m
3
m
4
m
4 tf 
9 
1 
5 
 32
8 
 
3) Trace os diagramas dos esforços internos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Para a estrutura abaixo, responda: 
a) Como se denomina? 
b) Como se classifica quanto ao seu reticulado (simples, composta ou 
complexa)? 
c) O que se entende por treliça ideal? Esta estrutura é uma treliça ideal? 
d) O que se verifica em relação às simetrias: da estrutura, do carregamento 
e dos esforços internos? 
e) Os esforços normais nas barras , , , , e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 m 
4 m 
4,5 m 4,5 m 
1 tf/m 
2 tf/m 
A 
B C
E F G
D
6 9 11 7 10 13 
5 m 5 m 5 m 5 m 
5 m 
5 m 
200 kN 
100 kN 100 kN 
3 1 2 4 
5 9 8 
7 6 
10 
11 
12 
13 
1 5 
4 3 2 
7 6 
 33
5) Determine o valor de P para que o máximo momento fletor seja o menor 
possível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Sabendo-se que somente atuam cargas transversais ao eixo da viga, 
obtenha, a partir do diagrama de esforços cortantes (DEC), os diagramas 
do carregamento (DC) e dos momentos fletores (DMF). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Marcar as barras inativas da ponte em treliça da figura e determinar os 
esforços normais nas barras indicadas (a, b, c, d e e). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
a b a 
B
P 
q
A 
3 m 
6 m 6 m 6 m 6 m 
e 
c 
b d 
a 
2 tf 2 tf 4 tf 
C A
D 
5 tf 
4 tf 
3 tf 
B 
1 m 2 m 2 m 
+ 
- 
 34
8) Resolver as seguintes estruturas. 
a) Todas as barras têm comprimento L. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
q = 20 kN/m 
8 m 
2 m 
100 kN 150 kN 200 kN 
4 x 6 m = 24 m 
50 kN 
 35
ANÁLISE ESTRUTURAL I 
LISTA DE EXERCÍCIOS 5A 
 
1) Trace as linhas de estado das seguintes estruturas e informe como se 
denominam. 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Forneça as funções que expressam os esforços internos e trace seus 
diagramas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3m 3m 3m
 100kN
 3m 25kN/m
 4
 3
 
 3m 4m
3m
 3m
 100kN
 200kN
 
 6m
 45kN
 90kN
 30kN/m
 3m
 3m
 4m 4m 10m
 6m
 30kN/m
 100kN
 1
 2
 3 4
 6m 2,5m 2,5m
 2,5m
 2,5m
 30 tf
 1
 1
 6 tf/m
 36
 
3) Identifique as estruturas associadas abaixo e trace os diagramas dos 
esforços internos: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5m 1m 1m 2m 3m
7 tf
 23 tf
 4,5 tf/m
2,5m
 
 
1m
2m
2m
1m
3m
2m 3m 3m 2m 1m 2m
1 tf/m
 3 tf 2 tf
3 tf
 2 tf
 1 tf
 1 tf
 1 tf/m
 
 
1,5m 3,0m 4,5m
 4m
 4m
 20kN/m
20kN/m
40kN/m
 37
 
4) a) Como se denomina a estrutura abaixo? 
b) Inicialmente, através de simples observação do seu funcionamento, 
tente prever que barras estão tracionadas e que barras estão 
comprimidas. Justifique a sua previsão. 
c) Resolva estrutura abaixo e verifique se os resultados obtidos confirmam 
a previsão feita no item b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Resolva as estruturas abaixo: 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0,8 tf/m
 5 tf
 6 tf
 3m 3m
2m
3m
 5m
 5 tf
 
 
 3 x 3
 3m 8kN
 6kN
10 tf
 10 tf
10 tf
 10 tf
 3 x 4 m
 30º
 
 
 4m
2m
1m
 2m
 2 tf/m
 3 tf
 0,4 tf
0,3 tf
0,2 tf 0,5 tf
 3 x 6
6m
 38
6) Na treliça de telhado da figura, as cargas inclinadas são geradas pela 
pressão do vento. Ache o esforço normal na barra 11. Raciocine e resolva 
este problema da forma mais inteligente. Lembre-se: os métodos de 
resolução podem ser alternados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) a) Como se denomina a estrutura como um todo e cada uma das partes associadas? 
 b) Determine as reações de apoio. 
 c) Determine os esforços internos nas barras a, b, c, d, e, f. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9m
 24 m
 5 x 600 kgf
 400kgf
 800kgf
 800kgf
 400kgf
(11)
 8 tf 6 tf 2 tf 2 tf 1 tf 2 tf 1 tf 2 tf 2 tf 6 tf 8 tf
 1 tf/m 1 tf/m
1 tf 1 tf
 d
 e f
a
 b
 c
 16 x 3 m
 3m
 1 tf/m
 39
ANÁLISE ESTRUTURAL I 
LISTA DE EXERCÍCIOS 5B 
 
1) Diga como se denominam as estruturas abaixo e trace os diagramas dos 
esforços internos. 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) O que se pode observar quanto aos ESI devido às simetrias da estrutura 
e do carregamento? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
4,0 m 
1,
5
m
2,
0
m
15 kN 
5 kN/m 
5 m 
2
m
2
m
23 kN 
3 kN/m 
4 m 4 m 
4
m
20 kN/m 
2
m
2
m
10 kN 
3 m 7 m 
2 kN/m 
 40
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 m 
 
3 
2 
3
m
1 
8 m 
5
m
0,
8
kN
/m
2 kN/m 
20 kN/m 
8 m 8 m 
50 kN 
5 
4 
3 
2 
1 
5
m
3
m
10
kN
/m
4 
3 2 
1 
5 m 
20
kN
/m
6
m
4
 41
120 kN 
 
2) Determine os ESI conforme solicitados: 
a) Em todas as barras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Nas barras , , , e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
5 m 5 m 5 m 
7 6 
5
m
10 kN 
4 
3 
2 
1 
3 
4 
6 
1 
5 
2 
7 
9 
8 
10 11 
2 4 7 12 11 
120 kN 
5 3 
1 
6 
150 kN 
4 
10
m
8 m 8 m 8 m 8 m 
2 
7 
8 
1 
11 6 
9 8 7 5 
4 2 3 
13 12 
10 
 42
 
c) Nas barras , , e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Normais nas barras e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 kN 
10 kN 
10 kN 
10 kN 
30º 
6 
5 
4 
3 2 
1 
4 m 4 m 4 m 
1 
9 
4 
8 
7 
6 5 
3 2 
1 5 7 9 
2 m 2 m 2 m 2 m 
400 kgf 
800 kgf 
800 kgf 
400 kgf 
2 m 2 m 
600 kgf 600 kgf 600 kgf 600 kgf 600 kgf 
11 3 12 
10 
9 
8 
7 
6 
5 
4 
2 
1 
3
m
3 
12 
11 
15 
16 
17 
19 20 
21 18 14 10 
13 
6 2 
1 5 7 
8 
9 
4 
11 19 
 43
3) Trace os diagramas dos esforços internos na estrutura abaixo e diga como 
se denomina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Para a viga abaixo determine: 
a) Linha de influência de cortante em B; 
b) Linha de influência de momento em B; 
c) Linha de influência de reação em A; 
d) Para o seguinte trem-tipo: 
 
 
 
 
 
 
forneça: 
d.1) A máxima reação para cima em A; 
d.2) Os máximos momentos positivo e negativo em B; 
d.3) O cortante máximo em B. 
 
 
 
 
 
 
 
Y
1 m 
3 m 
2 m 
2 m 
2 tf/m 
8 tf 
4 tf 
2 tf 
X
Z
0,5 tf/m 
5 tf 
3 m 8 m 2 m 
4 m 
A B 
 44
ANÁLISE ESTRUTURAL I 
LISTA DE EXERCÍCIOS 5C 
 
1) Resolver as treliças abaixo utilizando o Método dos Nós. Nas barras indicadas, 
utilizar o Método de Ritter. 
a) Ritter: CE, DE e DFb) Ritter: CE, CD e BD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Ritter: DG, FG e HI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 kN 
6 kN
3 m3 m 3 m
3 m 
A C E
F
G
D B 
E 
A B 
C D 
F 
5 m 
5 m 
5 m
10 kN
10 kN
I
B 
G H 
F
20 kN 
2 m 2 m 2 m 2 m 
30 kN 
15 kN15 kN 2 m
2 m
2 m
2 mA C
D E 
 45
 
d) Ritter: GH, GE, CE e AC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Ritter: GH, GC e BC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Ritter: BD, CD e CE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) Ritter: AB, BE e EF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E
H
B
20 kN 20 kN
2 m
2 m
6 m 6 m
A 
C 
D 
F 
G 
E
DCB 
G H I J
4 kN 4 kN8 kN8 kN 
2 m 
3 m3 m 3 m 3 m
A 
F 
A
C 
5 kN 
5 m 
12 kN
4 m3 m3 m 
B 
ED
9 kN
F
10 kN
10 kN 
E 
4 m 
10 kN 
4 m 
10 kN
4 m
D
10 kN
30ºC BA 
10 kN 
 46
h) Ritter: GH, BE e BC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) Ritter: BD, DE e CE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
j) Ritter: BD, DE e CE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 m 4 m
3 m
3 kN 
2 kN 4 kN
ED 
C 
B A 
G H
I 
C 
E
B
D 
10 kN10 kN 
3 m
3 m
4 m 4 m 4 m4 m
20 kN
A 
F 
15 kN
2 m2 m 2 m 
4 m 
B D F G
E 
C 
A
 47
 
ANÁLISE ESTRUTURAL I 
LISTA DE EXERCÍCIOS 5D 
 
1) Diga como se denominam as estruturas abaixo e trace os diagramas dos esforços internos: 
a) 
 
 
b) 
 
