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INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS COMPLEXOS 
 
 
Maria do Carmo Vila 
Universidade Federal de Ouro Preto 
Disciplina – Matemática para o Ensino Básico IV 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 Há milênios, o homem iniciou as primeiras tentativas de quantificar objetos. No 
início, eram feitas associações com seixos ou pedras. Muito tempo depois aparecem as 
primeiras representações escritas ou marcas sobre as paredes das cavernas, argilas, 
pedras, pedaços de pau, cordas com nós, entre outros. Num dado momento da história, o 
homem sentiu necessidade de fazer agrupamentos para realizar contagens, uma vez que 
começou a trabalhar com quantidades maiores de objetos. Surgem os primeiros sistemas 
numéricos e, muito mais tarde, o atual sistema hindu-arábico, usando na grande maioria 
dos países. 
 O Sistema hindu-arábico usa dez símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e 
agrupamentos na base 10 para representar qualquer número de objetos. Estes símbolos 
servem para representar uma entidade abstrata chamada número. O número 2, por 
exemplo, é a propriedade comum a todos os conjuntos formados por dois elementos. Da 
mesma forma, o número 3 é a propriedade comum a todos os conjuntos formados por 
três elementos. Os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... formam um conjunto, que se presta muito 
bem a realizar contagens. Tal conjunto é denominado conjunto dos números naturais e 
é, comumente, representado por N: 
 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...., 25, 26, ...., 127, 128, ....1 354, ....} 
 
 Neste conjunto ilimitado, os números podem ser ordenados, somados e 
multiplicados; alguns pares desses números podem ser subtraídos e divididos; a 
multiplicação repetida leva ao conceito de potência de um número. Criado esse primeiro 
conjunto, um panorama de possibilidades numéricas e aritméticas se descortinou para o 
homem, com evidentes implicações em sua vida diária. 
 O conjunto dos números naturais surgiu simplesmente com o propósito da 
contagem. Mais tarde, sua utilização se esbarrou na resolução de equações do tipo 
x+7=3 e nas situações em que era preciso expressar prejuízos. De fato, o que significava 
dizer que x = 3 – 7? 
 Os matemáticos da época, no intuito de resolver tal situação, criaram o conjunto 
dos números inteiros, simbolizado pela letra Z. 
 
Z = {... , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... } 
 
 Neste conjunto ilimitado, operações comerciais representando lucros ou números 
prejuízos podem ser consideradas e equações do tipo x + 7 = 3 passam a ter solução: 
x=3-7 ⇒ x=- 4. 
 É importante ressaltar que grandes matemáticos não aceitavam a existência de 
números negativos. Uma grande polêmica se instalou antes que o conjunto Z fosse 
finalmente aceito. 
 Com a evolução dos cálculos, o conjunto dos números inteiros também não 
estava satisfazendo algumas operações como as equações do tipo x3=5, pois isso 
implicava considerar x = 
 
 
 e tal número não pertencia ao conjunto Z. Nessa época não 
se conhecia esse tipo de número. Para satisfazer tais necessidades, foi criado um novo 
conjunto numérico: o conjunto dos números racionais. Tal conjunto consiste na união 
do conjunto dos números naturais com os números inteiros, mais os numerais que 
podem ser escritos na forma de fração ou números decimais. Geralmente esse conjunto 
é representado por Q. 
 
Q = {...,-7, -6;...;-4,7;...;-2;...;-1;...;0, 
 
 
 ...;2,65;...;4;..., 
 
 
 , ...} 
 
 Contudo, e há sempre um contudo, verificou-se que alguns números decimais 
não podiam ser escritos na forma de fração; assim sendo, eles não pertenciam ao 
conjunto dos racionais. Tal é o caso, por exemplo, do número pi, representado por 
=3,14 14159 26535 89793 23846...., e do número de ouro fi, representado por  = 
1,6180399... . Tais números receberam foram denominados de números irracionais, 
formando o conjunto dos números irracionais, sendo este representado por I. 
 A união dos conjuntos dos números racionais e irracionais deu origem ao 
conjunto dos números reais. Portanto: 
 
R = Q I 
 
 Também nesse conjunto, os matemáticos esbarraram em uma situação oriunda 
da resolução de uma equação do 2
o
 grau. Para conhecê-la, vamos resolver a equação 
x²+2x+6 = 0. Aplicando o Teorema de Bháskara, tem-se que: 
 
