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Tópicos de 
Ciências Básicas
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. Cláudia Barros dos Santos Demori
Revisão Textual:
Profa. Ms. Fátima Furlan
Vetores
• Vetores
• Soma e Subtração de Vetores
• Multiplicação de um vetor por um número real 
• Produto Escalar
 · Diferenciar grandezas escalares e vetoriais;
 · Realizar operações com vetores;
 · Reconhecer as vantagens em utilizar grandezas no modo vetorial.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Nesta Unidade, vamos estudar os vetores. Os vetores são importantes 
componentes matemáticos que descrevem grandezas físicas de forma precisa 
com sua orientação no espaço. É muito importante seguir as orientações de 
estudo contidas ao longo da Unidade. Isso inclui visualizar e ler o material 
complementar e interagir e tirar as dúvidas com os colegas e tutores.
 Bom estudo!
ORIENTAÇÕES
Vetores
UNIDADE Vetores
Contextualização
Você como estudante de Ciências Básicas já deve ter apreciado que ao redor 
do globo a arquitetura e engenharia de diversas pontes são tão exuberantes que 
chamam a atenção do turista ou do morador do local toda para si. É o caso da 
Golden Gate Bridge, em São Francisco – Califórnia ou da Ponte Du Gard, na 
França ou ainda da Ponte Rio-Niterói no Rio de Janeiro. Note que ao projetar 
uma estrutura de ponte, é necessário levar em conta que a estrutura tem um alto 
peso e deve suportar um alto peso, além das forças externas, relativas às chuvas, 
marés e ventos. Sendo assim, o projeto deve considerar que a somatória de todas 
as forças que agem no local deve ser nula, afinal, não queremos pontes caindo por 
aí. Sendo assim, vamos iniciar o nosso estudo, analisando o que é um vetor e como 
se trabalha com ele. 
Fonte: istock/gettyimages
6
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Vetores
Os vetores são segmentos de retas orientados, são os representantes matemáticos 
de grandezas físicas com direção e sentido, ou seja, grandezas físicas, cuja orientação 
faz diferença na solução de um problema. Por exemplo, já notou que ao soltar um 
objeto, qualquer objeto, ele cairá na direção vertical para baixo? 
Parece simples, no entanto, não o é. No exemplo acima, a grandeza física 
mencionada é a Força Peso. Força é um vetor. Ao puxar uma cadeira, faz diferença 
puxá-la para direita, esquerda, para cima ou para baixo. Outro exemplo de vetor, 
é o deslocamento de um objeto no espaço. Qualquer objeto que se desloque de um 
ponto A a um ponto B, pode ser descrito num plano bidimensional ou tridimensional, 
com suas coordenadas orientadas, ou seja, na forma de vetor. Outros exemplos são 
a aceleração, assim como, a velocidade. 
Se uma grandeza não tem dependências de orientação, dizemos que é uma 
grandeza física escalar. Como exemplo de grandeza escalar temos o tempo, ele é 
absoluto e sem orientação. Outro exemplo: a massa de um objeto. 
Para um vetor, dizemos que há três características fundamentais: módulo (seu 
comprimento, sua intensidade, ou seu tamanho), direção (o eixo a qual pertence) e 
sentido (crescente ou decrescente).
Vamos utilizar o sistema de coordenadas cartesiano. Dentro desse sistema, 
colocamos o vetor unitário na direção do eixo x e o vetor unitário na direção do 
eixo y. Existe a possibilidade de utilizarmos o vetor unitário , na direção do eixo 
z. Note que, o vetor unitário não tem dimensão, nem unidades de medida e será 
representado pela letra i e j com um acento circunflexo sobre eles ou ainda pela 
letra i e j em negrito. Eles servirão para orientar a direção de determinada grandeza 
física no espaço. Observe os vetores unitários no sistema cartesiano abaixo:
y
x
Os vetores unitários e são ditos unitários porque seu módulo é igual a 1. Ou 
seja, seu tamanho físico dentro do sistema de coordenadas x y é igual a 1 unidade. 
Vamos usar um exemplo prático? 
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UNIDADE Vetores
Seja o ponto A = (3, 5). Qual é o vetor deslocamento de um objeto que sai da 
origem (0,0) de um sistema cartesiano utilizando a trajetória em azul e chega até o 
ponto A? 
y
x3
5
0
Embora o deslocamento seja irregular, podemos dizer que o vetor posição é 
dado pelo seguimento de reta que vai da origem O ao ponto A, conforme mostra 
a imagem. Poderemos escreve-lo como:
Ou seja, o vetor está orientado com 3 unidades na direção de i e cinco unidades 
na direção de j. Ele também poderá ser representado como = (3,5)
Já o módulo deste vetor, ou seja, o seu tamanho (sua intensidade) será dado por:
 