 
A B
C D E
F
3 0 kN /m
2 5 kN 2 m
3 m
2 m 2 m4 m
A
BC D
1 0 kN /m
3 0 kN
5 m
3 m 4 m
 
 48
 
c) 
 
 
 
 
d) 
A B
CD E
2 0 kN /m
4 m 4 m
4 m
8 m 8 m
3 m
5 m
2 kN /m
A B
ED
C
0
,8
 k
N
/m
 
 
 
 
 
 49
 
 
 
e) 
 
 
 
f) 
7 m
1 ,5 m
2 ,5 m
2 8 kN
A B
2 0 kN /m
A
B C
D2 0 kN
1 0 kN /m
3 m
2 m
4 m
 50
 
g) 
 
 
 
 
h) 
2 0 kN
A
B
2 m
2 m
2 0 kN /m
3 m 5 m
8 m
5 0 kN
A B
2 ,5 m
2 ,5 m
2 ,5 m
 51
 
i) 
 
 
 
j) 
 
4 m 4 m
2 m
2 m
5 0 kN /m
2 0 kN /m
4 0 kN m
A
B
8 m 8 m
3 m
5 m
5 0 kN
1
0
 k
N
/m
A B
2 0 k
N /m
 
 
 52
 
k) 
 
 
l) 
 
5 m 5 m
5 m
2 m
A B 2 1 ,7 kN
2
0
 k
N
/m
A B
C
5 m
6 m
2
0
 k
N
/m
 
 53
2) Nas estruturas a seguir, compare os diagramas dos ESI que se obtêm: 
 
I- (a) para a estrutura abaixo; 
 
(b) para a estrutura do item anterior quando introduz-se uma articulação em C e um 
tirante ou escora ligando A e B. 
(c) quando para a estrutura em (a) introduz-se uma articulação em C e se substitui o 
vínculo em B por um apoio de 2º gênero. 
 
 
II- (a) para a estrutura abaixo; 
 
 
(b) para a estrutura do item anterior quando introduz-se uma articulação em F e 
uma escora ou tirante ligando C e D. 
2 0 kN /m
3 m 3 m
A B
C
4 m
4 m
5 0 kN
3 m
3 m
A B
C D
E F
 54
3) Calcular as reações e representar os diagramas dos esforços internos: 
 
4) Decompor os quadros abaixo nos quadros isostáticos simples que os constituem: 
a) 
b) 
 55
 
c) 
d) 
 
e) 
 
 56
 
f) 
5) Em cada uma das estruturas a seguir, calcular as reações de apoio e representar os 
diagramas dos esforços simples: 
a) 
 
 
 
1 0 kN /m
2 m
2 m
3 m 4 m
2 0 kN
A
B
 57
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
A
B
3 m
3 m 2 m
2 0 kN /m
2 m
4 0 kN m
40
 kN
m
2 0 kN /m
1
0
 k
N
/m
5 m 3 m
4 m
3 m
A B
 
 58
 
ANÁLISE ESTRUTURAL I 
LISTA DE EXERCÍCIOS 6A 
 
1) Classifique as estruturas abaixo quanto à estabilidade e à estaticidade 
interna e externa: 
a) b) c) 
 
 
 
 
d) e) 
 
 
 
 
 
f) g) 
 
 
 
 
 
2) Resolva a estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 x 2 m
 4 x 2 m
10 tf 15 tf
5 tf
 59
 
3) a) Como se denomina a estrutura? 
b) Trace os diagramas dos esforços internos da estrutura abaixo. 
c) Localize a seção de momento máximo na barra 1. 
d) Qual o coeficiente angular da tangente ao diagrama de esforços cortantes 
no nó 5. 
 
 
 
 
 
 
4) Trace as linhas de estado e diga como se denomina a estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) a) Como se denomina a estrutura? 
b) Determine os esforços internos em seus elementos. 
c) Sendo a estrutura e o carregamento simétricos, o que se pode afirmar 
sobre os esforços? 
d) Se dobrarmos os valores das cargas o que ocorre com as reações de 
apoio e com os esforços em seus elementos? Justifique. 
 
 3m 2m 2m 2m
 2m
 2m
 2 tf/m
 1 tf/m
 2 tf
 Z
 Y
 X
 1 tfm
 (1)
 1
 2 (2)
 3
 (3) 4
 (4)
 5
 (5)
 6
 
 2 tf/m
 1 tfm
 8 tf
 4 tf
 2 tf
 18 tfm
 8 tf
 2 tf
 3m
 1m
 2m
 2m
 Y
 X
 Z
 
 60
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) a) Como se denomina esta estrutura? 
b) Antes de resolver a estrutura, diga que barras não estão submetidas à 
torção e justifique sua resposta. 
c) Trace os diagramas dos esforços internos. 
d) Dê o coeficiente angular da tangente ao DEC na seção C. 
e) Que características importantes apresentam: o DMF na seção A e o DMT 
na seção C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2m 5,5m 5,5m 2m
 4,62m
 4,325m
 0,20 tf/m
 6 tf
4 tf 4 tf
 45º
 60º
 30º
 3m 3m 2m 1m
 3m
 1m
 8 tf
 2 tf/m
 4 tf/m
 4 tfm
 A
 B
 C
 1
 (1) 2 (2)
 3
 (3)
 4
 61
 
7) Identifique as estruturas associadas abaixo, denomine-as, classifique-as 
como CEP ou SEP e numere-as conforme a ordem de resolução. 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 tf/m
 4 tfm
 
 1 tf/m
 1 tf
 2 tf
 
 
 
 
 2 tf/m
 
 
 
 10 kN/m
 
 
 
 
 2kN
 5kNm
 10kN
 10kN/m
 62
ANÁLISE ESTRUTURAL I 
LISTA DE EXERCÍCIOS 6B 
 
1) Traçar as linhas de influência pedidas. 
a) LIVA, LIMA, LIQS1, LIMS1, LIMS2 
 
 
 
 
 
 
 
b) LIVA, LIQS1, LIMS1, LIMS2, LIQS2, LIQS3, LIMS3 
 
 
 
 
 
 
c) LIVB, LIMS1, LIQS1, LIMS2, LIQS2 
 
 
 
 
 
 
d) LIVA, LIVB, LIMS, LIQS 
 
 
 
 
 
 
 
e) LIVC, LIMS1, LIQB, LIMS2 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) LIMA, LIQB, LIMS, LIVC, LIQS 
 
 
 
 
2 m 3 m 2 m
A 
3 m 3 m 2 m
BA 
2 m 
2 m1 m3 m3 m 1 m 
A B
3 m3 m 2 m 
A B
B C D 
2 m2 m2 m3 m 2 m 
A 
3 m 2 m 3 m 3 m
CB A 
 63
 
2) Seja o trem-tipo indicado abaixo. Calcular os valores máximos dos esforços nas 
estruturas representadas nos itens (d) e (f) a partir das LI obtidas. 
OBS.: O trem-tipo pode trafegar nos dois sentidos. 
 P1 = 2 kN; P2 = 1 kN 
 q = 0,5 kN/m; a = 1 m 
 
 
 
 
 
3) Calcular os valores máximos de MFA e de QAdir para a viga e o trem-tipo abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
4) Calcular MFmax+ e MFmax- causados pela passagem do trem-tipo ao lado em uma 
viga bi-apoiada de 8 m de vão. 
 
 
 
 
 
 
5) Pedem-se as envoltórias finais de MF e de Q de uma viga bi-apoiada de 18 m de 
vão, sujeita a uma carga permanente de 40 kN/m e à passagem do trem-tipo abaixo. 
Considerar seções espaçadas de 3 m entre si. 
 P1 = 160 kN 
 P2 = 120 kN 
 q = 30 kN/m 
 
 
 
6) Uma das vigas longitudinais que suportam um pontilhão é bi-apoiada com 8 m de 
vão, sujeita a uma carga permanente de 20 kN/m, e qualquer seção é capaz de 
resistir a um momento fletor de 1000 kNm. Verificar se é segura a passagem neste 
pontilhão de um veículo que corresponde, para esta viga, a um trem-tipo de duas 
cargas concentradas de 400 kN, distantes 4 m entre si. 
 
a 
q 
C DB A 
4 m 16 m 4 m 1,5 m 3,0 m 1,5 m 
20 
40 80 
20 
1,5 m 3,0 m 
30 30 20 
1,5 m 3,0 m 1,5 m
qq 
 64
 
ANÁLISE ESTRUTURAL I 
LISTA DE EXERCÍCIOS 7A 
 
1) Trace as linhas de influência para os seguintes efeitos, escrevendo suas funções: 
a) Cortante à esquerda de 2 (LIQ2e). 
b) Cortante à direita de 2 (LIQ2 d). 
c) Momento em 2 (LIM2). 
d) Momento em 3 (LIM3). 
 
 
 
 
 
 
 
2) Trace as linhas de influência dos seguintes efeitos: 
 
a) Reação vertical em 1. 
b) Reação vertical em 5. 
c) Cortante em 2. 
d) Cortante em 3. 
e) Momento fletor em 1 (não é momento reativo). 
f) Momento fletor em 2. 
g) Momento fletor em 4. 
h) Momentofletor em 5. 
 
 
 
 
 
 65
 
3) Uma força pode se deslocar entre os pontos 1 e 3, sempre transversalmente aos 
eixos dos elementos. Determine as funções que expressam o momento fletor 
reativo em 1 e trace a variação deste momento para uma força unitária, 
perpendicular aos eixos dos elementos e deslocando-se entre os nós 1 e 3. Como 
se denomina o diagrama obtido? 
 
