1. Alg Significativos e Incertezas

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Algarismos Signi�
ativos, In
ertezas
e Grá�
os
Prof. Ms. Rudson Ribeiro Alves
Prof. Ms. Tiago Pul
e Bertelli
Laboratório de Físi
a Experimental
Universidade Vila Velha
26 de fevereiro de 2016
Sumário
1 Introdução 2
1.1 Valor Real e Valor Medido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Algarismo Signi�
ativos 4
2.1 Operações Matemáti
as 
om Algarismos Signi�
ativos . . . . . . . 6
2.1.1 Soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 Produto e Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 In
erteza 11
3.0.1 Determinando o Valor da In
erteza . . . . . . . . . . . . . 11
3.1 Operações 
om In
ertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.1 Soma e Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.2 Produto e Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.3 Potên
ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.4 Produtos Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.5 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Média Simples e Desvio Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1 Deixando a Média para mais Tarde... . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Representação Grá�
a 25
4.1 Exer
í
ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 Respostas 30
5.1 Algarismo Signi�
ativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2 In
ertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3 Representação Grá�
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1
Capítulo 1
Introdução
1.1 Valor Real e Valor Medido
Um dos objetivos do Laboratório de Físi
a Experimental I é introduzir o aluno
em té
ni
as de medidas me
âni
as e nas operações matemáti
as ne
essárias para
al
ançar os resultados desejados.
Ao medir o 
omprimento de uma mesa, o valor obtido é 
hamado de valor me-
dido. Este valor medido estará sempre sujeita a uma in
erteza a qual depende do
instrumento de medida empregado, das 
ondições de operação deste instrumento
e da habilidade do operador entre outros fatores menos intuitivos.
Na medida do 
omprimento do 
orpo da Figura 2.1, por exemplo, é em-
pregado uma régua 
entimetrada, resultando uma medida de 33, 7 cm. Se for
empregado uma régua milimetrada, a medida pode ser feita 
om mais um al-
garismos, resultando em algo 
omo 33, 73 cm. Se um instrumento ainda mais
pre
iso for empregado nesta medida, o valor medido pode ser ainda mais pre
iso,
omo 33, 728 cm.
Se 
ontinuarmos a empregar instrumentos 
ada vez mais pre
isos, teremos
medidas mais pre
isas?
A resposta a esta pergunta é Não! Haverá um momento em que o instru-
mento de medida estará medindo as imperfeições das bordas do 
orpo (rugosi-
dades), e por isto, não faz mais sentido utilizar equipamentos mais pre
isos para
esta medida. Isto signi�
a que não existe um valor real para a medida deste
omprimento.
O valor real de uma medida geralmente não existe, a menos que se esteja
medindo um grandeza padrão, 
omo por exemplo:
Velo
idade da luz: 299.792.458m/s;
Ponto Trípli
e da água (a 1 atm): 373, 125K;
Massa do C12 = 12u;
Número de átomos de Hidrogênio na molé
ula de água;
2
CAPÍTULO 1. INTRODUÇ�O 3
Estas grandezas são padrões de medidas e portando possuem um valor real
para a sua medida. Medidas que faremos em laboratório em geral não re
aem
sobre estas 
lasses de medidas.
Nos 
apítulos seguintes serão apresentados as metodologias matemáti
as ade-
quadas para trabalhar 
om medidas, tratando os algarismos de forma 
onserva-
tiva, prezando a qualidades dos resultados al
ançados.
Este texto não tem a intenção de ser um tratado de metodologias matemáti
as
para apli
ações gerais. O fo
o dos métodos apresentados aqui está na simpli
i-
dade matemáti
a e agilidade em sua exe
ução, quando possível, fo
ando rápida
determinação dos resultados experimentais 
om �ns didáti
os, sem primar na
qualidade absoluta de suas operações e metodologias.
Isto signi�
a que estas metodologias, em geral, podem não ser adequadas
para o uso em experimentos pro�ssionais ou para �ns de pesquisa, sendo nestas
o
asiões a
onselhável que se pro
ure textos mais pro�ssionais de metrologia.
Capítulo 2
Algarismo Signi�
ativos
Na Figura 2.1 é apresentado um exemplo de uma medida de 
omprimento, reali-
zada 
om uma régua 
entimetrada.
30
1 2 3 4 5
33,7 cm
Um algarismo de avaliação
Dois algarismos de leitura na escala
Figura 2.1: Exemplo de medida de uma régua 
entimetrada.
