Experimento B1 Pêndulos

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Experiência B1 
Pêndulo Simples e Pêndulo Físico 
 
1. Objetivos: 
1. Determinar o valor da gravidade utilizando um pêndulo simples; 
2. Determinar o valor da gravidade e do momento de inércia de um pêndulo físico. 
 
2. Equipamentos 
Suporte para pêndulo, fio e esfera (pêndulo simples), barra metálica (pêndulo físico), 
cronômetro, trena. 
 
3. Método: 
1. Pêndulo Simples: É um sistema físico idealizado, consistindo de 
um corpo de massa pontual m suspenso por um fio longo, de 
comprimento L, inextensível e desprovido de massa conforme 
mostra a Figura. 1. Se o pêndulo for afastado da posição de 
equilíbrio de um ângulo ϴ e a seguir abandonado, ele irá oscilar, 
voltando periodicamente ao ângulo ϴ. O tempo gasto numa 
oscilação completa, ou seja, o tempo gasto para o corpo ir de 
uma posição qualquer e voltar à mesma posição é denominado 
período. 
 
O pêndulo deste experimento, evidentemente, não é ideal, pois o 
corpo não será pontual, o fio não terá massa desprezível e não 
será rigorosamente inextensível. Entretanto, se for utilizado um 
corpo cujas dimensões lineares sejam pequenas em comparação com o comprimento d o fio, um 
fio de massa muito menor que a do corpo e que, durante o movimento, seu comprimento não se 
altere, teremos um sistema físico que pode ser considerado como um pêndulo simples. E pode 
ser demostrado que, para pequenas amplitudes de oscilação o período de oscilação T de um 
pêndulo simples é dado pela expressão: 
𝑇 = 2𝜋√
𝐿
𝑔
 (1) 
 
Onde L é o comprimento do pêndulo e g a gravidade local, é importante demonstrar essa 
relação, observe que essa relação só é válida para amplitudes de oscilação pequenas ( ϴ≤5)°. 
Pode ser demostrado também que, para grandes amplitudes, o período de oscilação T de um pêndulo 
simples é dado por: 
𝑻 = 𝟐𝝅 [𝟏 −
𝟏
𝟒
𝒔𝒆𝒏𝟐 (
𝜽𝟎
𝟐
)] √
𝑳
𝒈
 (2) 
 
Onde ϴ0 é o ângulo de deslocamento inicial “constante”. Observe que esta relação é válida para 
ângulos maiores que 5°. A diferença entre esta expressão e a anterior é apenas o termo entre 
colchetes. 
 
Figura 1: Pêndulo simples 
 
2. Pêndulo Físico: Qualquer corpo rígido 
suspenso de forma que possa oscilar em um 
plano vertical em torno de um eixo que 
passe pelo c e n tr o d o corpo é 
denominado Pêndulo Físico ou Pêndulo 
Composto. Trata-se de uma generalização 
do pêndulo simples, visto no item 3.1. 
Realmente todos os pêndulos reais são 
pêndulos físicos. Por conveniência escolheu-
se um pêndulo em forma laminar (régua 
metálica “fina”) que pode oscilar em torno de 
um eixo que faz um ângulo reto com o plano 
do pêndulo. Com essa restrição nada de 
essencial é perdido na discussão do 
problema. Na Figura 2 representa-se um corpo de forma retangular (lâmina de comprimento b 
e largura a) que pode girar em torno de um eixo horizontal sem atrito que passa pelo ponto de 
sustentação P e é deslocado de um ângulo θ em relação à posição de equilíbrio, que 
corresponde à posição em que o centro de massa (CM) do corpo está, verticalmente abaixo de P. 
Sendo d a distância do eixo de rotação ao centro de massa, I o momento de inércia da lâmina em 
relação ao eixo de rotação e M a massa da lâmina e g a aceleração da gravidade. 
 
 Comparando o movimento de rotação com o de translação, podemos afirmar que no 
movimento de rotação, um corpo, sob a ação de um torque restaurador executa um movimento 
harmônico simples angular de período, 
𝑇 = 2𝜋√
𝐼
𝑘
 (3) 
Então, para pequenas amplitudes o pêndulo físico da Figura 2 executa um movimento 
harmônico simples angular com período: 
𝑇 = 2𝜋√
𝐼
𝑀𝑔𝑑
 (4) 
Portanto, o período do pêndulo físico fica determinado em termos das constantes Mgd e I. 
É importante demonstrar a dedução para a equação do período para um pêndulo físico. O 
momento de inércia I do pêndulo laminar em relação ao ponto de sustentação pode ser 
calculado utilizando o teorema dos eixos paralelos (também conhecido como Teorema de Huygens-
Steiner). 
𝐼 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑀𝑑
2 (5) 𝐼𝐶𝑀 = 
1
12
𝑀(𝐴2 + 𝐵2 ) (6) 
 
Onde ICM é o momento de inércia em relação ao centro de massa da lâmina, M é a massa do 
pêndulo, d é a distância do eixo de rotação ao centro de massa (CM) e “A” e “B” são a largura e o 
comprimento da lâmina respectivamente. 
Figura 2: Pêndulo Físico “laminar” 
4. Procedimentos Exp eri m en t a i s 
1. Pêndulo Simples 
Monte o pêndulo simples como ilustra a Figura 1; 
Ajuste o comprimento do pêndulo para 50 cm, coloque para oscilar com ângulo inicial e 
constante φ0 ≅ 20° e meça o tempo para 10 oscilações completas repetindo 3 vezes essa 
medida e preencha os dados na Tabela 1. 
Repita este procedimento para os outros comprimentos indicados na Tabela 1. Para cada valor 
do tempo determine: o período T e calcule as médias necessárias. 
 
