Equações Diferênciais de Ordem Superior (Resumo)

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 
 
Princípio da superposição 
 
Se 𝑦1, 𝑦2,…, 𝑦𝑘 é solução da equação 𝑎𝑛(𝑥)
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
+ 𝑎𝑛−1(𝑥)
𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑥𝑛−1
+ …+ 𝑎1(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 0, 
então 𝑦 = 𝑐1𝑦1(𝑥) + 𝑐2𝑦2(𝑥) + …+ 𝑐𝑘𝑦𝑘(𝑥) também é uma solução. 
 
Def.: Um conjunto 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), …, 𝑓𝑛(𝑥) é L.D, quando 𝑐1𝑓1(𝑥) + 𝑐2𝑓2(𝑥) + …+ 𝑐𝑛𝑓𝑛(𝑥) = 0. 
 
Critério para independência linear (L.I) – Wroskiano 
 
𝑊(𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛) = (
𝑦1 𝑦2
𝑦1
′ 𝑦2
′ ⋯
𝑦𝑛
𝑦𝑛
′
⋮ ⋱ ⋮
𝑦1
(𝑚) 𝑦2
(𝑚) ⋯ 𝑦𝑛
(𝑚)
) 
 
Onde, 𝑦1, … , 𝑦𝑛 são soluções da eq. linear homogênea. 
 
 Redução de ordem 
 
Se 𝑦1 é solução de 𝑦
′′ + 𝑃(𝑥)𝑦′ + 𝑄(𝑥)𝑦 = 0, então 𝑦2 = 𝑦1(𝑥)∫
𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥
𝑦1
2(𝑥)
 também é solução. 
 
Obs.: A solução geral é dada por 𝑦 = 𝑐1𝑦1(𝑥) + 𝑐2𝑦2(𝑥). 
 
 Equação auxiliar – 2° ordem 
 
Sejam 𝑎𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 𝑐𝑦 = 0 (homogênea), 𝑚1e 𝑚2 as soluções da equação 𝑎𝑚
2 + 𝑏𝑚 + 𝑐 = 0, temos: 
 
i. ∆ > 0 ⇒ 𝑦 = 𝑐1𝑒
𝑚1𝑥 + 𝑐2𝑒
𝑚2𝑥 
ii. ∆ = 0 ⇒ 𝑦 = 𝑐1𝑒
𝑚1𝑥 + 𝑐2𝑒
𝑚1𝑥 
iii. ∆ < 0 ⇒ 𝑦 = 𝑒𝛼𝑥(𝑐1 cos 𝛽𝑥 + 𝑐2 sen 𝛽𝑥), onde, 𝑚 = 𝛼 ± 𝑖𝛽. 
 
𝑦𝑝 → Solução particular + 𝑦𝑐 → Solução complementar 
𝐷𝑘𝑦 =
𝑑𝑘𝑦
𝑑𝑥𝑘
 
 
Método dos coeficientes a determinar 
 
Dada a eq. diferencial linear não homogênea 𝑎𝑛𝑦
(𝑛) + 𝑎𝑛−1𝑦
(𝑛−1) + …+ 𝑎1𝑦
′ + 𝑎0𝑦 = 𝑔(𝑥) 
sua solução geral é 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝. 
 
i. 𝑦𝑐: solução da homogênea 𝑎𝑛𝑦
(𝑛) + 𝑎𝑛−1𝑦
(𝑛−1) + …+ 𝑎1𝑦
′ + 𝑎0𝑦 = 0 (eq. auxiliar) 
ii. 𝑦𝑝: solução da mesma forma de 𝑔(𝑥), isto é, 𝑎𝑛𝑦𝑝
(𝑛) + …+ 𝑎1𝑦𝑝
′ + 𝑎0𝑦𝑝 = 𝑔(𝑥), sendo 
preciso determinar apenas os coeficientes 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, …, 𝑎0. 
 
Soluções Particulares 
𝑔(𝑥) 𝑦𝑝 
𝑎 𝐴 
𝑎𝑥 + 𝑏 𝐴𝑥 + 𝐵 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 
 
 
𝑔(𝑥) 𝑦𝑝 
sen(𝑐𝑥) 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑐𝑥) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝑐𝑥) 
cos(𝑐𝑥) 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑐𝑥) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝑐𝑥) 
𝑒𝑎𝑥 𝐵𝑒𝑎𝑥 
 Coeficientes a determinar – anulador 
 
Uma equação diferencial de ordem 𝑛 pode ser escrita como um operador diferencial linear da 
seguinte forma: 𝑎𝑛𝐷
𝑛𝑦 + 𝑎𝑛−1𝐷
𝑛−1𝑦 + …+ 𝑎1𝐷𝑦 + 𝑎0𝑦 = 𝑔(𝑥). 
 
Fatorando um operador 
 
Quando os coeficientes 𝑎𝑖 ∈ ℝ, um operador pode ser fatorado sempre que o polinômio 
característico 𝑎𝑛𝑚
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑚
𝑛−1 + …+ 𝑎1 + 𝑎0 também puder ser fatorado. 
 