O valor medido na régua foi de 33, 7 cm, sendo os dois primeiros algarismos
uma leitura direta na es
ala da régua (33 cm) e o último uma avaliação (7mm).
Uma medida sempre terá um úni
o algarismo de avaliação, o algarismos mais à
direita. Este algarismo de avaliação depende muito das 
ondições de operação
do instrumento de medida e da perí
ia do operador.
Em 
ondições ótimas, este algarismos é menor que o menor intervalo da es-
ala empregada, no exemplo a
ima menor que 1 cm, mas pode a
onte
er de este
algarismo de avaliação ser superior, ou mesmo bem superior, ao menor intervalo
da es
ala. Isto pode o
orrer em situações onde:
• a es
ala se movem em relação ao 
orpo a ser medido;
• exista vibração no 
orpo e/ou es
ala de medida;
• erro de paralaxe1;
• outros.
4
CAPÍTULO 2. ALGARISMO SIGNIFICATIVOS 5
98 1 2 3
30
Figura 2.2: Medida do 
omprimento de uma segunda peça 
om a régua 
entime-
trada.
A medida de uma segunda peça é ilustrada na Figura 2.2. Neste 
aso o
valor do 
omprimento medido é de 30, 0 cm. Embora o 
omprimento da peça
oin
ida 
om a leitura de 30cm, a régua empregada permite mais um algarismo
de avaliação, e portanto está avaliação deve ser feita, ainda que esta seja zero.
Portanto, toda medida em laboratório sempre será 
omposta de algarismo
provenientes de uma leitura direta na es
ala e um úni
o algarismos de avalia-
ção.
Zeros 
olo
ados à direita, signi�
am leitura na es
ala, enquanto que zeros à
esquerda, a ausên
ia de leitura. Desta forma pode-se a�rmar que, em se tratando
de medidas, as 
omparações abaixo:
1 cm 6= 1, 0 cm 6= 1, 00 cm 6= 1, 000 cm · · ·
são diferentes. No 
aso do 1, este possui apenas um algarismo signi�
ativo,
que portanto é também o algarismo de avaliação. Isto signi�
a que o valor
desta medida pode ser algo entre 0 e 2, na melhor das hipóteses. Já os demais
possuem dois, três e quatro algarismos signi�
ativos respe
tivamente, tendo o
seu algarismo de avaliação em um dé
imo, um 
entésimo e um milésimo de
entímetros respe
tivamente.
Na Tabela 2.1 é feito uma 
omparação quantitativa entre medidas, 
onside-
rando uma variação de apenas ±1 no seu algarismos de avaliação. Isto mostra
laramente as diferenças entre medidas 
om diferentes números de algarismos
signi�
ativos.
Valor Menor Maior Número de
Medido Valor Valor Algarismos
1 0 2 1
1,0 0,9 1,1 2
1,00 0,99 1,01 3
1,000 0,999 1,001 4
Tabela 2.1: Comparação entre medidas de uma unidade 
om diferentes pre
isões.
A 
ontagem de algarismos signi�
ativos deve sempre ini
iar da esquerda para
1
Erro de paralaxe o
orre quando a es
ala está longe do 
orpo a ser medido, 
riando variações
nas de�nições das bordas do 
orpo, em função do posi
ionamento do observador.
CAPÍTULO 2. ALGARISMO SIGNIFICATIVOS 6
à direita, pelo primeiro algarismo diferente de zero, até o último algarismo, zero
ou não.
Portanto, tanto a medida de 33, 7 cm 
omo a de 30, 0 cm possuem 3algarismos
signi�
ativos.
2.1 Operações Matemáti
as 
om Algarismos Sig-
ni�
ativos
Em várias situações será ne
essário realizar operações matemáti
as 
om as me-
didas realizadas em laboratório 
omo: soma, multipli
ação, divisão, potên
ias e
outras funções. Para isto é ne
essário adotar 
ritérios matemáti
os para estas
operações, de forma a preservar a integridade de sua medida e respeitar as suas
limitações.
Nas seções seguintes são apresentados uma des
rição dos métodos matemá-
ti
os para serem empregados no desenvolvimento matemáti
o dos experimentos,
ao longo do semestre. Estes mesmo métodos são apli
ados na maioria dos livros
textos de Físi
a e Matemáti
a, 
om pequenas variações.