 
 
 
 
 
 
4) Determine, para as LI dos exercícios 1 e 2, os máximos efeitos positivos e 
negativos, para os seguintes trens-tipo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 66
 
5) Determine as envoltórias de esforços cortantes e momentos fletores da 
estrutura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sabendo-se: 
 
a) Peso Próprio: g = 3tf/m; 
 
 
b) Trem-tipo: 
 
 
 
 
 6 x 3 m
 1 2 3 4 5 6 7
 67
ANÁLISE ESTRUTURAL I 
LISTA DE EXERCÍCIOS 8A 
 
1) Para as estruturas abaixo: 
a) Dê o nome. 
b) Determine as reações de apoio. 
c) Trace os diagramas. 
d) Determine as funções que expressam os esforços solicitantes internos nas barras 
indicadas com (*). 
I) 
 
II ) 
 
III) 
 
 
 68
 
IV ) 
 
 
V ) 
 
 
 
2) Num projeto de um arco de ginásio você pensa nas duas possíveis 
soluções estruturais indicadas abaixo. Após resolvê-las, traçando seus 
diagramas e verificando os valores máximos dos esforços solicitantes 
internos que ocorrem nas duas soluções, você escolherá uma delas e 
justificará sua escolha. 
 
 69
 
 
 
 
 
 
GABARITOS 
 
 
DOS 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 70
 
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 1A 
 
1) a) Estrutura hiperestática; estrutura estável. 
 b) Estrutura hiperestática; estrutura estável. 
 c) Estrutura hipostática; estrutura instável. 
 d) Estrutura hipostática; estrutura instável. 
 e) Estrutura hipostática; estrutura instável. 
 f) Estrutura isostática; estrutura estável. 
 g) Estrutura hipostática; estrutura instável. 
 h) Estrutura hiperestática; estrutura estável. 
 i) Estrutura isostática; estrutura estável. 
 j) Estrutura hiperestática; estrutura estável. 
 
2) a) HA = 0; VA = 4 kN; VB = 4kN. 
 b) HB = 18 kN; VA = 27 kN; VB = -27 kN. 
 c) HA = -50 kN; VA = -15,625 kN; VB = 15,625kN. 
 
3) a) a.1) HA = 0; VA = 20 kN; VB = -20 kN. 
 a.2) idem a.1. 
 a.3) idem a.1. 
 a.4) idem a.1. 
 Conclusão: As reações de apoio devidas a um momento aplicado na viga 
independem da posição do momento concentrado aplicado. Elas têm que 
formar um binário capaz de equilibrar o momento aplicado M e, sendo a 
distância entre os apoios L, as forças deste binário equilibrante têm 
intensidades iguais a M/L. 
 
 b) b.1) HB = 0; VB = 0; VA = 20 kN; 
 b.2) HB = 0; VA = 15 kN; VB = 5 kN; 
 b.3) HB = 0; VA = 10 kN; VB = 10 kN; 
 b.4) HB = 0; VA = 5 kN; VB = 15 kN; 
 b.5) HB = 0; VA = 0; VB = 20 kN. 
 71
Conclusão: As reações nos apoios devidas a uma força concentrada 
transversal dependem da posição da força na viga. A reação é tão maior 
quanto mais próxima do apoio se encontra a força, e tão menor quanto 
mais distante. A intensidade da reação de apoio varia de P (quando P 
está aplicada sobre o apoio) à zero (quando P está aplicada sobre o 
outro apoio da viga). 
 
Resolvendo literalmente uma viga biapoiada com uma carga 
concentrada P, temos as seguintes reações de apoio: 
 HB = 0; VA = Pb/L; VB = Pa/L. 
 
c) DEN - nulos; 
 a.1) x=0: Q=0; M= -100kNm; 
 x=1,5: Q=20kN; M= -100kNm; 
 x=6,5: Q=20kN; M=0. 
 a.2) x=0: Q=0; M=0; 
 x=1,5: Q=20kN; M= -100kNm; 
 x= 6,5: Q=20kN; M=0. 
 a.3) x=0: Q=0; M=0; 
 x=1,5: Q=20kN; M=0; 
 x=3,0: Q=20kN; Me=30kNm; Md= -70kNm; 
 x= 6,5: Q=20kN; M=0. 
 a.4) x=0: Q=0; M=0; 
 x=1,5: Q=20kN; M=0; 
 x= 4,0: Q=20kN; Me= 50kNm; Md= -50kNm; 
 x= 6,5: Q=20kN; M=0. 
 
 b.1) DEQ - nulo; DMF - nulo; 
 b.2) x=0: Q=15kN; M=0; 
 x=1,0: Qe=15kN; Qd= -5kN; M= 15kNm; 
 x= 4,0: Q= -5kN; M=0. 
 b.3) x= 0: Q=10kN; M=0; 
 x=2,0: Qe= 10kN; Qd= -10kN; M=20kNm; 
 x=4,0: Q= -10kN; M=0. 
 72
 b.4) x=0: Q=5kN; M=0; 
 x=3: Qe=5kN; Qd= -15kN; M=15kNm; 
 x=4,0: Q= -15kN; M=0. 
 b.5) DEQ - nulo; DMF - nulo. 
 
 Observar: 
 - As descontinuidades no DEQ são sempre iguais ao valor de P, no nosso 
caso 20kN. 
 - Os momentos fletores máximos ocorrem na seção onde P é aplicada. Nas 
seções onde os momentos máximos ocorrem o cortante se anula. 
 - Para os momentos fletores a posição mais desfavorável, ou seja aquela 
que provoca o máximo momento fletor possível, é no meio do vão. No 
nosso caso 20kNm. 
 - Onde a força transversal concentrada é aplicada o DMF faz um bico, ou seja há uma 
mudança brusca na tangência, a qual corresponde à descontinuidade de cortantes. 
 
4 e 5) a) Reações de apoio: HC=0; VC=9kN; MC=29kNm; 
 Seção A : N=0; Q=9kN; Me= -11kNm; Md= -18kNm; 
 Seção B: N=0; Qe=9kN; Qd=0; M=0; 
 Seção C: N=0; Q=9kN; M= -29kNm; 
 Seção D: N=0; Q=0;M=0. 
 b) Reações de apoio: HF=0; VE=10kN; VF= -10kN; 
 Seção A: N=0; Q=10kN; M=10kNm; 
 Seção B: N=0; Qe=10kN; Qd= -30kN; M=30kNm; 
 Seção C: N=0; Q= -30kN; M=0. 
 Funções dos esforços internos: 
Trecho I: Trecho II: Trecho III: 
N(x)= 0; N(x)= 0; N(x)= 0; 
Q(x)= 10; Q(x)= -30; Q(x)= 10; 
M(x)= 10x; M(x)= -30x+120; M(x)= 10x-10L. 
 
 
 73
c) Reações de apoio: HB=0; VD= -2 tf; VE= 8 tf. 
 Seção A: N=0; Q= -6 tf; M=0; 
 Seção B: N=0; QE= -6 tf; QD= 2 tf; M= -9 tfm. 
 Seção C: N=0; Q= 2 tf; M= -6 tfm. 
 d) Reações de apoio: HE=0; VE=O; VA=O; 
 Seção A: N=0; Q=0; M=20kNm; 
 Seção B: N=0; Q=0; M=20kNm; 
 Seção C e D: idem seção B. 
 
 74
 
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 1B 
 
1) a) Isostática, estável e) Hipostática, instável 
 b) Hipostática, instável f) Isostática, estável 
 c) Hiperestática, estável g) Hipostática, instável 
 d) Isostática, estável h) Isostática, estável 
 
2) a) Reações de apoio: HA=3,46 tf; VA=5,2 tf; VB=2,8 tf 
 b) Reações de apoio: HB=0; VA=4,75 tf; VB=3,25 tf 
 c) Reações de apoio: HA=1 tf; VA=0,17 tf; VB=2,83 tf 
 d) Reações de apoio: HA=0; VA=5KN; VB=5KN 
3) a) Reações de apoio: HB=5 tf; VA=9,75 tf; VB=6,91 tf 
 Esforços em S1 : N=0; Q=9,75 tf; M=14,625 tfm 
 Esforços em S2 : N=0; Q=1,75 tf; M=32,75 tfm 
 Esforços em S4 : N=5 tf; Q= -6,91 tf; M=13,82 tfm 
 b) Reações de apoio: HB=0; VA=0,5 tf; VB= -0,5 tf 
 Esforços em S1 : N=0; Q=0,5 tf; ME= -4 tfm; MD= -2 tfm 
 Esforços em S2 : N=0; Q=0,5 tf; M= -1,0 tfm 
 c) Reações de apoio: HB=-2 tf; VA=1,33 tf; VB=2,67 tf 
 Esforços em S1 : N= -2 tf; QE=1,33 tf; QD= -2,67 tf; M=0 
 Esforços em S2 : N= -2,67 tf; Q=2 tf; M= -4 tfm 
 d) Reações de apoio: HA=5 tf; VA=15,75 tf; VB= -3,75 tf 
 Esforços em S1E : N=0; Q= -4 tf; M= -8 tfm 
 Esforços em S1
I: N= -15,75 tf; Q= -5 tf; M= -15 tfm 
 Esforços em S1
S :N= -11,75 tf; Q= -5 tf; M= -23 tfm 
 Esforços em S4: N= -5 tf; Q=3,75 tf; M= -22,5 tfm 
 Esforços em S5 : N=3,75 tf; QS=5 tf; QI=0; M=0 
 
 75
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 1C/GABARITOS 
1) 
 
Para F: MX = 24; MY = 0; MZ = -24 
Para F’: MX = -24; MY = 16; MZ = 24 
 
2) ΣMo = -55,34 kNm 
 
3) 
a) Isostática estável; 
b) Isostática estável; 
c) Isostática estável; 
d) Isostática estável; 
e) Isostática estável 
f) Hiperestática estável; 
g) Isostática estável; 
 