| |
| |
| |
| |




r x y
r
r
r
= +
= +
= +
=
2 2
2 23 5
9 25
34
Observe que o módulo do vetor, é dado pela somatória quadrada de cada 
coordenada. Essa operação pode ser demonstrada se você quer encontrar a 
distância da origem ao ponto A, para tanto se utiliza o Teorema de Pitágoras, 
que já vimos em aulas anteriores. Outra observação importante é que o vetor 
 é dito vetor porque indica as coordenadas do deslocamento r, já o seu 
módulo | |

r = 34 é um número real. 
Introdução à Vetores – Física | Descomplica
https://youtu.be/GrjP_qSEtl8Ex
pl
or
Note que há uma linguagem sobre os vetores da qual devemos estar 
familiarizados. Essa linguagem pode ser ilustrada ao lado:
8
9
 · Os vetores a e b são paralelos:
a
b
 · Os vetores c e d são ortogonais: 
c
d
 · Os vetores e, f e g são coplanares
e
f
g
Observe o vetor e acima, ele parece estar “voando”, ou seja, parece estar fora 
do plano ilustrado. No entanto, observando melhor vemos que e é paralelo ao 
plano ilustrado, por isso podemos dizer que é coplanar aos outros dois vetores.
Vamos fazer um exercício para aprimorar nossa leitura sobre os vetores. Observe 
a figura. Temos um quadrado, onde W, X, Y e Z são os pontos médios dos lados. 
A Z B
C W
b
a
D
X 0 Y
Escreva os seguintes vetores em função de a e b: WY, YZ, X0, ZB.
Vamos iniciar um exercício de leitura e interpretação.
 · WY = a
 · YZ = -b
 · X XY XW WY a b0
1
2
1
2
1
2
= = + = +( ) ( )


 · ZB X a b= = +1 0
1
2
( )