2.1.1 Soma
No 
aso da soma de duas medidas o pro
edimento é bem simples:
• Realize a soma dos algarismos normalmente;
• Determine a ordem de grandeza dos algarismos de avaliação empregados
em sua soma;
• Tome a maior ordem de grandeza entre estes (o algarismos de avaliação
mais à esquerda);
• Trunque o resultado 
om base neste algarismo de avaliação de maior
ordem.
Veja o exemplo a seguir.
Exemplo:
Suponha que tenhamos de realizar a soma das seguintes de medidas:
12, 45 cm; 2, 0345 cm; 1200 cm; 0, 00034 cm.
Para pro
eder 
om a soma, alinhe pela vírgula os números a serem
medidos e faça a soma normalmente.
CAPÍTULO 2. ALGARISMO SIGNIFICATIVOS 7
12,45
2,0345
1200,
+ 0,00034
1214,48484
A propagação dos erros do algarismo de avaliação é indi
ado por uma
linha abaixo do número. O algarismo de avaliação de maior ordem
de grandeza é o zero mais à esquerda do 1200. Isto signi�
a que os
algarismo à direita deste algarismo devem ser dispensados.
Desta forma, no resultado 1214, 48484 não faz sentido pegar alga-
rismos inferiores a unidade e assim o resultado da soma deverá ser
trun
ado na unidade 
omo segue,
1214, |48484 = 1214
O resultado passa a ter quatro algarismos signi�
ativos, onde o algarismo
de avaliação passa a ser o último mais a direita, neste 
aso o 4.
Obs: O trun
amento de uma operação somente deve ser feita quando estiver
al
ançado o resultado �nal em um trabalho. Trun
ar resultados intermediários em
operações matemáti
as, promove a propagação de erros desne
essariamente, o que
pode mas
arar o resultado obtido. Portando, se o objetivo de um experimento
é en
ontrar a velo
idade de lançamento de um projétil, o trun
amento deverá
o
orrer apenas no momento de apresentar a velo
idade soli
itada, jamais em
operações anteriores.
2.1.2 Produto e Funções
Na 
aso do produto, divisão e funções em geral, o pro
edimento é ainda mais
simples:
• 
onte o número de algarismos signi�
ativos dos números envolvidos na ope-
ração matemáti
a;
• pegue o menor número de algarismos signi�
ativos 
omo base e faça o trun-
amento do resultado �nal 
om este número de algarismos.
Vamos a um exemplo:
Exemplo:
En
ontre a densidade de massa de uma esfera de diâmetro 15, 383mm
e 16 g de massa.
CAPÍTULO 2. ALGARISMO SIGNIFICATIVOS 8
Dados:
Diâmetro = 15, 383mm (5 algarismos signi�
ativos)
Massa = 16 g (2 algarismos signi�
ativos)⇒ menor número de alga-
rismos signi�
ativos.
A densidade de massa de um 
orpo é dada pela equação
ρ =
Massa
V olume
=
M
Vesf
(2.1)
e o volume da esfera pela equação
Vesf =
4
3
pir3 (2.2)
onde o raio da esfera é igual a metade do seu diâmetro. Para se obter
um resultado mais pre
iso na operação matemáti
a e menos trabalho
numéri
o, é impres
indível a otimização destes pro
esso matemáti
os.
Sempre que possível, 
onstrua uma úni
a expressão matemáti
a para
al
ular o resultado desejado, onde esta expressão deve 
onter apenas
as grandezas medidas no experimento, além de 
onstantes.
Neste 
aso, es
reva a densidade de massa em função da Massa e do
Diâmetro medidos, substituindo as equações 
omo pro
ede abaixo:
Substitua a equação (2.2) e a de�nição do raio na equação (2.1).
ρ =
M
Vesf
=
M
4
3
pir3
ρ =
3M
4pi(D/2)3
ρ =
6M
piD3
(2.3)
Desta forma temos uma equação que envolve apenas as grandezas
medidas: Massa e Diâmetro. Este pro
edimento é fundamental para
evitar operações matemáti
as desne
essárias bem 
omo anotações de
algarismo 
om 10 a 12 dígitos nos pontos intermediários da operação.
ATEN�O: Jamais utilize valores pessimistas do pi 
om 3, 14 ou
3, 1415. Utilize sempre o valor da 
al
uladora, que geralmente possui
de 10 a 12 algarismos signi�
ativos, su�
ientes para a grande maioria
das situações.