4) 
a) HA = 3,54 kN ← ; VB = 3,44 kN ↑ ; VA = -4,9 kN ↓ 
b) HA = 0; VB = 2,5 kN ↓; VA = 2,5 kN ↑ 
c) HA = 0; HB = 5 kN → ; VA = 3,33 kN ↑ ; VB = 1,67 kN ↑ 
d) HA = 0; VA = 7,5 kN ↑ ; VB = 7,5 kN ↑ 
 
5) Y 
 X (eixos globais) 
 Z 
a) RX = 2 kN →; RY = 5 kN ↑; RZ = 0; MX = 20 kNm ; MY = 8 kNm ; 
 MZ = 50 kNm 
 
b) N = +2 kN; Qy = -5 kN; Qz = 0; T = +20 kNm; Mz = -15 kNm; My = 8 kNm 
 
Z
(0 ,6 ,0 )(4 ,0 ,4 ) Y
(4 ,6 ,0 )
F
F '
X
 76
6) a) QS1 = - 2 kN; NS1 = 0; MS1 = 0 
QS2 = - 2 kN; NS2 = 0; MS2 = - 4 kNm 
b) QS = - 1,875 kN; NS = 0; MS = 3,75 kNm 
c) QS1 = - 2 kN; NS1 = - 3 kN; MS1 = - 2 kNm 
QS2 = - 2 kN; NS2 = - 3 kN; MS2 = 0 
d) QS = 0; NS = 0; MS = - 20 kNm 
e) QS = - 8,667 kN; NS = 0; MS = 21,334 kNm 
f) QS = 1,85 kN; NS = 0; MS = 20,9 kNm 
g) QS1 = 12 kN; NS1 = 0; MS1 = - 56 kNm 
QS2 = 9 kN; NS2 = 0; MS2 = - 10 kNm 
h) QS = 23,571 kN; NS = 0; MS = - 55,429 kNm 
i) QS = 0,4 kN; NS = 0; MS = 2,2 kNm 
j) QS1 = - 23 kN; NS1 = - 16,7 kN; MS1 = - 46 kNm 
QS2 = 7,7 kN; NS2 = - 23 kN; MS2 = - 55,4 kNm 
k) QS1 = - 15 kN; NS1 = - 20 kN; MS1 = - 40 kNm 
QS2 = 15 kN; NS2 = 0; MS2 = - 15 kNm 
l) QS1 = - 2 kN; NS1 = 0; MS1 = - 1 kNm 
QS2 = 1,143 kN; NS2 = - 10 kN; MS2 = 1,714 kNm 
m) QS1 = 0; NS1 = - 5,625 kN; MS1 = 0 
n) QS1 = - 30 kN; NS1 = 0; MS1 = - 48 kNm 
QS2 = 0; NS2 = - 54 kN; MS2 = - 216 kNm 
o) QS1 = - QS2 = - 3 kN; NS1 = NS2 = - 7,5 kN; MS1 = MS2 = - 3 kNm 
p) QS = 0; NS = - 4,556 kN; MS = 0 
q) QS = - 4,5 kN; NS = 0; MS = - 13,5 kNm 
r) QS = 0; NS = - 6 kN; MS = 0 
s) QS = - 0,999 kN; NS = 0,333 kN; MS = 3,159 kNm 
 77
 
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 2A 
 
1) a) Estrutura externamente hipostática; estrutura instável; 
 b) Estrutura externamente hipostática; estrutura instável; 
 c) Estrutura externamente hiperestática; estrutura instável; 
 d) Estrutura externamente isostática; estrutura estável; 
 e) Estrutura externamente hiperestática; estrutura estável; 
 f) Estrutura externamente hipostática; estrutura instável. 
 
2) a)HA=0; VA=1,56 tf; VB=55,94 tf 
 Funções dos esforços internos: 
 Trecho I: 0<x<3 
 M(x)=1,56x - x=0, M=0 
 x=3, M=4,68 
 Q(x)=1,56; N(x)=0. 
 Trecho II: 3<x<6 
 M(x)= -2,5x2+6,56x+7,5 - x=3, M=4,68 
 x=6, M= -43,13 
 Q(x)= -5x+6,56 - x=3, Q= -8,44 
 x=6, Q= -23,44 
 N(x)=0. 
 Trecho III: 6<x<7,5 
 M(x)= -2,5x2+62,5x-328,13 - x=6, M= -43,13 
 x=7.5, M=0 
 Q(x)= -5x+62,5 - x=6, Q=32,5 
 x=7.5, Q=25 
 N(x)=0 
3) Reações de apoio: HA=250N; VA=1433N; MA=4665Nm 
 Esforços internos em S: N= -250N; Q=833N; M= -1266Nm 
 Funções dos esforços internos: 
 M(x)= -100x2+1433x-4665 - x=0, M= -4665Nm 
 x=5, M=0 
 Q(x)= -200x+1433 - x=0, Q=1433N 
 78
 x=5, Q=433N 
 N(x)= -250N 
 
4) Seção S1: N=80kN; Q= -10kN; M= -60kNm; 
 Seção S2: N=-; Q= -10kN; M=30kNm. 
 
5) ESI na seção S: N=0; Q= -40kN; M=80kNm 
 Reações de apoio: HA= 21,21kN; VA=110kN; VD=61,21kN 
 Funções dos esforços internos: 
 Trecho I: 0<x<3 Trecho II: 3<x<6 
 M(x)=110x; x=0, M=0 M(x)= -40x+450; x=3, M=330 kNm 
 x=3, M=330 kNm x=6, M=210 
 Q(x)=110 kN; N(x)= -21,21 kN Q(x)= -40 kN; N(x)= -21,21 kN 
 Trecho III: 6<x<9 
 M(x)= -40x+360; x=6, M=120 kNm 
 x=9, M=0 
 Q(x)= -40 kN; N(x)= -21,21 kN 
 
6) a) Esforços internos: 
 Seção S1: N= -1tf; Q=1 tf; M= -1 tfm 
 Seção S2: N=0; Q=3 tf; M= -4,5 tfm 
 Seção S3e: N=0; Q= -3 tf; M= -6 tfm 
 Seção S3d: N=0; Q=4 tf; M= -8 tfm 
 Seção S3inferior: N= -7 tf; Q=0; M= -2 tfm 
 b) b.1) Reações de apoio: HB=0; VA=50kN; VB=50kN 
 Esforços internos: 
 Seção S1: N=0; Q=50kN; M=75kNm; 
 Seção S2: N=0; Q=0; M=150kNm; 
 Seção S3: N=0; Q= -50kN; M=75kNm 
 Observa-se que para estrutura e carregamento simétricos: 
 DQ é anti-simétrico e DMF é simétrico 
 b.2) Reações de apoio: HB=0; VA=20kN; VB=20kN ( ) 
 Esforços internos: 
 Seção S1: N=0; Q=20kN; M=30kNm; 
 79
 Seção S2: N=0; Q= -30kN; M=0; 
 Seção S3: N=0; Q=20kN; M= -30kNm 
 Observa-se que para estrutura simétrica e carregamento anti-simétrico: 
 DQ é simétrico e DMF é anti-simétrico 
 
7) Reações de apoio: HB=0; VA=3,9 tf; VB=6,6 tf 
 Esforços internos: Para 0≤x<3 
 M(x)= -x3/6+3,90x; x=0, M=0 
 x=3, M=7,2 tfm 
 Q(x)= -x2/2+3,90; x=0, Q=3,9 tf 
 x=3, Q=-0,6 tf 
 Mmáx: -x2/2+3,90=0; Mmáx=7,26 tfm 
 Para 3≤x0≤5 
 M(x)= -1,5x2+8,4x-4,5; x=3, M=7,2 tfm 
 x=5, M=0 
 Q(x)= -3x+8,4; x=3, Q= -0,6 tf 
 x=5, Q= -6,6 tf 
 Coeficientes angulares são os valores de -q(x).: 
 Em x=0: dQ(x)/dx=0 
 Em x=3: dQ(x)/dx= -3 
 
9) Reações de apoio: HB= 4 tf; VA= 17 tf; VB= 21 tf 
 Esforços internos: Seção S: N=4 tf; Q= 7 tf; M= 34 tfm 
 
10) Viga biapoiada, isostática/estável 
 Reações de apoio: HB=40kN; VA=51kN; VB=51kN 
 Esforços internos: 
Para 0≤x≤1: N(x)=0; M(x)=51x; Q(x)=51 
x=0:; Q=51kN; M=0 
x=1: Q=51kN; M=51kNm 
Para 1≤x≤4: N(x)= -40; Q(x)= -8x2+16x+13; M(x)=-8/3x3+8x2+13x+98/3 
 x=1: N= -40kN; Q=21kN; M=51kNm 
 x=4: N= -40kN; Q= -51kN; Me=42kNm 
 80
Mmáx: -8x2+16x+13=0; Mmáx=73,683kNm 
Para 4<x<6: N(x)= -40; Q(x)= -51; M(x)= -51x+306 
 x=4: N= -40kN; Q= -51kN; Md=102kNm 
 x=6: N= -40kN; Q= -51kN; M=0 
 