Operador
Funções Operador anulador 
1, 𝑥, 𝑥2,…, 𝑥𝑛−1 𝐷𝑛 
𝑒𝛼𝑥, 𝑥𝑒𝛼𝑥, 𝑥2𝑒𝛼𝑥, … , 𝑥𝑛−1𝑒𝛼𝑥 (𝐷 − 𝛼)𝑛 
𝑒𝛼𝑥 cos 𝛽𝑥, 𝑥𝑒𝛼𝑥 cos 𝛽𝑥, … , 𝑥𝑛−1𝑒𝛼𝑥 cos 𝛽𝑥 
 
 
[𝐷2 − 2𝛼𝐷 + (𝛼2 + 𝛽2)]𝑛 
𝑒𝛼𝑥 sen𝛽𝑥, 𝑥𝑒𝛼𝑥 sen𝛽𝑥, … , 𝑥𝑛−1𝑒𝛼𝑥 sen𝛽𝑥 
 
 
 
𝑦 = 𝑥𝑚 ⇒
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑚𝑥𝑚−1 ⇒
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑚𝑥𝑚−2 
 
Equação auxiliar: 
𝑎𝑚2 + (𝑏 − 𝑎)𝑚 + 𝑐 =
0 
Quando 𝑚1 tem multiplicidade 𝑘 
⇒ 𝑥𝑚1, 𝑥𝑚1 ln 𝑥, 𝑥𝑚1(ln 𝑥)2, …, 𝑥𝑚1(ln𝑥)𝑘−1 
 
Multiplica e soma: 
(i) 1ª por D e a 2ª por −3 para eliminar 𝑦 
(ii) 1ª por 2 e a 2ª por D para eliminar 𝑥 
 
 
 Variação de parâmetro 
 
Dada uma eq. diferencial linear de segunda ordem na forma padrão 𝑦′′ + 𝑃(𝑥)𝑦′ + 𝑄(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥): 
i. 𝑦𝑐 = 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2 
ii. 𝑦𝑝 = 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2, no qual, 𝑢1
′ =
𝑤1
𝑤
 e 𝑢2
′ =
𝑤2
𝑤
 
A solução geral é 
𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝
 
Obs.: 𝑤 = |
𝑦1 𝑦2
𝑦1
′ 𝑦2
′|; 𝑤1 = |
0 𝑦2
𝑓(𝑥) 𝑦2
′|; 𝑤2 = |
𝑦1 0
𝑦1
′ 𝑓(𝑥)
|; 𝑢1 = ∫𝑢1
′ e 𝑢2 = ∫𝑢2
′ 
 
 Equação de Cauchy – Euler para eq. 𝑎𝑛(𝑥)
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
+ 𝑎𝑛−1(𝑥)
𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑥𝑛−1
+ …+ 𝑎1(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 0 
 
Método de resolução 
 
Faz-se 𝑦 = 𝑥𝑚, por exemplo, em uma equação de segunda ordem (vale para ordem superior): 
𝑎𝑥2
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑏𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑐𝑦 = 𝑎𝑚(𝑚 − 1)𝑥𝑚 + 𝑏𝑚𝑥𝑚 + 𝑐𝑥𝑚 = [𝑎𝑚(𝑚 − 1) + 𝑏𝑚 + 𝑐]𝑥𝑚 
 
i. ∆ > 0 ⇒ 𝑦 = 𝑐1𝑥
𝑚1 + 𝑐2𝑥
𝑚2 
ii. ∆ = 0 ⇒ 𝑦 = 𝑐1𝑥
𝑚1 + 𝑐2𝑥
𝑚2 ∙ ln 𝑥 
iii. ∆ < 0 ⇒ 𝑦 = 𝑥𝛼(𝑐1 cos𝛽 ln 𝑥 + 𝑐2 sen𝛽 ln 𝑥), onde, 𝑚 = 𝛼 ± 𝑖𝛽. 
 
Mudança para coeficientes constantes 
 
Faz-se a substituição 𝑥 = 𝑒𝑡 ou 𝑥 = ln 𝑥, onde, as derivadas 1º e 2º são: 
• 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑡
∙
𝑑𝑡
𝑑𝑥
=
1
𝑥
∙
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 (regra da cadeia) 
• 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
=
1
𝑥
∙
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
∙
1
𝑥
−
𝑑𝑦
𝑑𝑡
(−
1
𝑥2
) =
1
𝑥2
(
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
−
𝑑𝑦
𝑑𝑡
) (regras da cadeia e do produto) 
 
 Sistema de equações lineares 
 
Ex.:
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 3𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 2𝑥
 ⇔ {
𝐷𝑥 − 3𝑦 = 0
𝐷𝑦 − 2𝑥 = 0
 
 
 
⇒ {
𝑥(𝑡) = 𝑐1𝑒
−√6∙𝑡 + 𝑐2𝑒
√6∙𝑡 
𝑦(𝑡) = 𝑐3𝑒
−√6∙𝑡 + 𝑐4𝑒
√6∙𝑡
 
Substituindo na 1ª E.D.O temos: 
(−√6 ∙ 𝑐1 − 3𝑐3)⏟ 
0
𝑒−√6∙𝑡 + (√6 ∙ 𝑐2 − 3𝑐4)⏟ 
0
𝑒√6∙𝑡 = 0 ∴ {
𝑥(𝑡) = 𝑐1𝑒
−√6∙𝑡 + 𝑐2𝑒
√6∙𝑡 
𝑦(𝑡) = −
√6
3
𝑐1𝑒
−√6∙𝑡 +
√6
3
𝑐2𝑒
√6∙𝑡