Outros segmentos de reta, ou seja, vetores, podem ser encontrados baseados 
nos vetores a e b. aaa
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UNIDADE Vetores
Soma e Subtração de Vetores
Os vetores podem ser somados, ou subtraídos. Observe na imagem:
a
-b
b
B
a
A
C
a+b
b
a
a-b
-b
Vamos observar que A é um ponto qualquer. B é o único ponto tal que a = AB 
e C o único ponto tal que b = BC
AB e BC são os segmentos orientados de A para B e B para C respectivamente.
Vamos ver um exemplo algébrico
Sejam o vetores a = 3i +4j e o vetor b = 2i -5 j e o vetor c = a + b, e d = a – b. 
O vetor c será:
c = (3i+4j) + (2i-5j) 
c = 5i – j
Observe que somamos apenas coordenadas semelhantes i com i e j com j, 
observando as regras de sinais quando necessário.
Realizar a subtração é como somar o vetor oposto, visto que, o sinal de subtração (-) 
inverte o sinal das coordenadas. Podemos ver isto na imagem acima. O vetor d será:
d = (3i+4j) - (2i-5j) 
d = i + 9j
Propriedades:
1. Associativa: (a + b) + c = a + (b + c);
2. Elemento neutro 0: 0 + a = a e a + 0 = a;
3. Elemento oposto: Se a = AB, então –a = BA diz-se que –a é o oposto de a. 
4. Comutativa: a + b = b + a
Vamos usar como exemplo, o vetor força resultante sobre um veículo em 
movimento. De maneira simplificada, as forças agentes no veículo são: 
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Sejam:
Fat = (- 350i + 0j) N a força de atrito;
FM = (15000i + 0j) N a força motora;
FP = (0i - 9000j) N a força peso;
FN = (0i + 9000j) N a força normal.
Importante!
Obs.: você notou que estamos utilizando a letra N para identificar a unidade de medida 
de força, o Newton? 
Importante!
A força resultante sobre o veículo em movimento será a somatória vetorial de 
todas as forças, sendoassim, teremos:
FR = FN + FP + 2. Fat + FM
FR = (0i + 9000j) + (0i - 9000j) + 2.(- 350i + 0j) + (15000i + 0j)
FR = -700i + 15000i
FR = 14300i N
Esse resultado nos indica que há força resultante somente no sentido positivo do 
eixo horizontal x, representado pelo versor i.
Agora, como exemplo, temos um balão no qual agem além da força propulsora, 
a força das correntes de ar, conforme ilustra a imagem: 
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UNIDADE Vetores
Os três vetores em vermelho representam força da corrente do ar do oeste FO, 
os três vetores em amarelo representam a força da corrente do ar do leste FL. Se:
FO = (25i +12j) N
FL = (-44i - 18j) N
FP = (96i + 3000j) N
A força resultante sobre o balão será dada pela soma vetorial de todas as forças, 
sendo assim: 
FR = 3Fo + 3FL + FP
FR = 3(25i +12j) + 3(-44i - 18j) + (96i + 3000j)
FR = (3.25i – 3.44i +96i) + (3.12j – 3.18j + 3000j)
FR = 39i +2982j
Vamos ilustrar o vetor força resultante no plano cartesiano:
FR
Fy
(N
)
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
20 40 60 80 100 120 140
Fx(N)
Essa ilustração também é conhecida como regra do paralelogramo para dois 
vetores, onde desenha-se uma linha paralela ao eixo do vetor ao final de cada um 
dos vetores (representada pela linha pontilhada em azul). É possível utilizar esta 
regra quando há soma de dois componentes vetoriais somente, como é o caso do 
exemplo, onde há força resultante no eixo x, representada pelo versor i, e há força 
resultante no eixo y, representada pelo versor j.
Podemos interpretar que o vetor FR nos fornece a direção e o sentido da força 
resultante sobre o balão, desta maneira, sabemos calcular exatamente o sentido 
do seu deslocamento. Se utilizarmos algumas propriedades trigonométricas, 
estudadas na unidade anterior também será possível calcular o ângulo exato que a 
força resultante faz com o eixo horizontal. 
E por fim, podemos calcular o módulo do vetor força resultante, ou seja, o seu 
tamanho, sua intensidade, que se representa por |FR|. Assim como no vetor 
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deslocamento, para qualquer vetor, o seu módulo será a somatória das coordenadas 
ao quadrado. Então: 
| |
| |
| |
| |




F F F
F
F
F
R x y
R
R
R
= +
= +
= +
=
2 2
2 239 2982
1521 8892324
88938455
2982 26| | ,

F N
R
=
Observe que toda a equação pode ser baseada no Teorema de Pitágoras se 
tivermos acesso ao gráfico gerado pelo vetor força resultante. 
Multiplicação de um vetor por um número real 
 
As imagens abaixo nos dão uma ideia do que seja o produto de um vetor a 
por um número real α qualquer:
a
2a
1/2a
√2a
Vamos chamar esse produto de αa. 
Se α = 0 ou se a = 0, então α.a = 0;
Se α ≠ 0 e a ≠ 0, então o resulto de α.a é um vetor com a mesma direção de a. 
Eles são chamados vetores paralelos. 
Propriedades:
1. Associativa: α(ba) = (αb)a;
2. Distributiva do número real: α(a + b) = αa + αb;
3. Distributiva do vetor: (α + b)a = αa + ba;
4. Elemento neutro 1a = a.
 Vamos utilizar como exemplo o vetor b = 8i + 4j. Vamos escrever:
a) 2b = 2( 8i + 4j) = 16i + 8j
b) 1
2
1
2
8 4 4 2

   
b i j i j= + = +( )
c) -3b = -3(8i + 4j) = -24i – 12j
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UNIDADE Vetores
Vamos utilizar o enunciado da segunda Lei de Newton para o próximo exemplo. 
Em breve, vamos estudá-la mais profundamente. A segunda Lei de Newton 
anuncia que “A força resultante sobre um corpo é proporcional à aceleração nele 
produzida”. Sabe-se que essa proporção é relativa à massa m desse corpo. Sendo 
assim, Newton anunciou:
FR = m.a
onde FR é o vetor força resultante, m é a massa e a é o vetor aceleração. 
Se a massa do balão do exemplo que utilizamos anteriormente for aproximadamente 
300 kg. Qual é o valor do vetor aceleração nele? Considere que todas as unidades 
de medida estão descritas no SI (Sistema Internacional de Unidades).
Lembre-se, a força resultante no balão foi dada por: FR = 39i +2982j
Se 

