Equações Diferenciais Ordinárias Adalberto Aula 6

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03/06/2016
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Método dos Coeficientes a Determinar (DESCARTES) 
Este método só se aplica a equações com coeficientes
constantes 𝒚" + 𝒂𝟏𝒚′ + 𝒂𝟐𝒚 = 𝒇(𝒙) e quando,
𝒇 𝒙 = 𝑷 𝒙 𝒆𝜶𝒙. 𝐜𝐨𝐬 𝜷𝒙 + 𝑸 𝒙 𝒆𝜶𝒙. 𝐬𝐞𝐧 𝜷𝒙
ou seja:
𝒚" + 𝒂𝟏𝒚′ + 𝒂𝟐𝒚 = 𝑷 𝒙 𝒆
𝜶𝒙. 𝒄𝒐𝒔 𝜷𝒙 + 𝑸 𝒙 𝒆𝜶𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝜷𝒙
𝑃 𝑥 𝑒 𝑄 𝑥 são polinômios na variável 𝑥.
Exemplos de funções para as quais o Método se aplica:
𝒚" + 𝒂𝟏𝒚′ + 𝒂𝟐𝒚 = 𝑷 𝒙 𝒆
𝜶𝒙. 𝒄𝒐𝒔 𝜷𝒙 + 𝑸 𝒙 𝒆𝜶𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝜷𝒙
1) 𝒇 𝒙 = 𝒙𝒆𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 + (𝒙𝟐 + 𝟏)𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)
𝑷 𝒙 = 𝒙
𝑸 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟏
𝜶 = 𝟏
𝜷 = 𝟐
2) 𝒇 𝒙 = 𝒆−𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝒙𝒆−𝒙𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝑷 𝒙 = 𝟏
𝑸 𝒙 = 𝒙
𝜶 = −𝟏
𝜷 = 𝟏
3) 𝒇 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝑷 𝒙 = 𝟏
𝑸 𝒙 = 𝟏
𝜶 = 𝟎
𝜷 = 𝟏
4) 𝒇 𝒙 = (𝒙 + 𝟏)𝒆𝟐𝒙𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙
𝑷 𝒙 = 𝒙 + 𝟏
𝑸 𝒙 = 𝟎
𝜶 = 𝟐
𝜷 = 𝟑
𝒚" + 𝒂𝟏𝒚′ + 𝒂𝟐𝒚 = 𝑷 𝒙 𝒆
𝜶𝒙. 𝒄𝒐𝒔 𝜷𝒙 + 𝑸 𝒙 𝒆𝜶𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝜷𝒙
Solução particular da EDO linear de 2ª ordem não homogênea da forma: 
𝒚" + 𝒂𝟏𝒚′ + 𝒂𝟐𝒚 = 𝑷 𝒙 𝒆
𝜶𝒙. 𝒄𝒐𝒔 𝜷𝒙 + 𝑸 𝒙 𝒆𝜶𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝜷𝒙
Pelo método de Descartes, 
1ª Possibilidade: 
   0 xnf x P x e
   
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Exemplos: 𝒂) 𝒚" − 𝟓𝒚′ + 𝟔𝒚 = 𝒆𝒙
𝒚" − 𝟓𝒚′ + 𝟔𝒚 = 𝟎 é a equação homogênea associada. 
𝒎2 − 𝟓𝒎+𝟔 = 𝟎 é a equação característica, e suas raízes são: 
𝑚1 = 2 𝑚2 = 3
A solução da homogênea é: 𝑦ℎ = 𝐶1𝑒
2𝑥 + 𝐶2𝑒
3𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 é 𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 , com 𝑃𝑛 𝑥 = 1(Grau zero) 
𝑒 𝛼 = 1(Que não é raiz da equação característica)
   0 xnf x P x e
   
𝑳𝒐𝒈𝒐,𝒚𝑷 = 𝑹𝒏(𝒙)𝒆
𝜶𝒙 𝒚𝑷 = 𝑨. 𝒆
𝒙
Encontrando o valor de A: 𝒚𝑷 = 𝑨.𝒆
𝒙, 𝒚′𝑷 = 𝑨.𝒆
𝒙, 𝒚"𝑷 = 𝑨. 𝒆
𝒙
𝑨. 𝒆𝒙 − 𝟓𝑨.𝒆𝒙 + 𝟔𝑨. 𝒆𝒙 = 𝒆𝒙 →𝒚" − 𝟓𝒚′ + 𝟔𝒚 = 𝒆𝒙 → 𝐴 =
1
2
→ 𝒚𝑷 =
1
2
𝒆𝒙
𝒚 = 𝐶1𝑒
2𝑥 + 𝐶2𝑒
3𝑥 +
1
2
𝒆𝒙
Exemplos: b) 𝒚" − 𝟒𝒚′ + 𝟒𝒚 = (𝒙 + 𝟏)𝒆𝟐𝒙
𝒚" − 𝟒𝒚′ + 𝟒𝒚 = 𝟎 é a equação homogênea associada. 
𝒎2 − 𝟒𝒎+𝟒 = 𝟎 é a equação característica, e suas raízes são: 
𝑚1 =𝑚2= 2
A solução da homogênea é: 𝑦ℎ = 𝐶1𝑒
2𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒
2𝑥
𝑓 𝑥 = (𝑥 + 1)𝑒2𝑥 é 𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 com 𝑃𝑛 𝑥 = 𝑥 + 1
(Grau 1) e 𝛼 = 2, 1(Que é raiz dupla da equação característica) logo a 
solução particular tem a forma:
   0 xnf x P x e
   
