AULA 8 SINAIS Transformada de Fourier

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SINAIS E SISTEMAS
E NG E NHA R IA E L É T R ICA
PROGRAMA DA DISCIPLINA
• INTRODUÇÃO A SINAIS E SISTEMAS
• REPRESENTAÇÃO DE SINAIS DO DOMÍNIO DO TEMPO E DA FREQUÊNCIA
• ANÁLISE DE SISTEMA NO TEMPO CONTÍNUO 
• TRANSFORMADA Z E FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Representação com Integral de Fourier
𝑥 𝑡 é um sinal não periódico: pode ser representado por uma soma de exponenciais
infinitas
𝑥𝑇0 𝑡 é um sinal periódico a partir do sinal 𝑥(𝑡), assim 𝜔0 =
2𝜋
𝑇0
lim
𝑇0→∞
𝑥𝑇0 𝑡 = 𝑥(𝑡) 𝑥𝑇0 = σ𝑛=−∞
∞ 𝐷𝑛 𝑒
𝑗𝑛𝜔𝑡
𝐷𝑛 =
1
𝑇0
න
−∞
∞
𝑥(𝑡)𝑒−𝑖𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡
𝑋(𝜔) = න
−∞
∞
𝑥 𝑡 𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡
𝐷𝑛 =
1
𝑇0
𝑋(𝑛𝜔0)
𝑥 𝑡 =
1
2𝜋
׬−∞
∞
𝑋(𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 (Integral de Fourier)
Representação com Integral de Fourier
Transformada de Fourier
𝑋 𝜔 = ℱ[𝑥 𝑡 ] : Transformada de Fourier Direta 
𝑥 𝑡 = ℱ−1[𝑋(𝜔): Transformada de Fourier Inversa
𝑥(𝑡) ⇔ 𝑋(𝜔)
A transformada de Fourier é a especificação no domínio da frequência de 𝑥 𝑡 .
𝑋 𝜔 = 𝑋(𝜔) 𝑒𝑗∠𝑋(𝜔)
𝑋(𝜔) : é a amplitude
∠𝑋(𝜔): é o ângulo ou fase
𝑋 −𝜔 = න
−∞
∞
𝑥(𝑡)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
𝑥∗(𝑡) ⇔ 𝑋∗(−𝜔) Propriedade do conjugado 𝑋 𝜔 = 𝑋∗(𝜔)
𝑋(−𝜔) = 𝑋(𝜔)
∠𝑋 −𝜔 = −∠𝑋(𝜔)
Para 𝑥(𝑡) real, o espectro de amplitude |𝑋 𝜔 | é uma função par e o espectro de fase ∠𝑋(𝜔) é uma função ímpar. 
Transformada de Fourier
Determinar a transformada de Fourier de 𝑒−𝑎𝑡𝜇(𝑡).
𝑋 𝜔 = න
−∞
∞
𝑒−𝑎𝑡𝜇(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 = න
0
∞
𝑒−(𝑎+𝑗𝜔)𝑡𝑑𝑡 =
−1
𝑎 + 𝑗𝜔
𝑒−(𝑎+𝑗𝜔)𝑡|0
∞
𝑋 𝜔 =
1
𝑎+𝑗𝜔
para 𝑎 > 0
Na forma polar
𝑋(𝜔) =
1
𝑎2+𝜔2
e ∠𝑋 𝜔 = −𝑡𝑎𝑛−1
𝜔
𝑎
Linearidade da Transformada de Fourier
A transformada de Fourier é linear:
𝑥1 𝑡 ⇔ 𝑋1 𝜔 𝑒 𝑥2(𝑡) ⟺ 𝑋2(𝜔)
Então
𝑎1𝑥1 𝑡 + 𝑎2𝑥2 𝑡 ⇔ 𝑎1𝑋1 𝜔 + 𝑎2𝑋2(𝜔)
Transformada de Funções
Função Porta Unitária
𝑟𝑒𝑡 𝑥 =
0 𝑥 >
1
2
1
2
𝑥 =
1
2
1 𝑥 <
1
2
Transformada de Funções
Função Triângulo Unitário
∆ 𝑥 =
0 𝑥 ≥
1
2
1 − 2 𝑥 𝑥 <
1
2
Transformada de Funções
Função Triângulo Unitário
∆ 𝑥 =
0 𝑥 ≥
1
2
1 − 2 𝑥 𝑥 <
1
2
Transformada de Funções
Função Interpolar sinc(x) é a função seno sobre argumento. Importante para o 
processamento de sinais , também chamada de filtragem ou interpolação.
𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
a) Função par de x.
b) Sinc(x)=0 quando sen x=0, excet0 para x=0, quando aparentemente ela é 
indeterminada. 
c) Usando a regra de L’Hopital, sinc(0)=1.
d) Sinc(x) é o produto de um sinal oscilatório sen x (com período 2π) e função 
monotonicamente decrescente 1/x.