 
 81
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 3A 
 
2) Viga Gerber 
 Vigas sem estabilidade própria ( SEP ): 1ª → x=0 até x=6m; 
 2ª → x=6m até x=14m 
 Viga com estabilidade própria ( CEP ): x= 14m até x=24m 
 Valores dos esforços internos: 
 x=0: M=0; Q=30kN; N=0; 
 x=8: M= -80kNm; Qe= -50kN; Qd=28,33kN; N=0; 
 x=12: M=33,34kNm; Qd=-16,67kN; N= -60kN; 
 x=16: M= -33,34kNm; Qd=44,17kN; N= -60kN; 
 x=24: M=0; Q= -35,83kN; N= -60kN. 
3) Trata-se de uma viga Gerber e devido à simetria basta analisar uma das vigas 
biapoiadas dotadas de balanço (CEP). Como procuramos a viga mais econômica, os 
momentos negativos em A e em B devem ser iguais, ou seja XA=XB. 
Portanto: VA=qb+qL/2; VB=ql/2+qa=q(L-2a)/2=qL 
A viga mais econômica exige também que o máximo momento positivo no vão L seja 
igual, em módulo, aos momentos negativos em A e B, ou seja: /MMAX/=/XA/=/XB/. 
MMAX=qL2/8-qb2/2 e ocorre no meiodo vão L. Igualando /XB/ à MMAX temos: 
a=0,1464L; b=0,3536L. 
5) a) VA=16,61kN; VB=33,29kN; HA=28,9kN. 
 Valores dos esforços internos ( eixo local da barra ): 
 x=0: M=0; Q=28,9kN; N=16,70kN; 
 x=5,77: M=0; Q= -28,9kN; N=16,7kN 
 b) Reações de apoio: VA=4,25 tf; VB=3,85 tf; HA=4,2 tf 
 Funções dos esforços internos: 
 Para 0 ≤ x ≤ 1,25: 
 N(x): -4,2+0,72x; Q(x):4,25-1,46x; M(x)=4,25x-1,46x2/2 
 Para 1,25 ≤ x ≤ 5: 
 N(x)= -4,2+0,72x+0,6; Q(x)=4,25-1,46x-0,8; M(x)= -0,73x2+3,45x+1 
 Valores dos esforços internos ( eixo local da barra): 
 x=0: N= -4,2 tf; Q=4,25 tf; M=0; 
 x=1,25: Ne= -3,3 tf; Nd= -2,7 tf; Qe=2,43 tf; Qd=1,63 tf; M= 4,17 tfm; 
 x=5: N=0; Q= -3,85 tf; M=0. 
6) Estruturas simétricas submetidas a carregamentos: 
• Simétricos → DEC - anti-simétrico; DMF - simétrico 
 82
• Anti-simétricos → DEC - simétricos; DMF - anti-simétricos 
 
 
 
 
 83
LISTA DE EXERCÍCIOS 3B/GABARITOS 
 
2)a) VA = 11,2 kN ↑; VB = 11,8 kN ↑ 
b) VA = 32 kN ↑; VB = 8 kN ↑ 
c) VA = 38 kN ↑; VB = 25 kN ↑ 
d) VA = 46,5 kN ↑; VB = -4,5 kN ↓ 
e) VA = 16,5 kN ↑; VB = 10,5 kN ↓ 
f) VA = VB = 40,5 kN ↑ 
g) VA = 25,25 kN ↑; VB = 52,25 kN ↑ 
h) H = 3 kN ←; V = 20 kN ↑; M = 30 kNm 
i) M = 213,33 kNm 
j) H = 34,6 kN →; V = 45 kN ↑; M = 292,5 kN 
k) VA= 105 kN ↑; VB = 45 kN ↑ 
l) VA = VB = 10 kN ↓ 
m) VA = 24 kN ↑; VB = 16 kN ↓; HA = 15 kN → 
n) VA= VB = 0 
o) VA = 7,5 kN ↑; VB = 112,5 kN ↑; VE = 49 kN ↑; VF = 11 kN ↓ 
p) VC = 4,7 kN ↑; VA = 12,4 kN ↑; HA = 7,1 kN →; MA = 40 kNm 
 
3)Vigas Gerber 
a) HA = 0; VA = 12 kN ↓; VB = 22 kN ↑; MA = 56 kNm 
b) HA= 0; VA = 12,22 kN ↓; VB = 30,55 kN ↑; VC = 33,33 kN ↓; VD = 25 kN ↑ 
 
4) 
 
 
 
5) d = 0,828L 
 
1 kN /m
0 ,5 kN /m
3 kN
4 kN 5 kN
D M F (kN m )
28
1
6
1
2 m 4 m 4 m
 84
6) 
a) Viga inclinada bi-apoiada 
HA = 80 kN ←; VA = 67,5 kN ↑; VB = 92,5 kN ↑ 
b) Viga inclinada engastada e livre 
HA = 0; VA = 400 kN ↑; MA =2000 kN 
 
 85
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 4A 
 
1) Viga biapoiada com balanço 
 Reações de apoio: VA= 10,9 kN; VB= 31,1 kN; HA= -5 kN. 
 Funções: 0 ≤ x ≤ 4 
 M(x)= 10,9x; Q(x)= 10,9; N(x)= 5. 
 x=0: M=0; Q=10,9kN; N(x)=5kN. 
 x=4: M=43,5kNm; Q=10,9kN; N=5kN. 
 4 ≤ x ≤ 20: 
 M(x)= -x2+18,9x-16; Q(x)= -2x+18,9; N(x)=5. 
 x=4: M=43,5kNm; Q=10,9kN; N=5kN. 
 x=20: M= -38kNm; Qe= -21,1kN; N=5kN. 
 20 ≤ x ≤ 30: 
 M(x)= -5-(30-x)3/30; Q(x)=(30-x)2/10; N(x)=5. 
 x=20: M= -38,3kNm; Qd=10kN; N=5kN. 
 x=30: M= -5kNm; Q=0; N=5kN. 
2) Trabalhando com uma viga biapoiada com balanço e fazendo /X/=/M/, temos: 
 b=L-2a, a=0,207L; b=0,586L 
3) a) Viga Gerber 
 Reações de apoio: HB= -5kN; VA=5kN; VB=5kN; VC=21,67kN; VD=3,33kN. 
 Valores dos esforços internos: 
 x=5: M=25kNm; Qe=5kN; N=0. 
 x=10: M=0; Q= -5kN; N=5kN. 
 x=20: M= -50kNm; Qe= -10kN; N=5kN. 
 x=23: M= -15kNm; Qe=1,67kN; N=5kN. 
 x=28: M=0; Q=5kN; N=0. 
 b) Viga Gerber 
 Reações de apoio: HC=0; VA=2,5 tf; VB=4,33 tf; VC=28,17 tf; MC=197,6 tfm. 
 Valores dos esforços internos: 
 x=7,5: M=187,5 tfm; Qe=2,5 tf. 
 x=20: M= -12,50 tfm; Qe= -2,5 tf; 
 x=25: ME= -3,35 tfm; Md= -18,35 tfm; Q=1,83 tf; 
 x=50: M= -197,6 tfm; Q= -28,17 tf. 
 DEN - nulo. 
4) Reações de apoio: VA= 277,8kN; VB= 272,2kN. 
 Funções dos esforços internos: 
 0 ≤ x ≤ 5 ( eixo local da barra AD ) 
 86
 M(x)= -8x2+222,2x; Q(x)= -16x+222,2; N(x)=12x-166,6 
 x=0: M=0; Q=222,2kN; N= -166,6kN; 
 x=5: M=911,2kNm; Qe=142,2kN; Ne= -106,7kN. 
 5 ≤ x ≤ 10: 
 M(x)= -8x2+182,2x+200; Q(x)= -16x+182,2; N(x)=12x-136,6. 
 x=5: M=911,2kNm; Qd=102,2kN; Nd= -76,6kN. 
 x=10: M=1222,4kNm; Q=22,2kN; N= -16,6kN. 
5) Quadro ou pórtico biapoiado 
 Reações de apoio: HA=2,4kN; VA=6,4kN; VB=5,6kN. 
 Esforços internos nas seções chaves: 
 Seção A: N= -6,7 tf; Q=1,55 tf; M=0; 
 Seção C: Ne= -3,4 tf; Nd= -2,4 tf; Qe= -0,67 tf; Qd=2,4 tf; M=1,6 tfm; 
 Seção D: Ne= -2,4 tf; Nd= -5,6 tf; Qe= -5,6 tf; Qd=2,4 tf; M=4,8 tfm; 
 Seção B: N= -5,6 tf; Q=0; M=0. 
6) Quadro ou pórtico engastado 
 Reações de apoio: HA=15kN; VA=100kN; MA=80kN. 
 Valores dos esforços internos: 
 Seção A: M= -80kNm; Q= -15kN; N= -100kN; 
 Seção B: M= -165kNm; para barra AB: Q= -15kN; N=-100kN 
 para barra BC: Q= 100kN; N= -15kN; 
 Seção C: M= -30kNm; para barra BC: Q=0; N= -15kN 
 para barra CD: Q= 15kN; N=0. 
7) Quadro ou pórtico biapoiado dotado de rótula e tirante 
 Reações de apoio: H2=8 tf; V1=30,75 tf; V2=33,25 tf; N=24,67 tf. 
 Valores dos esforços internos: 
 Barra 1: Seção 1: M=0; Q=0; N= -30,75kN; 
 Seção 3: M= -20kNm; Q= -8kN; N= -30,75kN; 
 Barra 2: Seção 2: M=0; Q=8 tf; N= -33,25 tf; 
 Seção 4: M= -40 tfm; Q=8 tf; N= -33,25 tf; 
 No eixo local da barra 4: 
 M(x)=17,32x-3,51x2/2-20; Q(x)= -3,51x+17,32; 
 Fazendo Q(x)=0 → x=4,94m → Mmax=22,77 tfm; 
 Seção 3: Q=17,32 tf; N= -41,38 tf; 
 Seção 5: Q= -12,64 tf; N= -30,14 tf. 
 No eixo local da barra 5: 
 M(x)=10,30x-3,51x2/2; Q(x)= -3,51x+10,30 
 Fazendo Q(x)=0 → x=2,94m → Mmax=15,13 tfm 
 87
 Seção 5: Q=10,30 tf; N= -31,02 tf 
 Seção 4: Q=-19,66 tf; N=-42,26 tf 
8) Quadro triarticulado 
 Reações de apoio: V1=22,67kN; V2=49,33kN; H1= -20kN; H2=0 
 Valores dos esforços internos: 
 Barra 1: Seção 1: M=0; Q=20kN; N= -22,67kN; 
 Seção 3: M=80kNm; Q=20kN; N= -22,67kN; 
 Barra 2: M(x)= -6x2+22,67x+80; Q(x)= -12x+22,67; 
 Fazendo Q(x)=0 → x=1,89m → Mmax=101,4kNm 
 Seção 3: M=80kNm; Q=22,67kN; N=0 
 Seção 4: M=0; Q= -49,33kN; N=0; 
 Barra 3: Seção 4: M=0; Q=o; N= -49,33kN; 
 Seção 2: M=0; Q=0; N= -49,33kN. 
 