𝒚𝑷 = 𝒙²𝑹𝒏(𝒙)𝒆
𝜶𝒙
Encontrando os valores de A e B (Fazer no quadro) teremos que:
𝒚 = 𝐶1𝑒
2𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒
2𝑥 +
𝑥³
6
+
𝑥²
2
𝒆𝟐𝒙
𝒚𝑷 = 𝒙²(𝑨𝒙 + 𝒃)𝒆
𝟐𝒙
→
𝒚𝑷 = (𝑨𝒙³ + 𝒃𝒙²)𝒆
𝟐𝒙
Solução particular da EDO linear de 2ª ordem não homogênea da forma: 
𝒚" + 𝒂𝟏𝒚′ + 𝒂𝟐𝒚 = 𝑷 𝒙 𝒆
𝜶𝒙. 𝒄𝒐𝒔 𝜷𝒙 + 𝑸 𝒙 𝒆𝜶𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝜷𝒙
Pelo método de Descartes, 
2ª Possibilidade: 
         0 cosx xn mf x P x e x Q x e sen x
      
i) 𝜶 + 𝜷𝒊 não é raiz da Equação Característica
𝒚𝒑 = 𝐑 𝒙 𝒆
𝜶𝒙. 𝒄𝒐𝒔 𝜷𝒙 + 𝑺 𝒙 𝒆𝜶𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝜷𝒙
Gr(R) = Gr(S) = Maior dos graus entre P e Q
ii) 𝜶+ 𝜷𝒊 é raiz da Equação Característica
𝒚𝒑 = 𝐱[𝐑 𝒙 𝒆
𝜶𝒙. 𝒄𝒐𝒔 𝜷𝒙 + 𝑺 𝒙 𝒆𝜶𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝜷𝒙 ]
Gr(R) = Gr(S) = Maior dos graus entre P e Q
Exemplos: 𝒂) 𝒚" + 𝒚′ − 𝟐𝒚 = 𝟖𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)
𝒚" + 𝒚′ − 𝟐𝒚 =0 é a equação homogênea associada. 
𝒎2 +𝒎− 𝟐 = 𝟎 é a equação característica, e suas raízes são: 
𝑚1 = −2 𝑒 𝑚2=1
A solução da homogênea é: 𝑦ℎ = 𝐶1𝑒
−2𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒
𝑥
𝑓 𝑥 = 𝟖𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 é 𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑥 𝑒𝛼𝑥 . 𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 + 𝑄 𝑥 𝑒𝛼𝑥 . 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 ,
com 𝑃𝑛 𝑥 = 0 e 𝑄 𝑥 = 8, 𝛼 = 1 𝑒 𝛽 = 2, 𝛼 + 𝛽𝑖 = 1 + 2𝑖 (Que não é raiz
da equação característica) logo a solução particular tem a forma:
Encontrando os valores de A e B (Fazer no quadro) teremos que:
𝒚 = 𝐶1𝑒
−2𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒
𝑥+ ? 𝒆𝒙. 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + ? 𝒆𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙
𝒚𝒑 = 𝐑 𝒙 𝒆
𝜶𝒙. 𝒄𝒐𝒔 𝜷𝒙 + 𝑺 𝒙 𝒆𝜶𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝜷𝒙 (Grau zero) 
𝒚𝒑 = 𝑨𝒆
𝒙. 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝑩𝒆𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙
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Exemplos: b) 𝒚" + 𝒚 = 𝒙²𝒄𝒐𝒔(𝒙) + (𝒙 + 𝟏)𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒚" + 𝒚=0 é a equação homogênea associada. 
𝒎2 + 𝟏 = 𝟎 é a equação característica, e suas raízes são: 
𝑚1 = −𝑖 𝑒 𝑚2= 𝑖
A solução da homogênea é: 𝑦ℎ = 𝐶1cos(𝑥) + 𝐶2𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑓 𝑥 = 𝒙2𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒙 + 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝒙
é 𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑥 𝑒𝛼𝑥 . 𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 + 𝑄 𝑥 𝑒𝛼𝑥 . 𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑥 , com 𝑃𝑛 𝑥 = 𝑥² e
𝑄 𝑥 = (𝑥 + 1) , 𝛼 = 0 𝑒 𝛽 = 1 , 𝛼 + 𝛽𝑖 = 𝑖 (Que é raiz da equação
característica) logo a solução particular tem a forma:
Encontrando os valores de A, B, C, D, E e F (Fazer no quadro) teremos que:
𝒚 = 𝐶1cos(𝑥) + 𝐶2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + x[ ? 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + ? 𝒔𝒆𝒏 𝒙 ]
𝒚𝒑 = 𝐱[𝐑 𝒙 𝒆
𝜶𝒙. 𝒄𝒐𝒔 𝜷𝒙 + 𝑺 𝒙 𝒆𝜶𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝜷𝒙 ] (2º Grau) 
𝒚𝒑 = 𝒙[ 𝑨𝒙
2 +𝑩𝒙 + 𝑪 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑫𝒙2 + 𝑬𝒙 + 𝑭 𝒔𝒆𝒏 𝒙 ]