Transformada de Funções
Função Interpolar sinc(x)
𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
Transformada de Funções
Exemplo: Obter a transformada de Fourier para 𝑥 𝑡 = 𝑟𝑒𝑡( Τ𝑡 𝜏)
𝑋 𝜔 = න
−∞
∞
𝑟𝑒𝑡 ൗ𝑡 𝜏 𝑒
−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
𝑟𝑒𝑡 Τ𝑡 𝜏 = 1 para 𝜏 <
𝜏
2
; 𝑟𝑒𝑡 Τ𝑡 𝜏 = 0 para 𝜏 >
𝜏
2
𝑋 𝜔 = න
−
𝜏
2
𝜏
2
𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 = −
1
𝑗𝜔
𝑒−𝑗𝜔
𝜏
2 − 𝑒𝑗𝜔
𝜏
2 =
𝑒𝑗𝜔
𝜏
2 − 𝑒−𝑗𝜔
𝜏
2
𝑗𝜔
=
2
2
×
𝑒𝑗𝜔
𝜏
2 − 𝑒−𝑗𝜔
𝜏
2
𝑗𝜔
𝑋 𝜔 =
𝜏
𝜏
×
2𝑠𝑒𝑛( ൗ𝜔𝜏 2)
𝜔
𝑋 𝜔 = 𝜏
𝑠𝑒𝑛
𝜔𝜏
2
𝜔𝜏
2
= 𝜏𝑠𝑖𝑛𝑐
𝜔𝜏
2
𝑟𝑒𝑡(𝑥) ⟺ 𝜏𝑠𝑖𝑛𝑐
𝜔𝜏
2
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑒𝑗𝜃 − 𝑒−𝑗𝜃
2𝑗
Divisão de Frações=
Τ𝑎 𝑏
Τ𝑐 𝑑
=
𝑎
𝑏
×
𝑑
𝑐
𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
Transformada de Funções
Pulso de Porta 𝑥(𝑡) Espectro de Fourier 𝑋(𝜔)
Espectro de Amplitude 𝑋(𝜔) Espectro de Fase ∠𝑋(𝜔)
Transformada de Funções
Exemplo: Transformada do Impulso unitário 𝛿(𝑡).
ℱ 𝛿 𝑡 = න
−∞
∞
𝛿(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 = 1
𝛿(𝑡) ⇔ 1
Transformada de Funções
Exemplo: Transformada Inversa de 𝛿(𝜔).
ℱ−1 𝛿 𝜔 =
1
2𝜋
න
−∞
∞
𝛿(𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 =
1
2𝜋
1
2𝜋
⇔ 𝛿(𝜔)
1 ⇔ 2𝜋𝛿(𝜔)
O espectro de um sinal 𝑥 𝑡 = 1 é um impulso 2π𝛿(𝜔)
Transformada de Funções
Exemplo: Transformada Inversa de 𝛿(𝜔).
ℱ−1 𝛿 𝜔 =
1
2𝜋
න
−∞
∞
𝛿(𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 =
1
2𝜋
1
2𝜋
⇔ 𝛿(𝜔)
1 ⇔ 2𝜋𝛿(𝜔)
O espectro de um sinal 𝑥 𝑡 = 1 é um impulso 2π𝛿(𝜔)
Transformada de Funções
Exemplo: Transformada Inversa de 𝛿(𝜔 − 𝜔0).
ℱ−1 𝛿 𝜔 − 𝜔0 =
1
2𝜋
න
−∞
∞
𝛿(𝜔 − 𝜔0)𝑒
𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 =
1
2𝜋
𝑒𝑗𝜔0𝑡
1
2𝜋
𝑒𝑗𝜔0𝑡 ⇔ 𝛿(𝜔 − 𝜔0)
𝑒𝑗𝜔0𝑡 ⇔ 2𝜋𝛿(𝜔 − 𝜔0)
O espectro de um sinal 𝑥 𝑡 = 1 é um impulso 2π𝛿(𝜔)
Transformada de Funções
Exemplo: Transformada Inversa de cos𝜔0𝑡.
cos𝜔0𝑡 =
1
2
(𝑒𝑗𝜔0𝑡 + 𝑒−𝑗𝜔0𝑡)
cos𝜔0𝑡 =
1
2
(𝑒𝑗𝜔0𝑡 + 𝑒−𝑗𝜔0𝑡) ⇔
2𝜋
2
𝛿 𝜔 + 𝜔0 +
2𝜋
2
𝛿 𝜔 − 𝜔0
𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑡 ⇔ 𝜋[𝛿 𝜔 + 𝜔0 + 𝛿 𝜔 − 𝜔0 ]
O espectro de Fourier é constituído por dois impulsos, sendo duas componentes de 
frequência 𝜔0 e −𝜔0. 
𝑒𝑗𝜔0𝑡 ⇔ 2𝜋𝛿(𝜔 − 𝜔0)
Transformada de Funções
Exemplo: Calcular a Transformada de Fourier para um trem de pulso unitário 𝛿𝑇0(𝑡). 
