Lógica nas Demonstrações Matemáticas Teoria 2017

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Introdução à Teoria Aritmética dos Números
Profª. Ms. Lílian Isabel F. Amorim
lilian.boc@gmail.com
Januária – Abril/2017
Lógica nas Demonstrações Matemáticas
"ESBOÇO" DO DESENVOLVIMENTO DA LÓGICA
A lógica formal surge com Aristóteles. Como indica o termo grego Organon, nome dado ao conjunto dos escritos lógicos de Aristóteles, a lógica é um instrumento do pensamento para pensarmos corretamente.
Segundo Aristóteles, a lógica estuda a razão como instrumento da ciência ou como um meio de adquirir e possuir a verdade.
PERÍODO ARISTOTÉLICO (± 390 a.C. a ± 1840 d.C.) 
 PERÍODO BOOLEANO :(± 1840 a ± 1910) 
Inicia-se com GEORGE BOOLE (1815-1864) e AUGUSTUS DE MORGAN (1806-1871). Publicaram os fundamentos da chamada Álgebra da lógica, respectivamente com MATHEMATICAL ANALYSIS OF LOGIC e FORMAL LOGIC.
GOTLOB FREGE (1848-1925) um grande passo no desenvolvimento da lógica com a obra BEGRIFFSSCHRIFT de 1879. As idéias de Frege só foram reconhecidas pelos lógicos mais ou menos a partir de 1905. É devido a Frege o desenvolvimento da lógica que se seguiu.
GIUSEPPE PEANO (1858-1932) e sua escola com Burali-Forti, Vacca, Pieri, Pádoa, Vailati, etc. Quase toda simbologia da matemática se deve a essa escola italiana. 
4
PERÍODO ATUAL: (1910- ........) 
DAVID HILBERT (1862-1943) e sua escola alemã com Von Neuman, Bernays, Ackerman e outros.
KURT GÖDEL (1906-1978) e ALFRED TARSKI (1902-1983) com suas importantes contribuições.
Com BERTRAND RUSSELL (1872-1970) e ALFRED NORTH WHITEHEAD (1861-1947) se inicia o período atual da lógica, com a obra PRINCIPIA MATHEMATICA
Agora sim: A Lógica
Segundo Aristóteles a Lógica é o que devemos estudar e aprender antes de iniciar uma investigação filosófica ou científica, pois somente ela pode indicar qual o tipo de proposição, de raciocínio, de demonstração, de prova, e de definição que uma determinada ciência deve usar. (Chauí, 1994)
A Lógica também estabelece os fundamentos necessários para as demonstrações pois, dada uma certa hipótese, a lógica permite verificar quais são as suas consequências; dada uma certa conclusão, a lógica permite verificar se ela é verdadeira ou falsa (Chauí, 1994).
6
Argumentos
O principal objetivo deste estudo será a investigação da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS. Os argumentos estão tradicionalmente divididos em DEDUTIVOS e INDUTIVOS. 
ARGUMENTO DEDUTIVO: é válido quando suas premissas, se verdadeiras, a conclusão é também verdadeira. 
Premissa : "Todo homem é mortal."
Premissa : "João é homem."
Conclusão : "João é mortal.“
Argumentos
ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas não basta para assegurar a verdade da conclusão.
Premissa : "É comum após a chuva ficar nublado."
Premissa : "Está chovendo."
Conclusão: "Ficará nublado."
Proposição
Chama-se PROPOSIÇÃO uma sentença declarativa afirmativa (expressão de uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa.
	