F m a
R
= . então: 
Produto Escalar
O produto escalar é o produto entre dois vetores, no qual o resultado é um 
número real. Seja a = 2i – 3j e b = 3i + 4j.
O produto escalar 
a.b = 2.3 + (-3).4
a.b = 6 – 12
a.b = -6
lê-se a escalar b e o resultado é um número real. Além disso, note vamos utilizar 
(.) para representar o produto escalar. 
Propriedades:
1. a.b = b.a
2. (αa).b = b.(αa) = α (a.b)
3. a.(b + c) = a.b + a.c
4. a.a ≥ 0
5.   a a a
2
= .
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Definição de produto escalar e Ângulo entre dois vetores:
O produto escalar permite determinar com facilidade a menor abertura entre 
dois vetores. Isto porque a definição de produto escalar é: 




a b a b. . .cos= θ
onde θ é o ângulo entre a e b. 
Note que estamos utilizando a notação vetorial dada por ou a.
Para exemplificar vamos calcular o ângulo entre a força das correntes de ar do 
oeste FO e a força das correntes de ar do leste, FL.
Sejam:
FO = (25i +12j) N → 

F N
O
= + = ≈25 12 769 27 72 2 , N
FL = (-44i - 18j) N→ 

F N
L
= − + − = ≈( ) ( ) ,44 18 2260 47 52 2
   
F F F F
i j i j
O L O L
. . .cos
( ).( ) cos
.(
=
+ − − =
−
θ
θ25 12 44 18 769 2260
25 444 12 18 1318 3
1316 1318 3
1316
1318 3
) .( ) , cos
, cos
,
cos
c
+ − =
− =
−
=
=
θ
θ
θ
θ oos ( , )
,
− −
= °
1 0 998
176 4θ
De fato, se olhamos a imagem dos vetores, vemos que o ângulo entre os vetores 
é bem maior que 90° e menor que 180°.
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UNIDADE Vetores
Além do produto escalar, há o produto vetorial e o produto misto. Ambos são úteis na 
representação e na solução de problemas físicos que envolvem vetores, porém, saiba que 
a matemática envolvida vai além da notação básica que estamos utilizando aqui e não será 
utilizada em nosso contexto. No entanto, buscar mais conhecimento nos ajuda superar as 
dúvidas presentes. Certifique-se das fontes das quais retira as informações e não tenha 
medo de saber mais. O conhecimento é a grandeza que não ocupa nenhum espaço. 
 http://goo.gl/JZ7mQa
Ex
pl
or
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Vetores e uma iniciação à Geometria Analítica
Mello, Dorival A. Watanabe, Renate G. Vetores e uma iniciação à Geometria 
Analítica. 2ª ed. 2000. São Paulo: Palas Athena.
 Vídeos
Introdução à Vetores – Física | Descomplica
https://www.youtube.com/watch?v=GrjP_qSEtl8
 Leitura
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
http://wwwp.fc.unesp.br/~lfcruz/GA_CAP_04.pdf
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Referências
HALLIDAY, D.; KRANE, K. S.; RESNICK, R. Fisica 1. 5. ed. , v. 1. Rio de Janeiro: 
Ltc-Livros Tecnicos e Cientifi, 2012. 
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Fisica Para Cientistas e Engenheiros: Mecanica, 
Oscilacoes e Ondas, Termodinam. 6. ed. , v. 1. Rio de Janeiro: Ltc-Livros Tecnicos 
e Cientifi, 2012.
YOUNG, H. D. Fisica I: Termodinamica e Ondas. 12. ed. , v. 2. Sao Paulo: 
Pearson Addison Wesley, 2008
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