Observe que a 
onstante 6 e a potên
ia 3 são valores reais (exatos)
pois surgem das de�nições:
CAPÍTULO 2. ALGARISMO SIGNIFICATIVOS 9
raio que é exatamente metade do diâmetro;
volume da esfera que é exatamente os quatro terços de pi, raio ao
ubo.
Desta forma, o 
�½l
ulo da densidade de massa se resume a uma úni
a
operação:
ρ =
6M
piD3
=
616
pi15, 3833
= 0, 0083945658 g/mm3
ou
ρ = 8, 3945658 g/cm3
já que 1mm3 = 10−3cm3.
Dos dados apresentados no problema, vemos que o diâmetro (15, 383mm)
possui 5 algarismos signi�
ativos, enquanto que a massa (16 g) pos-
sui apenas 2 algarismos signi�
ativos. O valor de pi das 
al
uladoras
modernas possuem entre 10 a 12 algarismos signi�
ativos e as demais
onstantes, 
omo o 3/4 e a potên
ia de 3, são valores exatos, portanto
possuem in�nitos algarismos signi�
ativos. Desta forma, o menor
número de algarismos signi�
ativos, nos valores envolvidos nesta ope-
ração matemáti
a, é dois e portando a resposta deve ter apenas dois
algarismos signi�
ativos:
ρ = 8, 3|945658 g/cm3
= 8, 4 g/cm3
2.2 Exer
í
ios
1. Dado as medidas A = 3, 43; B = 0, 046; C = 66, 23, D = 2, 0045, E = 12, 4
e F = 27 abaixo, determine os valores das operações a seguir.
(a) A+D
(b) A+ B + C +D
(
) A+ B + C +D + E + F
CAPÍTULO 2. ALGARISMO SIGNIFICATIVOS 10
(d) A+ 2B − 4C +D
(e) 2B2 + 4D
(f) A ·B
(g) F/D
(h) B2/C
(i) E2 · A3 ·B/(4F 3 ·D3)
(j) 1, 3E + 4C2/F 3
(k) 2, 5F ·B + 4D3
(l) 2E3 ·B/(C
√
F ·D3)
(m) 3D · sin(2C)
(n) C · ln(B/D)
(o) C · tan(3C/A2)
(p) 3D · A · sin(C · F/B)
(q) 4C/F 1/4 · tan(2piA/(B3 · E))
2. Um 
ilindro de 40, 28mm de altura e 20, 025mm de diâmetro, possui uma
massa de 90, 50 g. Determine a densidade de massa do 
ilindro.
Capítulo 3
In
erteza
Ao medir o 
omprimento da peça ilustrada na Figura 2.1, 
om uma es
ala 
en-
timetrada, foi obtido o valor 33, 7 cm, onde, 
omo dito anteriormente, 33 cm 
or-
responde a leitura direta da es
ala, enquanto que 0, 7 cm é a avaliação, que está
sujeita a um erro de medida.
Embora não seja possível saber o valor exato do algarismo de avaliação,
se pode a�rmar que sua indeterminação é inferior a resolução da es
ala, 1 cm. O
quanto inferior a 1 cm, �
a a en
argo do operador da medida. Uma boa base para
a in
erteza é usar 
omo ponto de partida a metade da menor divisão da es
ala.
Isto signi�
a que o valor medido da peça esta num intervalo inferior a ±0, 5 cm
entrado em torno do algarismo de avaliação ou seja, o valor mais provável
deste 
omprimento está dentro do intervalo: 33, 2 cm e 34, 2 cm.
É dito que esta medida está sujeita a uma in
erteza de ao menos metade da
menor divisão da esta
a, ±0, 5 cm, para 
ima e para baixo. Portando a medida
do 
omprimento da peça na Figura 2.1 pode ser es
rita 
omo:
L = (33, 7± 0, 5) cm
Portanto, a in
erteza (±0, 5 cm no exemplo a
ima) mede a impossibilidade de
determinação do valor real de uma medida.
ATEN�O: A in
erteza de uma medida não pode possuir mais do que
um algarismo signi�
ativo, a menos quanto apare
er em 
ál
ulos intermediários.
Neste 
aso o trun
amento deverá ser efetuado ao �nal dos 
ál
ulos.