 
2. Pêndulo Físico 
Meça a largura A, o comprimento B e a massa M da barra retangular. Anote os resultados na 
Tabela 2. 
Suspenda o pêndulo pelo primeiro orifício. Em seguida meça a distância d entre o orifício e 
o CM (centro de massa) da barra; 
Coloque para oscilar com ângulo inicial constante, próximo de 5°, meça o tempo necessário 
para 10 oscilações completas. Repita o procedimento 3 vezes, anote os dados na Tabela 2. 
Repita este procedimento para os outros orifícios. Para cada valor do tempo determine: o 
período T e calcule as médias necessárias. 
 
 
5. Cálculos e Questões 
A partir dos resultados preenchidos nas tabelas, aplicar o método da regressão linear em ambos 
os casos e determinar o valor da gravidade: 
1. Para o pêndulo simples: Observe que a equação 2 é uma equação quadrática, portanto, não 
é possível aplicar o método da regressão linear de forma direta, Esta equação deve ser 
linearizada e as variáveis podem sem rescritas como y=T2 e x=L. O coeficiente angular calculado 
a partir da regressão linear associada a equação linearizada é a inclinação da reta: 
 
𝒚 = [
𝟒𝝅𝟐
𝒈
(𝟏 −
𝟏
𝟒
𝒔𝒆𝒏𝟐 (
𝝋𝟎
𝟐
))
𝟐
]𝒙 
Igualando o termo entre colchetes ao coeficiente angular calculado na regressão linear é possível 
determinar o valor da gravidade g. 
 
2. Para o pêndulo físico: Substituir a equação 5 na equação 4 e linearizar o resultado as 
variáveis y e x podem ser reescritas como y=T2d e x=d2. Observe que a nova equação será: 
 
𝑦 =
4𝜋 2
𝑔
 𝑥 +
4𝜋 2𝐼𝑐.𝑚.
𝑀𝑔𝑑
 
 
O termo que multiplica x é o coeficiente angular e o termo isolado o coeficiente linear. A partir 
desses resultados é possível determinar o valor da gravidade e do momento de uma barra 
chata em relação ao centro de massa. 
 
3. Qual a relação entre os comprimentos L e distância d para que os pêndulos simples e físico 
tenham o mesmo período de oscilação? Demonstre essa relação. 
 
4. Observe os dados medidos para o período do pêndulo simples e responda o que acontece 
com o período de oscilação quando o comprimento do pêndulo e dividido ao meio? Os 
valores medidos condizem com o resultado esperado teoricamente? 
 
5. Observe os dados medidos para o período do pêndulo físico e explique por que estes 
valores são próximos para orifício diferentes? 
 
6. Bibliografia 
RESNICK, R.; HALLIDAY, D.; Walker, J. (1993). Fundamentos de Física, vol. 2. Capítulo 14. Rio de 
Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora, 
 
 
FOLHA DE DADOS 
 Tabela 1 ±µL=__________ Número de oscilações: __________ 
L(m) 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 
t1 (s) 
t2 (s) 
t3 (s) 
 
 
 Tabela 2 ±µd=__________ Número de oscilações:__________ 
 Furo1 Furo 2 Furo 3 Furo 4 Furo 5 
Distância d (m) 
t1 (s) 
t2 (s) 
t3 (s) 
 
 
 Dados da lâmina metálica 
Comprimento (m) Largura (m) Massa (kg) 
± ± ± 
 
Folha de dados para entregar ao Professor 
Experiência B1 
 
Professor: ID: Data: Grupo: 
 
Alunos presentes durante o experimento 
 
1. __________________________________________________________ 
2. __________________________________________________________ 
3. __________________________________________________________ 
4. __________________________________________________________ 
5. __________________________________________________________ 
6. __________________________________________________________ 
 
 
 Tabela 1 ±µL=__________ Número de oscilações: __________ 
L(m) 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 
t1 (s) 
t2 (s) 
t3 (s) 
 
 
 Tabela 2 ±µd=__________ Número de oscilações: __________ 
 Furo1 Furo 2 Furo 3 Furo 4 Furo 5 
Distância d (m) 
t1 (s) 
t2 (s) 
t3 (s) 
 
 Dados da lâmina metálica 
Comprimento (m) Largura (m) Massa (kg) 
± ± ±