APOSTILA 2

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APOSTILA DE CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
Prof. Samuel Sales 
UNIDADE 2 – DERIVADAS PARCIAIS 
Definição: Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são funções fx e fy 
definidas por: 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
Representação: 
Seja uma função z = f(x,y), suas derivadas parciais podem ser representadas por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1. Interpretação geométrica: 
Nas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação da reta tangente à cruva no 
ponto dado. Nas funções de duas variáveis, a derivada parcial em relação a x, mede a inclinação 
da reta tangente à superfície z = f(x, y) no ponto dado (x0, y0) em uma seção paralela ao eixo x, 
com y constante. Da mesma forma, a derivada parcial em relação a y, mede a inclinação da reta 
tangente à superfície z = f(x, y) no ponto dado (x0, y0) em uma seção paralela ao eixo y, com x 
constante. 
 
2.2. Interpretação “prática” 
Considere a tabela abaixo que representa a sensação térmica em um dado ponto da Terra 
como uma função da velocidade do vento (km/h) e a temperatura real (ºC). 
 
Temperatura 
real (ºC) 
 
Velocidade do vento (km/h) 
7 14 22 29 36 
Sensação térmica (ºC) 
10 9 5 3 1 -1 
12 11 8 5 4 2 
14 13 10 8 6 5 
16 16 13 11 9 8 
18 18 15 13 12 11 
20 20 17 15 15 14 
 
Se considerarmos como variável y a temperatura e variável x a velocidade do tempo, 
temos uma função de duas variáveis. Assim sendo, calcular a derivada desta função em relação a 
y, num ponto específico (x,y), seria encontrar a taxa de variação da sensação térmica em função 
da temperatura, ou seja, o quanto varia a sensação térmica para cada mudança de 1ºC da 
temperatura real, estando a velocidade do vento constante, no entorno do ponto (x,y). 
 
2.3. Determinação das derivadas parciais para uma função de duas variáveis 
Para determinar as derivadas parciais de uma função z = f(x,y), basta seguir duas regras 
básicas. 
1. Para achar fx, considere y constante e derive a função em relação a x. 
2. Para achar fy, considere x constante e derive a função em relação a y. 
 
Exemplo 1: Encontre o valor da derivada da função no ponto (2,1). 
 
Exemplo 2: Encontre as derivadas parciais da função 
 
 
 . 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 2.1: 
 
2.4. Funções de mais de duas variáveis 
Todo o raciocínio desenvolvido para duas variáveis é análogo para três ou mais variáveis, 
com exceção da interpretação geométrica que não há neste caso. 
 
Exemplo 3: Determine fx, fy e fz para . 
 
EXERCÍCIOS 2.2: 
 
2.5. Derivadas de maior ordem 
Assim como no calculo de uma variável, uma vez calculada a derivada de uma função 
f(x,y) em relação a x, podemos derivá-la novamente em relação a x, ou a y, obtendo assim as 
derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y), denotadas por e . Analogamente 
para uma primeira derivada em y teremos as derivadas de segunda ordem e . 
Repetindo o procedimento descrito acima teremos as derivadas de ordens superiores 
(terceira, quarta, quinta...). 
NOTAÇÕES 
 
 
Exemplo 4: Calcule todas as derivadas de segunda ordem da função: 
 . 
 
Teorema de Clairout: SE uma função f(x,y) é contínua no ponto (a,b), então 
fxy(x,y) = fyx(x,y)