 
 
 
 ⇒ 
 
 
 ⇒ 
 
 
 A solução mostra uma raiz quadrada de um número negativo. Ora, não é 
um número real, pois não existe número negativo que elevado ao quadrado tenha como 
resultado um número negativo. Logo, a equação proposta não apresenta solução no 
conjunto dos números reais. 
 A solução de equações desse tipo só foi possível com a ampliação dos números 
complexos. E como isso se deu? Considerando a possibilidade de se operar com raízes 
negativas. Para tanto, convencionou-se chamar de i a raiz , ou seja, i = . Daí: 
 
i = ⇒ i2 = 1 
 
 Os números complexos são geralmente representados pela letra C. Esses estudos 
permitiram aos matemáticos calcular raízes de números negativos. Por exemplo: 
 
 
 
 Como: = i e = 3, resulta que = 3i 
 
 Assim procedendo, os matemáticos puderam dizer que equações como a dada 
anteriormente (x² + 2x + 6 = 0) possuem solução, não no conjunto dos números reais, 
mas sim no novo conjunto que foi denominado de Conjunto dos Números Complexos. 
Portanto, as soluções dessa equação são: 
 
 
 
 
 i e 
 
 
 
 
Como 20 = 2
2
 x 5, as raízes x´ e x´´ podem ser escritas de forma mais simplificada: 
 
 i e i 
 
 Na raiz , o número -1 é a parte real e i é a parte imaginária. 
Chamando -1 = a e = b, teremos que: x i = a + bi . 
 
 Dizemos que a + bi é a representação algébrica de um número complexo, na 
qual a e b são números reais, a é parte real do número complexo e bi é a parte 
imaginária. 
 Podemos então dizer que um número complexo z é representado algebricamente 
por: z = a + bi. 
 
 
DEFINIÇÃO DE NÚMERO COMPLEXO 
 
 Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma z = a + b i, onde 
a e b são números reais e i é a unidade imaginária. Na tabela são apresentados exemplos 
de números complexos com suas respectivas partes real e imaginária. 
 
número complexo parte real parte imaginária 
3 + 4 i 3 4i 
-5 - 2i -5 -2i 
6i 0 6i 
10 10 0 
-7 i 0 -7i 
0 0 0 
 Como todo número real x pode ser representado como um número complexo da 
na forma z = a +bi, onde a = 0, então o conjunto dos números reais é um subconjunto 
dos números reais; isto é, R está contido no conjunto dos números complexos. 
R  C 
 Considerando todos os conjuntos numéricos mencionados anteriormente, 
obtemos o seguinte diagrama de inclusão: 
N Z Q R C
I
 
 O diagrama mostra que: 
N  Z  Q  R  C e I  R  C 
 
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO 
 Um número complexo z = a+bi, pode ser representado geometricamente em um 
plano cartesiano chamado Plano de Argand-Gauss. Ele possui dois eixos: real e 
imaginário. 
0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5
1i
2i
3i
4i
5i
-1i
-2i
-3i
-4i
-5i
eixo real
eixo imaginário
 
 Nesse Plano, o número complexo é representado por um ponto, cuja abscissa é a 
parte real do número complexo, e a ordenada é a parte imaginária. A interseção dos dois 
eixos é o ponto dado por (0,0) que representa o número complexo z = 0. 
 No Plano de Argand-Gauss estão representados os números complexos z, w, t, u 
e v. 
 
0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5
1i
2i
3i
4i
5i
-1i
-2i
-3i
-4i-5i
eixo real
eixo imaginário
z = 2 + 3i
w = - 4 + 4i
t = - 5 - 2i
v = 1 - 5i
u = 3 + 0i
 
 
DEFINIÇÕES IMPORTANTES 
 Igualdade de Números Complexos 
 
 Dados os números complexos u = a + bi e w = c + di, diz-se que u = w, se a=c 
e b=d. 
 
Exemplo 1: Para que os números complexos u = 5+xi e w = y-2i sejam iguais, 
deveremos ter que y = 5 e x = -2. 
 
Exemplo 2: Os números complexos v = 5 + 
 
 
 i e t = 5 + 
 
 
 i são iguais. Por quê? 
 
Exemplo 3: Por que os números complexos y = 3i e x = 3 + 0i não são iguais? 
 