3.0.1 Determinando o Valor daIn
erteza
Um bom valor para a in
erteza de uma medida, pode ser tomado 
omo sendo a
metade da menor divisão da es
ala empregada do instrumento de medida. Assim
sendo, em uma régua milimetrada, onde a menor divisão é 1mm, teria 
omo
in
erteza 0, 5mm, enquanto que numa régua 
entimetrada, 
om a menor divisão
sendo 1 cm, a in
erteza poderia ser estimada 
omo 0, 5 cm.
11
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 12
Mas isto não é de forma nenhuma uma regra geral. Há o
asiões em que se
pode es
olher valores menores para a in
erteza e outras, em que e teremos de
es
olher valores muito maiores para a in
erteza. Em outras palavras, a in
erteza
de uma medida depende muito das 
ondições em que a medida é realizada, 
om
o posi
ionamento da es
ala de leitura, vibrações na es
ala ou objeto de medida,
apa
idade visual do operador, da perí
ia do operador do instrumento de medida,
e outras.
3.1 Operações 
om In
ertezas
Para efetuar operações 
om medidas e in
ertezas, é ne
essário 
riar uma álgebra
espe
ial que tome os devidos 
uidados 
om manipulação numéri
a das in
ertezas
destas medidas, de forma a propagar estas in
ertezas ao longo das operações
matemáti
as 
om 
oerên
ia.
Para ilustra as operações 
om in
ertezas, vou tomar 
omo exemplo o 
ál
ulo
da área super�
ial de uma 
hapa metáli
a de dimensões aproximadas iguais a:
180 cm×74 cm. Para isto dispomos de uma régua 
entimetrada de 100 cm (menor
divisão 1cm).
Posi
ionando o zero da régua e exe
utando a medida da largura da pla
a,
obtemos 73, 4 cm 
om uma in
erteza de 0, 5 cm, ou seja L = (73, 4 ± 0, 5) cm.
Apenas para lembrar, 73 cm de leitura na es
ala da régua 
entimetrada e 0, 4 cm
de avaliação, ou seja, além da menor divisão da es
ala.
A medida do 
omprimento da pla
a deve ser efetuada em duas etapas, visto
que a régua possui apenas 100 cm. No primeira medida é obtido C1 = (100, 0 ±
0, 5) cm, já na segunda medida é obtido C2 = (87, 3± 0, 5) cm.
O 
omprimento total é portanto a soma dos dois 
omprimentos C = C1 +C2.
Neste ponto, teremos de de�nir uma regra para a soma e subtração de medidas
om in
ertezas.
3.1.1 Soma e Subtração
De�nição 1 Seja A = (a±∆a) e B = (b±∆b) duas medidas 
om as in
ertezas
∆a e ∆b respe
tivamente. A soma das duas medidas A e B é de�nida 
omo
A+ B = (a+ b)± (∆a+∆b) (3.1)
De�nição 2 Seja A = (a±∆a) e B = (b±∆b) duas medidas 
om as in
ertezas
∆a e ∆b respe
tivamente. A subtração das duas medidas A e B é de�nida 
omo
A−B = (a− b)± (∆a+∆b) (3.2)
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 13
Tanto na soma quanto na subtração, as in
ertezas são adi
ionadas, o que
representa um aumento na in
erteza para a determinação do valor destas medidas
após tais operações.
Exemplo:
Cal
ulando agora o 
omprimento total da pla
a
C = C1 + C2
= (100, 0± 0, 5) + (87, 3± 0, 5)
= (187, 3± 1, 0)
Observe que a in
erteza do 
omprimento da mesa, C, está 
om dois algarismos
signi�
ativos (±1, 0). Neste momento não se deve trun
ar os valores ainda, pois
não é objetivo do problemas determinar o 
omprimento da 
hapa metáli
a e sim
sua área. Portanto deixe o resultado do 
omprimento 
omo está.
Voltando ao problema, a área pro
urada é o produto do 
omprimento C pela
largura L
A = CL
As de�nições abaixo mostram os pro
edimentos matemáti
os para multipli
ar
e dividir medidas 
om in
ertezas.