	· A lua é quadrada.
	· Matemática é uma ciência. 
	· Nove é diferente de cinco.
Não são proposições:
	· A raiz quadrada de dois é um número racional?
	· O dobro de um número mais 5 é igual a treze.
	· 3 . 7 + 4
Negação
p
~p
v
F
F
v
A partir de uma proposição p qualquer é sempre possível construir a negação de p que indicamos ~p.
A lua não é quadrada. : ~p
A proposição ~p tem sempre valor lógico oposto ao de p
Proposição composta - Conectivos
A partir de proposições dadas podemos construir novas proposições mediante o emprego de dois símbolos lógicos chamados conectivos: ^ (e) e o conectivo v (ou).
A lua é quadrada e a neve é branca : p ^ q (conjunção)
A lua é quadrada ou a neve é branca: p v q (disjunção)
Valor lógico dos conectivos
Conjunção
p
q
p^q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Disjunção
p
q
p v q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
A conjunção p ^ q é verdadeira se p e q são ambas verdadeiras
A disjunção p v q é verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira.
Condicionais
A partir de proposições dadas podemos construir novas proposições mediante o emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais: 
Se ... então ... ( →)
... Se, e somente se, ... (↔)
 Se a lua é quadrada então a neve é branca. : p → q ( p é o antecedente e q o conseqüente) 
 A lua é quadrada se e somente se a neve é branca. : p ↔ q
Valor lógico dos condicionais
Condicional: →
p
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Bicondicional: ↔
p
q
p↔q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
O condicional p → q é falso somente quando p é verdadeira e q é falsa.
O bicondicional ↔ é verdadeiro somente quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas.
Hipótese 		Tese
Relação de Implicação
Dadas as proposições p e q, dizemos que “p implica q” quando o condicional p → q é verdadeiro.
Todo teorema é uma implicação da forma:
Hipótese 		Tese
Relação de Equivalência
Dadas as proposições p e q, dizemos que “p é equivalente a q” quando o condicional p↔q é verdadeiro.
Todo teorema, cujo recíproco também é verdadeiro, é uma equivalência.
Negação de proposições
Negação de uma conjunção:
Negação de uma disjunção:
Negação de um condicional simples:
Técnicas de Demonstração
Se p então q ou p 	 q
Técnicas de Demonstração
Ex: Se x é ímpar então x2 também é ímpar
	 Se chove então há nuvens.
Proposição: Se p então q
Recíproca: Se q então p
Contrapositividade: Se ~ q então ~p (Negação da recíproca) 
Técnicas de Demonstração
Exemplo:
Proposição: 
Se x é ímpar então x2 é ímpar
Recíproca:
Se x2 é ímpar então x é ímpar
Contrapositividade:
Se x2 é par então x é par
Técnicas de Demonstração
Exemplo:
Proposição: Se os abacates estão maduros então eles estão escuros e macios.
Recíproca: Se os abacates estão escuros e macios então eles estão maduros.
Contrapositiva: Se os abacates não estão escuros ou não estão macios então eles não estão maduros.
Técnicas de Demonstração
e
Técnicas de Demonstração
Demonstração direta
Parte da hipótese e através de passos matemáticos corretos, demonstra-se a tese.
Exemplos:
Se o dobro de um número é igual ao próprio número esse número é zero.
Se x e y são inteiros pares então x+y é par.
Seja n Є Z. Se n é ímpar então n2 é ímpar.
Técnicas de Demonstração
Demonstração por contrapositividade
É verdadeira
É verdadeira
Técnicas de Demonstração
Exemplo:
4) Se n2 é par então n é par.
Demonstração por contradição
Se p então q
Assumir p e ~ q como verdadeira, essa combinação gera um fato matemático impossível (ou contraditório)
Logo a tese deve ser verdadeira
Técnicas de Demonstração
Exemplos:
5) Se o dobro de um número é igual ao próprio número esse número é zero.
6) 	 não é um número racional
Cada um com a sua lógica!!!
Agora é com vocês...
Vamos ao trabalho!
Escreva a recíproca e a contrapositividade da proposição abaixo:
Todas as pessoas com cabelos ruivos tem olhos verdes ou são altas
 
2. Decida se cada afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa:
a) Uma demonstração por absurdo de 		P → Q começa supondo Q e P.
b) Para provar a conjectura “ Se Minas Gerais é o estado então Belo Horizonte é a capital” é suficiente provar que “ Se Belo Horizonte é a capital então Minas Gerais é o estado.”
3 . Prove ou dê contra-exemplo para cada afirmativa abaixo.
a) O produto de quaisquer três inteiros consecutivos é par.
b) Para todo número n primo, n + 4 também é primo.
4 . Prove que a soma ou a diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional.
Bibliografia
Chauí, Marilena. Introdução à história da filosofia: dos pré-socráticos a Aristóteles. v. I. São Paulo: Brasiliense, 1994
IEZZI, G. , MURAKAMI, C., Fundamentos de Matemática Elementar, 1 – 8ªed., São Paulo: Atual, 2004
SOARES, F., DORNELAS, G.N., A lógica no cotidiano e a lógica na matemática, disponível em http://www.sbem.com.br
DOMINGUES, Higino; IEZZI, Gelson. Álgebra
moderna. São Paulo. 1982.
AVILA, Geraldo. Análise matemática para licenciatura. São Paulo: Edgard Blucher, 2001.