 
 
 
 88
LISTA DE EXERCÍCIOS 4B/GABARITOS 
 
1) a) Viga Gerber 
b) 1º) Como simples associação de vigas isostáticas simples, com ou sem 
estabilidades próprias → resolvem-se inicialmente as V.I.S. sem estabilidade 
própria. 
2º) Resolvendo a viga associada através da resolução de um sistema de equações 
formado pelas equações do equilíbrio estático (3 equações) mais as equações de 
condição (nº necessário ≡ nº de nós rotulados da estrutura associada) obtidas 
impondo-se Mrot = 0. 
 
2) a) V1 = 16,4 tf ; V2 = 13,6 tf ; H2 = 6 tf 
b) M85 = 8 tfm; M87 = - 20 tfm; M88 = -12 tfm 
c) NS = -6,81 tf; QS = 0; MS = -3,22 tfm 
 
3) VA = 10,5 tf; VB = 7,5 tf; HB = 0 
 
4) a) Treliça isostática 
b) Simples 
c) Treliça ideal é uma treliça submetida somente a forças nodais. Esta treliça é uma 
treliça ideal. 
d) Se a estrutura e o carregamento são simétricos, o DEC é anti-simétrico e o DMF 
é simétrico. 
 
5) P = q(b2/8 – a2)/2 
 
6) VA = 4 tf ; VB = 5 tf 
 
7) OBS.: Barras inativas 
 
 
 
 
Na = -13,00 tf; Nb = 1,41 tf; Nc = 12,00 tf; Nd = - 4 tf; Ne = - 5 tf 
 89
 
8) a) 
 
V1 = 50L ↑; V6 = 50L ↑; H6 = 0 
N1-2 = 23/L 
N2-3 = 57,5/L 
N3-4 = 69/L 
N4-5 = 57,5/L 
N5-6 = 23/L 
N1-7 = -46/L 
N2-7 = 46/L 
N2-8 = -23/L 
N3-8 = 23/L 
N3-9 = 0 
N4-9 = 0 
N4-10 = 23L 
N5-10 = -23/L 
N5-11 = 46/L 
N6-11 = -46/L 
N7-8 = -23/L 
N8-9 = -46/L 
N9-10 = -46/L 
N10-11 = -23/L 
1 2 3 4 5 6
7 8 9 1 0 1 1
q = 2 0 kN /m
 90
 
b) 
 
 
V1 = 287,5 kN ↑; H1 = 0, V5 = 212,5 kN ↑ 
N1-2 = 215,6 kN 
N2-3 = 215,6 kN 
N3-4 = 159,4 kN 
N4-5 = 159,4 kN 
N1-6 = -359,4 kN 
N2-6 = 200 kN 
N3-6 = -35,80 kN 
N3-7 = 130,86 kN 
N3-8 = 58,30 kN 
N4-8 = 100 kN 
N5-8 = -265,6 kN 
N6-7 = -204,33 kN 
N7-8 = -204,6 kN 
 
5 0kN
2 0 0 kN 1 5 0 kN 1 0 0 kN
2 m
8 m
6 m 6 m 6 m 6 m
1 2 3 4 5
6
7
8
 91
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 5A 
 
1) a) Pórtico ou quadro bi-apoiado 
 Reações de apoio: HA=20kN; VA=101,7kN; RC=91,7kN 
 Valores dos esforços internos: 
 Barra 1: Seção A: M=0; Q=98kN; N= -57,8kN 
 Seção B: M=140kNm; Q= -20kN; N= -57,8kN 
 Barra 2: Seção B: M=140kNm; Q=26,7kN; N= -55kN 
 Seção C: M=0; Q= -73,3kN; N= -55kN 
 b) Pórtico ou quadro bi-apoiado 
 Reações de apoio: VA=43,72 tf; VB=24,35 tf; HB=21,21 tf 
 Valores dos esforços internos: 
 Barra 1: Seção A: M=0; Q=33,6 tf; N= -28 tf 
 Seção C: M=121,8 tfm; Q= -2,4 tf; N=2 tf 
 Barra 2: Seção C: M=121,8 tfm; Q= -2,2 tf; N= -2,2 tf 
 Seção B: M=0; Q= -32,2 tf; N= -2,2 tf 
 c) Pórtico ou quadro triarticulado 
 Reações de apoio: HA=50kN; VA=157,14kN; HB=50kN; VB=42,86kN 
 Valores dos esforços internos : 
 Barra 1: Seção A: M=0; Q=25,6kN; N= -162,9kN 
 Seção C: M=171,4kNm; Q=25,6kN; N= -162,9kN 
 Barra 2: Seção C: M=171,4kNm; Q= -42,9kN; N= -50kN 
 Seção D: M=0; Q= -42,9kN; N= -50kN 
 Barra 3: Seção D: M=0; Q=50kN; N= -42,9kN 
 Ponto de carga concentrada de 100kN: M=150kNm; Qe=50kN; 
 Seção B: M=0; Q= -50kN; N= -42,9kN 
 d) Pórtico plano composto 
 Reações de apoio: VA=135kN; VB=45kN; HB=45kN; MB=270kNm 
 Valores dos esforços internos: 
 Barra 1: Seção A: M=0; Q=0; N= -135kN 
 Ponto de carga concentrada de 90kN: M= -270kNm; Q= -90kN; 
 Seção C: M= -270kNm; Q= -90kN; N= -135kN 
 Barra 2: Seção C: M= -270kNm; Q=135kN; N= -90kN 
 Seção D: M=0; Q= -45kN; N= -90kN →Para a barra 2: Mmax=33,8kNm 
 Barra 3: Seção D: M=0; Q=45kN; N= -45kN 
 Seção B: M=270kNm; Q=45kN; N= -45kN 
2) Reações de apoio: H1=0; V1=161,1kN; V4=238,9kN 
 92
 Funções: Trecho 1-2:M(x)=128,9x; Q(x)=128,9; N(x)= -96,7 
 Seção 1: Q=128,9kN; M=0; N= -96,7kN 
 Seção 2: Qe=128,9kN; Ne= -96,7kN; M=644,4kNm 
 Trecho 2-3: M(x)=48,9x+400; Q(x)=48,9; N(x)= -36,7 
 Seção 2: Qd=48,9kN; Nd= -36,7kN; 
 Seção 3: Qe=48,9kN; Ne= -36,7kN; M=888,9kNm 
 Trecho 3-4: M(x)= -15x2+61,1x+888,9; Q(x)= -30x+61,1; N(x)=0 
 Seção 3: Qd=61,1kN; Nd=0 
 Seção 4: Q= -238,9kN; N=0; M=0 
 →Q=0 → x=2,037m - Mmax=951,1kNm 
3) a) Reações de apoio: V1=43,3 tf; H1=13,84 tf; M1=160,3 tfm; V6=9,2 tf; H6=13,84 tf 
 Valores dos esforços internos: 
 Seção 1: M= -160,3 tfm; Q=43,3 tf; N=13,84 tf 
 Seção 2: M=0; Qe=20,8 tf; Qd=2,19 tf; NE=13,84 tf; Nd=24,88kN 
 Seção 4: M=0; Qe= -2,19 tf; Ne=19,42 tf 
 Seção 5: M=27,6 tfm; Qe=13,8 tf; N=13,84 tf 
 Seção 6: M=0; Q= -9,2 tf; N=13,84 tf 
 b) Reações de apoio: V1=4,3 tf; H1=5,03 tf; V6=4,7 tf; H6=3,97 tf; M6= -5,9 tfm 
 Valores dos esforços internos: 
 Seção 1: M=0; Q=4,3 tf; N= -5,03 tf 
 Barra 1-2 - ponto da carga concentrada de 3 tf: 
 M=6,6 tfm; Qe=2,3 tf; Qd= -0,7 tf; N=- 5,03 tf 
 Seção 2: M=0; Qe= -3,7 tf; Qd=0,94 tf; Nd= -6,17 tf 
 Seção 3: M=0; Qe= -0,47 tf; Ne= -4,76 tf 
 Seção 4( para barra 3-4): M=6,1 tfm; Q=0,03 tf; N= -3,7 tf 
 ( para barra 4-5): M= -7,5 tfm; Q=4 tf; N=0 
 ( para barra 4-6): M= -13,6 tfm; Q= -3,7 tf; N=3,97 tf 
 Seção 5: M=0; Q=1 tf; N=0 
 Seção 6: M= -5,9 tfm; Q= -4,7 tf; N=3,97 tf 
c) Pórtico triarticulado 
 Trecho 1-2: M(x)=0,7407x3-20x2+120x-202,4; Q(x)=2,22x2-40x+120 
 →Q=0 - x=3,80m - Mmax=5,4kNm 
 Valores dos esforços internos: 
 Barra 3: Seção 4: M=0; Q= -50,6kN; N= -120kN 
 Seção 1: M= -202,4kNm; Q= -120kN; N=56,6kN 
 Barra 1: Seção 1: M= -202,4kNm; Q=120kN; N= -50,6kN 
 Seção 2: M=0; N= -50,6kN 
 93
 Barra 2: Seção 3: M= -202,4kNm; Q=60kN; N= -50,6kN 
 Barra 4: Seção 3: M= -202,4kNm; Q=50,6kN; N= -60kN 
 Seção 6: M=0; Q=50,6kN; N= -60kN 
 Barra 5: Seção 4: M=0; Q= -120kN; N=56,6kN 
 Seção 5: M= -540kNm; Q= -120kN; N=56,6kN 
 Barra 6: Seção 5: M=221kNm; Q= -64,3kN; N=56,6kN 
 Seção 6: M=0; Q= -154,3kN; N=56,6kN 
 Barra 7: Seção 5: M=721kNm; Q=86,5kN; N= -76,9kN 
 Seção 7: M=0; Q=146,5kN; N= -130,2kN 
5) a) Valores dos esforços normais ( em kN ): 
 N1= -30; N2= -16; N3= -8; N4=19,8; N5= -14; N6=11,32; N7= -8; N8=11,32; 
 N9=16; N10=8. 
 b) Valores dos esforços normais ( em tf ): 
 N1=8,5; N2=17; N3=17; N4= -13; N5=5; N6= -10; N7=0; N8= -20; N9= -10. 
 c) Reações de apoio: H1=3 tf; V1=1,75 tf; V2=6,25 tf; N=2 tf ( tração - tirante ) 
 Valores dos esforços: 
 Barra 1: Seção 1: M=0; Q=3 tf; N= -1,75 tf 
 Seção 3: M=6 tfm; Q=3 tf 
 Barra 2: Seção 2: M=0; Q=0; N= -6,25 tf 
 Seção 4: M=0; Q=0; N= -6,25 tf 
 Barra 4: Seção 3: Q=1 tf 
 Seção 5: M=7 tfm; Q=1 tf 
 Barra 5: Seção 4: M=0; Q=2 tf; N= -6,25 tf 
 Seção 6: M= 
d) Reações de apoio: H4=0,3 tf; V4=0,4 tf; V2=0,7 tf 
 Valores dos esforços normais ( em tf ): 
 N1= -0,10; N2=0,05; N3= -0,10; N4=0,22; N5= -0,22; N6= -0,56; N7=0,11; N8=0,45; 
 N9= -0,45; N10= -0,10; N11= -0,40 
6) N11=2800Kgf 
7) Trata-se de uma treliça composta com funcionamento de Viga Gerber. 
 Tratando com um todo → Viga Gerber 
 Tratando em partes → Treliças Simples 
 Reações de apoio: V1=12 tf; V2=24 tf; V5=24 tf; V6=12 tf 
 Utilizando Método das Seções para Na ,Nb e Nc : 
 Na=6 tf; Nb=11,31 tf; Nc= -14 tf 
 94
LISTA DE EXERCÍCIOS 5B/GABARITOS 
 