3.1.2 Produto e Divisão
De�nição 3 Seja A = (a ± ∆a) e B = (b ± ∆b) duas medidas 
om as suas
respe
tivas in
ertezas. O Produto entre A e B é de�nido 
omo
A ·B = a · b
{
1±
[
∆a
a
+
∆b
b
]}
(3.3)
De�nição 4 Seja A = (a ± ∆a) e B = (b ± ∆b) duas medidas 
om as suas
respe
tivas in
ertezas. A Divisão entre A e B é de�nido 
omo
A
B
=
a
b
{
1±
[
∆a
a
+
∆b
b
]}
(3.4)
Demonstração: Tomando o produto termo a termo entre as medidas A e
B, temos
A ·B = (a±∆a) · (b±∆b)
= a · b± (a∆b+ b∆a+∆a∆b)
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 14
O último termo na in
erteza, ∆a∆b, é muito pequeno se 
omparado aos outros
dois, e portanto é desprezado. Assim
A ·B = a · b± (b∆a+ a∆b)
= a · b± a · b
(
∆a
a
+
∆b
b
)
Colo
ando o produto a · b em evidên
ia temos
A ·B = a · b
{
1±
[
∆a
a
+
∆b
b
]}
A razão ∆a/a é 
hamada de in
erteza relativa da medida A, uma vez que ela
traz uma 
omparação entre a in
erteza ∆a e a medida a.
Antes de voltar ao 
ál
ulo da área da pla
a, observe as in
ertezas relativas do
omprimento e da largura da pla
a em questão:
∆c
c
=
1, 0
187, 3
= 0, 0053390 = 0, 53%
enquanto que na largura,
∆l
l
=
0, 5
73, 4
= 0, 00681199 = 0, 68%
ou seja, mesmo que a in
erteza da largura (0, 5 cm) seja menor que a in
erteza
do 
omprimento (1, 0 cm), este último é a medida mais pre
isa, visto que sua
in
erteza relativa é de apenas 0, 53% do valor medido enquanto que na largura é
de 0, 68%.
Exemplo:
Voltando ao 
ál
ulo da área total,
A = C · L
= 187, 3 · 73, 4
{
1±
[
1, 0
187, 3
+
0, 5
73, 4
]}
= (13747, 82± 167, 05) cm2
A = (1, 374782± 0, 016705)m2
Como a área é o resultado �nal pedido pelo problema, o seu valor
deverá ser trun
ado, deixando a in
erteza 
om apenas um algarismo
signi�
ativo, 
omo diz a regra.
Ini
ie o trun
amento pela in
erteza, 0, 016705:
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 15
1. Da esquerda para a direita, faça o trun
ando após o primeiro
algarismo diferente de zero, neste 
aso o 1, 0, 01|6705;
2. Se o dígito seguinte for {5, 6, 7, 8, 9}, arredondar para 
ima o pri-
meiro algarismo da in
erteza, enquanto que {0, 1, 2, 3, 4} mante-
nha o valor. Neste 
aso �
a: 0, 01|6705=0, 02;
3. Após isto, jogar fora todos os algarismos da in
erteza além do
primeiro, �
amos a in
erteza 
om apenas 
om um algarismo sig-
ni�
ativo, 0, 02.
Na mesma ordem de grandeza em que foi trun
ado a in
erteza, trun
ar
o valor da área. Neste 
aso a in
erteza foi trun
ada no 
entésimo, faça
o mesmo no valor da área 
al
ulada, trun
ando após o primeiro sete,
om a mesma regra no arredondamento: 1, 37|4782 = 1, 37.
Veja todo o pro
esso representado abaixo, passo a passo:
A = (1, 374782± 0, 01|6705)m2
= (1, 374782± 0, 02)m2
= (1, 37|4782± 0, 02)m2
A = (1, 37± 0, 02)m2
3.1.3 Potên
ia
A regra para o 
ál
ulo 
om in
ertezas de potên
ias, pode ser fa
ilmente obtida
através da regra do produto, 
omo segue na demonstração abaixo:
Demonstração: Come
e 
om o quadrado de uma medida A, que segundo a
regra de produto pode ser es
rita 
omo
A2 = A · A
= a · a
{
1±
[
∆a
a
+
∆a
a
]}
= a2
{
1± 2∆a
a
}
Da mesma forma A3 pode ser desenvolvido 
omo um produto de A2 por A:
A3 = A2 · A
= a2 · a
{
1±
[
2
∆a
a
+
∆a
a
]}
= a2 · a
{
1± 3∆a
a
}
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 16
Estendendo o pro
esso para An, é fá
il demonstrar que
A4 = A4 · A
.
.
.