 Oposto de um Número Complexo 
 O oposto do número complexo z = a+bi é o número complexo – z = – (a+bi); ou 
seja: 
– z = oposto (a+bi) = = – a – bi. 
Exemplo 1: O oposto de w = 5 – 3i é o número complexo – w = -5 + 3i. 
Exemplo 2: O número complexo z1 = – 8 – 
 
 
 i é o oposto de z2 = 
 
 
i + 8. Justifique. 
Exemplo 3: O complexo z = 0 – 4i não é o oposto de v = 4 + 0i. Por quê? 
 Conjugado de um Número Complexo 
 O número complexo conjugado de z = a + bi é o número complexo denotado 
por = a – bi, isto é: 
 = conjugado (a + bi) = a – b i 
Exemplo 1: O conjugado de z = 3 – 2 é o número complexo = 3 + 2i. 
Exemplo 2: Por que t = – 5i + 7 não é o conjugado de v = – 7 + 5i? 
Exemplo 3: Sabe-se que z1 = a + bi é o conjugado de z2 = 
 
 
 + 
 
 
 i. Quais são os valores 
de a e b? 
 Módulo de um Número Complexo 
 Seja o número complexo z = a+ bi representado no plano de Argand-Gauss: 
 
0
eixo real
eixo imaginário
Z = a+bi
a
b
r
f
 
 
 No diagrama considere o triângulo retângulo cuja medida da base (ou cateto 
horizontal) é a. O comprimento desse cateto é igual à parte real a do número complexo z 
e o cateto vertical corresponde ao b da parte imaginária desse número. 
 A distância r da origem da origem 0 ao número complexo z é igual ao 
comprimento da hipotenusa do triângulo. Pelo teorema de Pitágoras, r
2
=a
2
+b
2
. 
 Desse modo, se z = a+bi é um número complexo, então r
2
=a
2
+b
2
. A medida da 
hipotenusa será, por definição, o módulo do número complexo z, denotado por |z|, isto 
é: 
I z I = 
 
Exemplo 1: Calcular o módulo do número complexo z = 3 +4i. 
I z I = = = = 5 
Portanto, I z I = 5. 
 
Exemplo 2: Calcular o módulo do número complexo w = – 4 – 5i 
I w I = = = 
Portanto, I z I = . 
 
 
ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO E MULTIPLAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS 
 
 
 Adição e Multiplicação 
 
 Com os números complexos podem ser efetuadas as operações de adição e 
multiplicação. 
 Dados os números complexos z = a + bi e w = c + di, definem-se as operações 
de adição e multiplicação desses dois números do seguinte modo: 
z + w = (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i 
 z  w = (a + bi).(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i 
 A multiplicação também pode ser realizada de forma semelhante à multiplicação 
de expressões polinomiais através de um algoritmo, conforme mostrado no quadro. 
 
 
a + bi 
c + d i 
_________________ 
ac + bci 
 adi + bdi² 
______________________ 
ac + (bc+ad)i + bdi² 
 
 
 Ao final, como i² = –1, basta substituir i² por –1 na última linha do algoritmo 
para obter o ao produto, ou seja, (a+bi)  (c+di) = (ac – bd) + (ad+bc)i, conforme 
indicado na definição. 
 
 A multiplicação entre dois números complexos também pode ser feita usando a 
propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, como nas expressões 
polinomiais. 
 (a+bi)  (c+di) = a  (c+di) + bi  (c+di) 
 = ac + adi + bci + bdi
2
 
 = ac + adi + bci - bd (pois, i
2
 = –1) 
 = (ac – bd) + (ad + bc)i 
 
Portanto, dessa forma, também obtemos que: (a+bi)  (c+di) = (ac – bd) + (ad + bc)i. 
 
Exemplo 1: Dado dois números complexos z = 3 + i e w =4 – i, calcular o seu produto. 
 
(3 + i)  (4 - i) = 3 .(4 – i ) + i(4 – 2i) 
= 12 – 3i + 4i – 2i2 
= 12 – 3i + 4i + 2 
= 14 + i 
Logo, z  w = 14 + i. 
Exemplo 2: Calcular a soma e o produto dos números complexos dados por r = -1 + 3i 
e s = 2 – 5i. 
a) r + s = (-1 + 3i) + (2 – 5i) 
 = (-1 + 2) + (3i – 5i) 
 = 1 – 2i 
Logo, r + s = 1 – 2i. 
 
