Equações Diferenciais Ordinárias Adalberto Aula 4

Prévia do material em texto

11/11/2015
1
 Definição: Uma equação diferencial de 2ª 
ordem é dita linear se é de 1º grau em relação 
à incognita y e às suas derivadas, podendo ser 
escrita na forma:
)()()()( 212
2
0 xgyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa 
 A forma padrão de uma equação diferencial 
de 2ª ordem é dada por:
 Caso , a equação é denominada de 
homogênea associada, dada por: 
)()(')(" xfyxQyxPy 
0)( xf
0)(')("  yxQyxPy
 Teorema 1: (Princípio da superposição)
Se são soluções das equações:
Então é solução da equação 
21 yey
)()(')("
)()(')("
2
1
xfyxQyxPy
xfyxQyxPy


21 yyy 
)()()(')(" 21 xfxfyxQyxPy 
11/11/2015
2
)(')("
)(')("
222212
112111
xfyayxay
xfyayxay


      )()(')(" 2121221121 xfxfyyayyxayy Somando-as, teremos:
)()(')("')(" 212221212111 xfxfyayxayyayxay 
Como a soma das derivadas 
é a derivada da soma, teremos:
 Teorema 2:
Seja uma solução particular da equação
e a solução geral da 
equação homogênea associada
Então a solução geral da equação completa é 
.
py
)()(')(" xfyxQyxPy  h
y
0)(')("  yxQyxPy
hp yyy 
0')("
)(')("
21
21


hhh
ppp
yayxay
xfyayxay
      0)(')(" 21  xfyyayyxayy hphphpSomando-as, teremos:
Como , então:
Seguindo o mesmo princípio, teremos:
hp yyy  )(')(" 21 xfyayxay 
 Teorema 3: (princípio da superposição para 
homogêneas).
Se são soluções da equação linear 
de 2ª ordem , então 
qualquer combinação linear é 
também solução da equação.
21 yey
0)(')("  yxQyxPy
2211 yyy  
11/11/2015
3
0')("
0')("
22212
12111


yayxay
yayxay
      22112221112211 )(')(" yyxayyxayy Como , teremos:Seguindo o mesmo princípio, teremos: 2211 yyy       222122121111 )(')(")(')(" yxayxayyxayxay 
0 0 000 21 
 Quaisquer duas soluções particulares de uma
equação diferencial linear homogênea de
segunda ordem, sua combinação linear será
solução geral?
 Considere a equação e as funções
. Verifique!
0'" yy
xx eyeey 221 
   
    0'2"2
0'"


xx
xx
ee
e
ee
xx eCeCy 221 
S
o
lu
ç
õ
e
s
 P
a
rt
ic
u
la
re
s   xeCCy 21 2 xCey 
S
o
lu
ç
ã
o
 G
e
ra
l
Definição: (Dependência e Independência 
linear)
 Dadas as funções , elas serão LD, 
num intervalo I, se existir 
. 
 Quando as funções não são LD, dizemos que 
elas são LI, ou seja, .
21 yey
Ixkyyk  12;0
Rkkyy  12
 Verifiquem se as funções são LD ou LI:
1.
2. 
xx xeyeey  21
)()cos( 21 xsenyexy 
ILcte
xxe
e
y
y
x
x
.
1
2
1 
ILctexg
xsen
x
y
y
.)(cot
)(
)cos(
2
1 
11/11/2015
4
 Definição:
Sejam funções definidas num 
determinado domínio, possuindo derivadas
contínuas. Definimos wronskiano 
das funções como o determinante: 
21 yey
21 '' yey
21
21
21
''
),(
yy
yy
yyW 
 Determine o wronskiano das funções:
)2,( xx eeW
),( xx xeeW
)cos,( xsenxW
 Teorema:
Sejam as funções soluções de uma 
mesma equação linear homogênea de 2ª 
ordem, em I. O conjunto são LI se, e 
somente se, 
21 yey
 2,1 yy
IxyyW  0),( 21
 Teorema:
Se são soluções LI da equação 
diferencial , então a 
combinação linear é a solução 
geral da equação.
21 yey
0)(')("  yxQyxPy
2211 ycycy 