An = An−1 · A
= an−1 · a
{
1±
[
(n− 1)∆a
a
+
∆a
a
]}
= an
{
1± n∆a
a
}
Embora a demonstração tenha sido feita para n inteiro, a regra será extrapo-
lada para qualquer outro n ∈ ℜ.
De�nição 5 Seja A = (a ± ∆a) uma medida, onde n ∈ ℜ. A potên
ia An é
de�nido 
omo
An = an
{
1± |n∆a
a
|
}
(3.5)
O mais importante desta expressão é a n
erteza relativa de An,
|n∆a
a
| (3.6)
que será empregada na seção seguinte, na resolução de produtos mais 
omplexos.
3.1.4 Produtos Compostos
Operações que envolvem apenas produtos e potên
ias, podem e devem ser re-
solvidas em apenas duas operações, evitando assim anotações de resultados de
operações intermediárias, geralmente desne
essárias. A ideia empregada aqui é o
uso intensivo das in
ertezas relativas, es
revendo o produto 
omo:
produto± produto · (soma das incertezasrelativas) (3.7)
Para isto é ne
essário 
onhe
er as in
ertezas relativas das grandezas envolvi-
das. Considere o exemplo abaixo:
Exemplo:
Sendo A = (a ±∆a), B = (b ±∆b), C = (c ±∆c), D = (d ±∆d) e
E = (e±∆e) medidas 
om as suas respe
tivas in
ertezas, determine
a expressão para o 
ál
ulo do produto:
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 17
A2
√
B3C
3
√
DE
Solução: Ini
ialmente expanda a função para uma base mais simples,
eviden
iando as potên
ias envolvidas no problema:
A2
√
B3C
3
√
DE
=
A2B3/2C1/2
D1/3E
A operação 
ompleta deve ser feita em duas operações: o produto,
propriamente dito, e o produto pela soma das in
ertezas relativas de
ada grandeza envolvida. A tabela a seguir apresenta as in
ertezas
relativas das grandezas envolvidas:
Termo In
erteza Relativa
A2 2
∆a
a
B3/2
3
2
∆b
b
C1/2
1
2
∆c
c
D1/3
1
3
∆d
d
E
∆e
e
Atenção: não 
al
ule estas in
ertezas separadamente, a tabela a
ima
é apenas para eviden
iar as operações a serem realizadas.
A operação 
ompleta é apresentada a seguir:
A2
√
B3C
3
√
DE
=
a2b3/2c1/2
d1/3e
{
1±
[
2
∆a
a
+
3
2
∆b
b
+
1
c
∆c
c
+
1
3
∆d
d
+
∆e
e
]}
ou se preferir:
A2
√
B3C
3
√
DE
=
a2b3/2c1/2
d1/3e
±a
2b3/2c1/2
d1/3e
[
2
∆a
a
+
3
2
∆b
b
+
1
c
∆c
c
+
1
3
∆d
d
+
∆e
e
]
Embora sejam duas operações matemáti
as longas, ainda assim são
apenas duas operações:
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 18
o produto:
PD =
a2b3/2c1/2
d1/3e
a in
erteza:
PD ×
[
2
∆a
a
+
3
2
∆b
b
+
1
c
∆c
c
+
1
3
∆d
d
+
∆e
e
]
Pode pare
er um pou
o 
omplexo a primeira vista, no entanto este pro
edi-
mento simpli�
a enormemente as operações matemáti
as realizadas, prin
ipal-
mente por eliminar a inserção repetitiva de números na 
al
uladora, evitando
erros na 
ópia, e a 
ópia desne
essárias de valores intermediários 
om números de
10 a 12 algarismos, uma vez que não se pode arredondar os valores até se atingir
o resultado �nal.
3.1.5 Funções
Para funções 
omo sin(x), cos(x), log(x), e outras, a regra de produtos e soma
apresentados a
ima são insu�
ientes para uma avaliação adequada da in
erteza.
0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
x0 x0 + ∆xx0 - ∆x
∆f
F(x)
x
f
∆f
Figura 3.1: Visualização dos parâmetros de in
erteza para uma função.
Quando avaliamos uma função no intervalo de�nido de uma medida ([x+∆x]−
[x −∆x]), podemos obter variações que podem aumentar ou mesmo diminuir o
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 19
valor da in
erteza, depende apenas da forma 
omo a função varia no intervalo do
seu argumento.
Um bom método para avaliação de uma função apli
ada a uma medida 
om
in
ertezas, é analisar valor da função nos extremos de seu argumento (in
erteza).