b) r  s = (–1 + 3i) + (2 – 5i) 
 = -1  (2 – 5i) + 3i  (2 – 5i) 
 = – 2 + 5i + 6i - 15 i2 
 = – 2 + 5i + 6i + 15 
 = 13 + 11i 
Logo, r + s = 13 + 11i 
 
Exemplo 3: Dado dois números complexos z1 = – 3 – 5i e z2 = 3 – i, calcule a sua soma. 
z1 + z2 = (–3 – 5i) + (3 – i) 
 = (– 3 + 3) + (–5i – i) 
 = 0 – 6i 
Portanto, z1 + z2 = 0 – 6i = 6i 
 
Exemplo 4. Considere z1 = – 3 – 5i e z2 = 3 – i, calcule z1 + z2 + z1z2. 
 
a) Já calculamos z1 + z2, obtendo z1 + z2 = 0 – 6i. 
 
b) Agora, vamos calcular z1  z2. 
z1  z2 = (– 3 – 5i) + (3 – i) 
 = –3  (3 – i) – 5i  (3 – i) 
 = – 9 + 3i – 15i + 5 i2 
 = – 9 + 3i – 15i – 5 
 = – 14 – 12i 
Logo, z1 z2 = – 14 – 12i 
 
c) Finalmente, vamos calcular z1 + z2 + z1  z2. 
z1 + z2 + z1z2 = (0 – 6i) + (– 14 – 12i) = 0 – 6i – 14 – 12i = – 14 – 18i 
 
Exemplo 5: Se u = 2+3i e v = 4-6i, mostre que u  w = – 4 + 0i. 
 
 Subtração 
 A diferença entre os números complexos z = a + bi e w = c + di é o número 
complexo obtido pela soma de z com o oposto de w, isto é: z – w = z + (–w). 
Exemplo 1: Calcular a diferença z–w entre os complexos z = – 2 + 3i e w = 7 – 2i. 
z – w = (–2 + 3i) + (–7 + 2i) 
 = –2 + 3i –7 + 2i 
 = –9 + 5i 
Portanto, z – w = –9 + 5i. 
 
Exemplo 2: Dado dois números complexos r = 4 + 5i e s = –1 + 3i, calcule as 
diferenças r–s e s–r. 
a) r – s = (4 + 5i) – (–1 + 3i) 
 = 4 + 5i + 1 – 3i 
 = 5 + 2i 
Portanto, r – s = 5 + 2i 
 
a) s – r = (–1 + 3i) – (4 + 5i) 
 = –1 + 3i –4 – 5i 
 = –5 – 2i 
Portanto, s – r = –5 – 2i 
 
Daí resulta que r – s ≠ s – r. 
 
INVERSO DE UM NÚMERO COMPLEXO 
 Dado o número complexo z = a + bi, não nulo (isto é, a ou b deve ser diferente 
de zero), o inverso de z é definido como sendo o número z
-1 
= r + si, tal que: 
z  z 
-1
 = 1 
Portanto, o produto de z pelo seu inverso z
-1
 deve ser igual a 1, isto é: 
(a + bi)  (r + si) = (ar - bs) + (as + br)i = 1 = 1+0i 
Para que a igualdade (ar – bs) + (as + br)i = 1+0i, é necessário que: 
a r – b s = 1 
as + br = 0 
 
o que dá origem a um sistema com duas equações e duas incógnitas: 
 
Resolvendo este sistema, tem-se que: 
r = 
 
 
 e r = – 
 
 
 
Portanto, o inverso do número complexo z = a+bi é igual a: 
 
z
-1
 = 
 
 
 
 
 
i 
 
O inverso de um número complexo também pode ser representado por 
 
 
 . Logo, z
-1
 = 
 
 
 
 
Exemplo 1: Calcular o inverso do número complexo z = 2 – 3i. 
 
 Neste número, a = 2 e b = – 3. 
 Logo, z
-1
 = 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
i 
 = 
 
 
 
 
 
 i 
 = 
 
 
 
 
 
 i 
 
 = 
 
 
 
 
 
 i 
 Portanto, z
-1
 = 
 
 
 
 
 
 i 
 
Exemplo 2: Calcular o inverso do número complexo z = –1 + 2i. 
 