2) a) Pórtico bi-apoiado 
VA = 16,7 kN ; HA = 23,0 kN ; VB = 1,7 kN 
b) Pórtico engastado e livre 
V = 20,0 kN ; H = 15,0 kN ; M = 17,5 kNm 
c) Pórtico tri-articulado 
VA = VB = 80 kN ; HA = HB = 40 kN 
Podemos observar que quando a estrutura é simétrica e o carregamento é simétrico, o 
DMF e o DEN são simétricos e o DEC é anti-simétrico. 
d) Pórtico bi-apoiado 
VA = 17,14 kN ; VB = 2,86 kN ; HB = 10,00 kN 
e) Pórtico bi-apoiado com articulação e tirante (tração) 
V1 = 15,38 kN ; V5 = 16,63 kN ; H5 = 0 
f) Pórtico bi-apoiado 
V1 = 103,4 kN ; V5 = 56,6 kN ; H5 = 0 
g) Pórtico tri-articulado 
V1 = 72 kN ; H1 = 120 kN ; V4 = 72 kN ; H4 = 0 
 
3) a) N1 = N2 = N3 = 31,62 kN 
N4 = N5 = N6 = N7 = N8 = 0 
N9 = N10 = N11 = -30 kN 
b) N2 = 204,00 kN; N4 = 108,00 kN; N7 = 19,21 kN; N11 = -172,90 kN; 
N12 = -216,00 kN 
c) N1 = 8,5 kN; N5 = 5,0 kN; N7 = 0; N9 = -10,0 kN 
d) N11 = 2694,4 kgf; N19 = 600,0 kgf 
 
4) Pórtico espacial 
 
 
4) d.1) RA máx. = 9,375 tf 
 
d.2) M máx.B = 7,0 tfm 
 
 M mín.B = -4,56 tfm 
 
d.3) Q máx.B = -3,28 tf 
 
 
 95
LISTA DE EXERCÍCIOS 5C/GABARITOS 
 
5) a) NAC = - 30 kN; NBC = 19,8 kN; NCE = - NBD = - 16 kN; NDE = NFG = 11,3 kN; 
NEG = NEF = - NDF = - 8 kN; 
b) NAC = NBD = NCD = NEF = 10 kN; NBC = NDE = - 14,14 kN; NCE = NDF = 0 
c) NAD = NCE = - 25 kN; NBD = NBE = - 10,60 kN; NDF = NEF = -14,14 kN; 
NDG = NEH = - 15 kN; NFG = NFH = 0; NGI = NHI = - 21,21 kN 
d) NAC = NAD = NBC = NCD = NCE = NDF = NDG = NEG = NFG = NGH = 0; 
NAF = NBE = NEH = - 20 kN 
e) NAB = NCD = NGH = NIJ = 0; NAF = - 8 kN; NBC = - NDE = - NFG = NHI = 6 kN; 
NBF = - NCG = - NDH = NEI = 7,21 kN; NBG = - NCH = - NDI = - NEJ = 4 kN 
f) N DE = -23,74 kN 
N CE = 26,67kN 
N CD = 11,84 kN 
N BD = -31,44 kN 
N BC = -9,15 kN 
N AC = 42 kN 
 
g) N AE = -26,32 kN 
N AB = 17,11 kN 
N EF = -19,75 kN 
N BE = 19,88 kN 
N BF = -19,76 kN 
N BC = 34,22 kN 
N CF = 10 kN 
N CD = 34,22 kN 
N DF = -39,51 kN 
 
h) N BC = 6,66 kN 
N BE = 16,67 kN 
N GH = -20 kN 
N AD = -8,33 kN 
N AF = -15 kN 
N DG = -10 kN 
N FG = -20 kN 
N HI = -20 kN 
N EH = -10 kN 
N AB = 6,66 kN 
N BD = 16,67 kN 
N CE = -8,33 kN 
N CI = -15 kN 
N DF = 25 kN 
N EI = 25 kN 
 
i) N DE = 5,34 kN 
N BE = -6,67 kN 
N AB = -8,34 kN 
N BD = -8,25 kN 
N CD = -3 kN 
 96
N AC = 0 
N AD = 10,43 kN 
 
j) N FG = 22,64 kN 
N EG = -27,3 kN 
N EF = 0 
N DF = 22,64 kN 
N CE = -27,3 kN 
N DE = -54,6 kN 
N BD = 22,66 kN 
N CD = 0 
N AC = -27,3 kN 
N BC = 0 
 
 
 
 97
LISTA DE EXERCÍCIOS 5D / GABARITOS 
 
1) a) Pórtico bi-apoiado 
 VA = 17,5 kN ↑ ; VB = 162,5 kN ↑; HB = 25,0 kN ← 
 b) Pórtico engastado e livre 
 VA = 70 kN ↑; HA = 30 kN →; MA = 115 kNm 
 c) Pórtico tri-articulado 
 VA = VB = 80 kN ↑; HA = 40 kN →; HB = 40 kN ← 
 d) Pórtico bi-apoiado com articulação e tirante (tração) 
 HB = 4,0 kN ←; VA = 15,375 kN ↑; VB = 16,625 kN ↑; 
 Tirante: N = 12,333 kN 
 e) Pórtico bi-apoiado 
 VA = 80 kN ↑; VB = 60 kN ↑; HA = 28 kN → 
 f) Pórtico engastado e livre 
 VA = 40 kN ↑; HA = 20 kN →; MA = 40 kNm 
 g) Pórtico bi-apoiado 
 VA = 120 kN ↑; VB = 40 kN ↑; HB = 20 kN → 
 h) Pórtico bi-apoiado 
 HA = 50 kN ←; VA = 15,625 kN ↓; VB = 15,625 kN ↑ 
 i) Pórtico bi-apoiado 
 HA = 0; VA = 125 kN ↑; VB = 85 kN ↑ 
 j) Pórtico bi-apoiado 
 VA = 103,4 kN ↑; VB = 56,6 kN ↑; HB = 60 kN ← 
 k) Pórtico bi-apoiado 
 HA = 78,3 kN ←; VA = 25 kN ↓; VB = 25 kN ↑ 
 l) Pórtico tri-articulado 
 VA = 72 kN ↓; VB = 72 kN ↑; HA = 120 kN ←; HB = 0 
 m) Pórtico tri-articulado 
 VA = VB = 100 kN ↑; HA = 12,5 kN →; HB =12,5 kN ← 
 n) Pórtico tri-articulado 
 VA=72,2 kN↑; VB = 87,8 kN ↑; HA = 122,2 kN ←; HB = 87,8 kN ← 
 
3) VA = 25 kN ↑; VB = 83 kN ↑; VC = 42 kN ↑; HB = 20 kN →; HC = 10 kN →; 
 MB = 80 kNm 
 