Coeficiente 𝐷𝑛 =
1
𝑇0
𝑋 𝜔 =
2𝜋
𝑇0
෍
𝑛=−∞
∞
𝛿 𝜔 − 𝑛𝜔0 ∴ 𝜔0 =
2𝜋
𝑇0
𝑋 𝜔 = 𝜔0𝛿𝜔0(𝜔)
Exemplo: Obter a Transformada de Fourier para o degrau unitário 𝜇(𝑡), neste caso o 
resultado da integral para o limite superior resultará em indeterminação porém o 
resultado é o mesmo para exponencial 𝑒−𝑎𝑡μ(𝑡). 
𝜇 𝑡 = lim
𝑎→0
𝑒−𝑎𝑡𝜇(𝑡)
𝑈 𝜔 = න
−∞
∞
𝜇(𝑡)𝑒−𝑎𝑡𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 = න
0
∞
𝑒−(𝑎+𝑗𝜔)𝑡𝑑𝑡 = −
1
(𝑎 + 𝑗𝜔)
𝑒−(𝑎+𝑗𝜔)𝑡|0
∞
𝑈 𝜔 = lim
𝑎→0
ℱ{𝑒−𝑎𝑡𝜇 𝑡 } = lim
𝑎→0
1
(𝑎 + 𝑗𝜔)
𝑈 𝜔 = lim
𝑎→0
𝑎
𝑎2 +𝜔2
− 𝑗
𝜔
𝑎2 +𝜔2
= lim
𝑎→0
𝑎
𝑎2 +𝜔2
+ lim
𝑎→0
−𝑗
𝜔
𝑎2 + 𝜔2
𝑈 𝜔 = lim
𝑎→0
𝑎
𝑎2 +𝜔2
+
−𝑗𝜔
𝜔2
×
−𝑗
−𝑗
𝑈 𝜔 = lim
𝑎→0
𝑎
𝑎2 + 𝜔2
+
1
𝑗𝜔
Transformada de Funções
Exemplo: Obter a Transformada de Fourier para o degrau unitário exponencial 
𝑒−𝑎𝑡μ(𝑡). 
׬−∞
∞ 𝑎
𝑎2+𝜔2
𝑑𝜔 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝜔
𝑎
|−∞
∞ = 𝜋
Para 𝑎 → 0 a função é zero para 𝜔 ≠ 0 a área vai estar abaixo da figura em um único 
ponto 𝜔 = 0, ou seja um impulso. 
𝑈 𝜔 = 𝜋𝛿 𝜔 +
1
𝑗𝜔
Transformada de Funções
Dualidade Tempo-Frequência:
Propriedade da Transformada de Fourier
න
−∞
∞
𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
1
2𝜋
න
−∞
∞
𝑋(𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔
𝑋(𝜔)𝑥(𝑡)
Propriedade de Escalamento:
𝑥(𝑡) ⟺ 𝑋(𝜔)
𝑥(𝑎𝑡) ⟺
1
𝑎
𝑋(
𝜔
𝑎
)
A compressão no tempo de um sinal resulta na expansão do seu espectro de frequência e a 
expansão no tempo resulta na compressão do seu espectro.
Dualidade:
𝑥(𝑡) ⟺ 𝑋(𝜔)
𝑋(𝑡) ⟺ 2𝜋𝑥(−𝜔)
“sempre que se tivermos um resultado, pode-se ter certeza que haverá sempre um 
dual”. 
Propriedade da Transformada de Fourier
Dualidade Tempo-Frequência:
𝑥 𝑡 − 𝑡0 ⟺ 𝑋(𝜔)𝑒
−𝑗𝜔0𝑡[deslocamento no tempo]
𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝜔0𝑡 ⟺ 𝑋(𝜔 − 𝜔0) [deslocamento na frequência]
Exemplo:
ℱ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝜔0𝑡 = න
−∞
∞
𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝜔0𝑡𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 = න
−∞
∞
𝑥(𝑡)𝑒−𝑗(𝜔−𝜔0)𝑡𝑑𝑡 = 𝑋(𝜔 − 𝜔0)
Multiplicação de um sinal por 𝑒−𝑗𝜔0𝑡 desloca o sinal de 𝜔 para 𝜔0 (Dualidade)
𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝜔0𝑡 ⟺ 𝑋(𝜔 − 𝜔0)
Para fins práticos 𝑒−𝑗𝜔0𝑡 não é função real então multiplica-se o sinal 𝑥 𝑡 por uma senóide.
𝑥 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑡 =
1
2
𝑥 𝑡 𝑒−𝑗𝜔0𝑡 + 𝑥 𝑡 𝑒𝑗𝜔0𝑡
𝑥 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜔0 ⟺
1
2
𝑋 𝜔 − 𝜔0 + 𝑋 𝜔 +𝜔0
Propriedade da Transformada de Fourier
A multiplicação de uma senóide 𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑡 por 𝑥(𝑡) resulta em uma senóide modulada em 
amplitude, ou seja modulação em amplitude. 
A senóide 𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑡 é chamada de portadora.
O sinal 𝑥(𝑡) é o sinal modulante. 
O sinal 𝑥(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑡 é o sinal modulado.
Propriedadeda Transformada de Fourier
Propriedade da Transformada de Fourier
Obrigado, 
FIM