 Neste número, a = –1 e b = 2. 
 Logo, z
-1
 = 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
i 
 = 
 
 
 
 
 
 i 
 = 
 
 
 
 
 
 i 
 
 = – 
 
 
 
 
 
 i 
 Portanto, z
-1
 = – 
 
 
 
 
 
 i 
 
 
DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS 
 
 No caso dos números reais, o inverso de 8 é 
 
 
 ou 8
-1
, e o inverso de 15 é 
 
 
 
ou 15
-1 
. O produto de um número real, diferentede zero, pelo seu inverso é igual a 1. 
De fato: 
8  
 
 
 = 
 
 
 = 1 e 15  
 
 
 = 
 
 
 = 1 
 
 No conjunto dos números reais R, sabe-se que a divisão de um número a por b 
(diferente de zero) igual ao produto de a pelo inverso de b. Por exemplo, 7 ÷ 2 é igual 
a 7  
 
 
 . Isto é: 
7 ÷ 2 = 7  
 
 
 = 7  2
-1
 
 De forma análoga, pode-se considerar a divisão no conjunto dos números 
complexos. No item anterior, já foi discutido como calcular o inverso de um número 
complexo. 
 
 A divisão entre os números complexos z = a+bi e w = c+di (w não nulo) é 
definida como sendo o número complexo obtido pelo produto de z por w
-1
, isto é: 
 
 
 
 = z  w
-1
 ou 
 
 
 = z  
 
 
 
Exemplo 1: Sejam z = 1+i e w = 2–i, calcular a divisão 
 
 
 . 
a) Inicialmente, deve-se calcular o inverso de w, lembrando que w
-1
 = 
 
 
 
 
 
i. 
 
 
 
 = = 
 
 
 
 
 
i = 
 
 
 
 
 
 ) 
 
b) Em seguida, calcular o produto de z pelo inverso de w. 
 
 
 
 = (1+i)  
 
 
 
 
 
 ) 
 = 1 
 
 
 
 
 
 ) + i 
 
 
 
 
 
 ) 
 = 
 
 
 
 
 
i + 
 
 
i + 
 
 
 i2 (Lembrando que i2 = -1) 
 
 = 
 
 
 
 
 
 i 
 Portanto, 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 i 
 
 Esse procedimento para calcular a divisão de dois números complexos é um 
pouco trabalhoso. Mas, existe outro processo, um pouco mais simples, por meio do qual 
também é possível calcular a divisão. Ele consiste em multiplicar o numerador e 
denominador pelo conjugado do denominador, isto é: 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
Exemplo 2: Vamos considerar os mesmos números complexos do exemplo 1 e mostrar 
que, com este procedimento, o resultado obtido é igual ao anterior. Então, sejam z = 1+i 
e w = 2-i, calcular a divisão 
 
 
 . 
 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 (lembrete: o conjugado de a+b é a-b) 
 
 = 
 
 
 (lembrete: i2 = -1) 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 i 
 Portanto, chegamos ao mesmo resultado anterior. 
 
Exemplo 3: Usando o procedimento do conjugado, calcular o quociente de 3+2i por 
4+2i. 
 
 
 = 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
i 
 
Portanto, 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Mostre que 5+3i dividido por 2 – 7i é igual a 
 
 
 + 
 
 
 i . 
Exemplo 5: Mostre que (2+3i) ÷ (5+12i) = 
 
 
 
 
 
 i . 
Exemplo 6: Considere r =3+2i e s = 1 + i. Mostre que r ÷ s = 
 
 
 
 
 
 i. 
 
POTÊNCIAS DE i 
 
 Nas potências de i notam-se regularidades de 4 em 4 no expoente. 
 i
0
 = 1 i
4
 = 1 i
8
 = 1 
 i
1
 = i i
5
 = i i
9
 = i 
 i
2
 = –1 i6 = –1 i10 = –1 
 i
3
 = –i i7 = –i i11 = –i 
 
 Assim sendo, para encontrar o resultado de qualquer potência, basta dividir o 
expoente por 4 e resolver a potência utilizando como expoente o resto da divisão. 
 
Exemplo 1: Calcular a potência i
358
 . 
 
358 4
892
 
i
358
 = i
2
 = –1 
Portanto, i
358
 = –1. 
Exemplo 2: Calcular a potência i
1035
 . 
 
 A divisão de 1035 por 4 é igual a 258, resto 3. 
 Portanto, i
1035
 = i
3
 = –i. 
 
Exemplo 3: Mostre que i
4096
 = 1. 
 
Exemplo 4: Calcular i
47 
. 
 
 A divisão de 47 por 4 é igual a 11, resto 3. 
 Portanto, i
47 
 = i
3
 = – i.