5) a) VA = 50 kN ↑; HA = 10 kN →; MA = 105 kNm 
b) VB = 100 kN ↑; MB = 10 kNm 
c)VA = VB = 50 kN ↑; HA = 17,5 kN →; HB = 57,5 kN ←; MB = 80 kNm 
d) VA = 360 kN ↑; VB = 120 kN ↑; HA = 960 kN →; HB = 960 kN ←; 
MA = 2880 kNm 
 
 98
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 6A 
 
1) a) isostática, estável 
 b) hipostática, instável 
 c) hipostática, instável 
 d) isostática, estável 
 e) 
 f) isostática, estável 
 g) hipostática, instável 
2) Valores dos esforços normais (em tf ): 
 N1=2,5√2; N2= -10√2; N3= -7,5√2; N4=10√2; N5= -20; N6=12,5√2; N7=17,5√2; 
 N8= -15; N9=17,5√2; N10=12,5√2; N11= -2,5√2; N12= -2,5√2. 
3) Grelha triapoiada 
 Reações de apoio: V1=1,92 tf; V3=5,76 tf; V6=1,55 tf 
 Valores dos esforços: 
 Barra 1: Seção 1: M=0; Q=1,92 tf; T=0 
 Seção 2: M=1,28 tfm; Q= -3,08 tf; T=0 
 Barra 2: Seção 2: M=0,77 tfm; Q= -3,08 tf; T= -0,03 tfm 
 Seção 3: M= -5,38 tfm; Q= -3,08 tf; T= -0,03 tfm 
 Barra 3: Seção 3: M= -5,38 tfm; Q= 2,68 tf; T= -0,03 tfm 
 Seção 4: M= -0,01 tfm; Q= 2,68 tf; T= -0,03 tfm 
 Barra 4: Seção 4: M= -0,03 tfm;T=0 
 Seção 5: Q=0,45 tf; T=0 
 Barra 5: Seção 5: Q= -1,55 tf; T=0 
 Seção 6: M=0; Q= -1,55 tf; T=0 
 Na barra 1: M(x)= -x3/15+1,92x; Q(x)= -x2/5+1,92 
 Fazendo Q(x)=0 → x=3,10 → MMAX=3,98 tfm 
 Coeficiente angular da tangente ao diagrama de cortante no nó 5: 
 -dQ/dx=q=1 
5) Treliça composta com cargas fora dos nós 
 Reações de apoio: V1=8,5 tf; H4=4,04 tf; N( barra 1 ): 4,04 tf 
 Valores dos esforços normais ( em tf ): 
 N2= -1,51 tf; N3= -8,08 tf; N4=0,76 tf; N5= -0,76 tf; N6= -4,79 tf 
 Esforços internos na barra 5: 
 Seção 2: M=0; Q=0,65 tf; N= -1,13 tf 
 Seção 4: M=0; Q= -0,65tf; N= -0,38 tf 
 99
 Sendo a estrutura e o carregamento simétricos, os esforços normais também 
serão simétricos (iguais). 
 Se dobrarmos os valores das cargas, os esforços ficam multiplicados por 2, 
uma vez que a estrutura é elástica linear (Princípio da Superposição dos Efeitos). 
6) Grelha triapoiada 
 Reações de apoio: V1=8,23 tf; V3=8,12 tf; V4=3,15 tf 
 Valores dos esforços: 
 Barra 1: Seção 1: M=0; Q=8,23 tf; T=0; 
 Seção A: M=24,7 tfm; QE=8,23 tf; QD=0,23 tf; T=0 
 Seção 2: M=25,4 tfm; Q=0,23 tf; T=0 
 Barra 2: Seção 2: M=20,4 tfm; Q= -4,12 tf; T=0 
 Seção 3: M=0; Q= -8,12 tf; T=0 
 Barra 3: Seção 2: M= -3 tfm; Q= -4,35 tf; T=4 tfm 
 Seção 4: M=0; Q=3,15 tf; T=0 
 Coeficiente angular da tangente ao DEC na seção C: -dQ/dx=q=4 
 A característica importante que o DMF apresenta na seção A é uma mudança 
brusca na tangente ao DMF devido à força concentrada. 
 
 
 
 100
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 7A 
 
1) a) LIQ2E - η=1 - 0 ≤ x ≤ 3 
 η=0 - 3 ≤ x ≤ 15 
 b) LIQ2D - 0 ≤ x ≤ 3 - η=3/9-x/9 
 3 ≤ x ≤ 12 - η=12/9-x/9 
 12 ≤ x ≤ 15 - η=12/9-x/9 
 c) LIM2 - 0 ≤ x ≤ 3 - η=x-3 
 3< x ≤ 15 - η=0 
 d) LIM3 - 0 ≤ x ≤ 3 - η=2/3(x-3) 
 3< x ≤ 6 - η=2/3(x-3) 
 6< x ≤ 12 - η=12/3-x/3 
 12< x ≤15 - η= -x/3+12/3 
 
2) a) LIR1 - x=0; η=1 b) LIR5 - x=0; η=0 c) LIQ2 - x=0; η=0 
 x=1,2; η=1 x=1,2; η=0 x=1,2; η=1 
 x=3,0; η=1 x=3; η=0 x=3; η=1 
 x=6,0 η=0 x=6,0; η=1 x=6,0 η=0 
 x=8,0 η= -2/3 x=8,0; η=5/3 x=8,0 η= -2/3 
 d) LIQ3 - x=0; η=0 e) LIM1 - x=0; η=0 f) LIM2 - x=0; η=0 
 x=1,2; η=0 x=3,0; η= -3 x=1,2; η=0 
 x=3,0; η=1 x=6,0; η=0 x=3,0; η= -1,8 
 x=6,0; η=0 x=8,0; η=2 x=6,0; η=0 
 x=8,0; η= -2/3 x=8,0; η=1,2 
 g) LIM4 -x=0; η=0 h) LIM5 -x=0; η=0 
 x=1,2; η=0 x=1,2; η=0 
 x=3,0; η=0 x=3; η=0 
 x=4,5; η=0,75 x=4,5; η=0 
 x=6,0; η=0 x=6,0; η=0 
 x=8,0; η= -1 x=8,0; η= -2 
3) LIM1 reativo - Barra 1-2: Seção 1: η=0 
 Seção 2: η=5 
 Barra 2-3: Seção 2: η=0 
 Seção 3: η=3 
 O diagrama denomina-se Linha de Influência do momento reativoem 1. 
 101
 
4) I) Para o primeiro trem-tipo: 
 1) a) LIQ2E → Q2 E- MAX − = -11,5KN; Q2 E MAX + =0 
 b) LIQ2D → Q2 D - MAX − = -3,58KN; Q2D MAX + =12,5KN 
 c) LIM2 → M2MAX −= -32,25KNm; M2MAX +=0 
 d) LIM3 → M3MAX − = -22,25KNm; M3MAX + =24,5KNm 
 2) a) LIR1 → R1MAX − = -7KN; R1MAX + =12,25KN 
 b) LIR5 → R5MAX − =0; R5MAX + =18,75KN 
 c) LIQ2 → Q2MAX − = -7KN; Q2MAX + =11,65KN 
 d) LIQ3 → Q3MAX − = -7KN; Q3MAX + =10,75KN 
 e) LIM1 → M1MAX − = -34,5KNm; M1MAX + =21KNm 
 f) LIM2 → M2MAX − = -20,16KNm; M2MAX + =12,6KNm 
 g) LIM4 → M4MAX − = -10,5KNm; M4MAX + =8,0625KNm 
 h) LIM5 → M5MAX − = -21KNm; M5MAX + =0. 
 II) Para o segundo trem-tipo: 
 1) a) LIQ2E → Q2E MAX − = -17 tf; Q2E MAX + =0; 
 b) LIQ2D → Q2D M AX − = -3,83 tf; Q2D MAX + =20,89 tf 
 c) LIM2 → M2MAX − = -38,5 tfm; M2MAX + =0 
 d) LIM3 →M3MAX − = -24,5 tfm; M3MAX + =37,7 tfm 
 2) a) LIR1 → R1MAX − = -7,33 tf; R1MAX + =21,83 tf 
 b) LIR5 → R5MAX − =0; R5MAX + =26,5 tf 
 c) LIQ2 → Q2MAX − = -7,33 tf; Q2MAX + =18,37 tf 
 d) LIQ3 → Q3MAX − = -7,33 tf; Q3MAX + =11,5 tf 
 e) LIM1 → M1MAX − = -43 tfm; M1MAX + =22 tfm 
 f) LIM2 → M2MAX − = -22,32 tfm; M2MAX + =13,2 tfm 
 g) LIM4 → M4MAX − = -11 tfm; M4MAX + =8,625 tfm 
 h) LIM5 → M5MAX − = -22 tfm; M5MAX + =0. 
 
 
5) 
 
 102
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 8A 
 
1) (I) 
 H3= 8kN 
 V1= 20kN 
 V2= 20kN 
 
 (II) 
 H1= 6kN 
 V5 = 8kN 
 V3 = 23kN 
 V1= 5kN 
 
 (III) 
 H1= 90kN 
 V1= 178,57kN 
 V4= 81,43kN 
 
 (IV) 
 H1= 4,5kN 
 V1= 52,82kN 
 H5= -67,5kN 
 V5= 67,18kN 
 
 (V) 
 H2= 1tf 
 V2= 14,8tf 
 V1= 12,2tf 
 N (barra 3) = -o,67tf 
 
 2) (a) 
 H1=0 
 V1= 1800kN 
 V2= 1800kN 
 103
 
 (b) 
 H1= 900kN 
 V1= 1800kN 
 H2= 900kN 
 V2= 1800kN