Para entender melhor este pro
edimento vamos utilizar o grá�
o da �gura 3.1.5,
omo se segue:
De�nição 6 Seja X = (x ± ∆x) uma medida. O Valor da função F (X) é
de�nido 
omo:
F (X) = f ±∆f (3.8)
onde f é obtido pela média da função nos extremos do argumento:
f =
f(x+∆x) + f(x−∆x)
2
(3.9)
e a in
erteza, é tomada 
omo sendo a metade do intervalo da variação da função:
∆f =
|f(x+∆x)− f(x−∆x)|
2
(3.10)
Veja o exemplo a seguir.
Exemplo:
En
ontre o seno do ângulo θ = (23, 5± 0, 5)0.
F (θ) = sin(θ)
F (θ) = f ±∆f
onde
f =
sin(23, 5 + 0, 5) + sin(23, 5− 0, 5)
2
= 0, 398733885
e
∆f =
| sin(23, 5 + 0, 5)− sin(23, 5− 0, 5)|
2
= 0, 008002757294
portanto a avaliação da função pedida é
sin(23, 5± 0, 5) = 0, 398733885± 0, 008002757294
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 20
Trun
ando o resultado,
sin(23, 5± 0, 5) = 0, 398733885± 0, 008|002757294
= 0, 398|733885± 0, 008|002757294
= 0, 399± 0, 008
3.2 Média Simples e Desvio Médio
Em algumas situações a determinação das fontes de erro de uma medida ou
mesmo a avaliação de sua in
erteza pode ser pou
o ine�
iente dado o grau de
omplexidade das fontes de erros e impre
isões presentes no experimento. Nestas
o
asiões é 
onveniente trabalhar 
om um 
onjunto de medidas e fazer uso de té
-
ni
as estatísti
as para avaliar a medida e a in
erteza envolvida nos pro
edimentos
experimentais.
Tratamento estatísti
os envolvem análises mais 
omplexas que as apresentadas
aqui, no entanto este texto não pretende se aprofundar nestas questões e portanto
será empregada uma té
ni
a simples de média e desvio médio para o tratamento
deste tipo de problema.
Desta forma, para um 
onjunto de n medidas de um 
omprimento, o seu valor
médio será de�nido 
om a média aritméti
a dos 
omprimentos medidos,
x¯ =
1
n
n∑
i=1
xi (3.11)
onde xi é o i-ésimo 
omprimento medido, e a soma se estende sobre todas a n
medidas. A in
erteza será avaliada 
om o desvio médio 
omo segue:
∆¯x =
1
n
n∑
i=1
|x¯− xi| (3.12)
E portanto, a medida será simplesmente (x¯± ∆¯x). Outros métodos estatísti-
os, 
omo desvio padrão σ ou (σ−1), também são a
eitáveis, no entanto o desvio
médio 
ostuma dar um valor maior para a in
erteza, o que lhe deixa mais folga
no resultado en
ontrado.
Exemplo:
Dado um 
onjunto de medidas de um 
omprimento:
{12, 4 cm; 12, 0 cm; 12, 6 cm; 12, 9 cm; 12, 5 cm; 11, 8 cm}
En
ontre a média e o desvio médio deste 
omprimento.
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 21
x¯ =
1
6
{12, 4 + 12, 0 + 12, 6 + 12, 9 + 12, 5 + 11, 8}
= 12, 366667
e a in
erteza,
∆¯x =
1
6
{|12, 36667− 12, 4|+ |12, 36667− 12, 0|+ |12, 36667− 12, 6|
+|12, 36667− 12, 9|+ |12, 36667− 12, 5|+ |12, 36667− 11, 8|}
∆¯x = 0, 311111
Trun
ando o resultado �nal,
X = (12, 3|66667± 0, 3|11111) = (12, 4± 0, 3) cm
3.2.1 Deixando a Média para mais Tarde...
Há algumas o
asiões em que é 
onveniente deixar a média e o desvio média para
ser feita ao �nal e não diretamente sobre as medidas. Considere o exemplo a
seguir:
Exemplo:
Um Pêndulo Simples 
om um �o de (600± 1)mm de 
omprimento é
olo
ado para exe
utar 30 os
ilações, 
om os tempos para este mo-
vimento sendo medidos por um 
ron�metro manual e seus valores
anotados na Tabela 3.1. Determine a a
eleração da gravidade para
este experimento.
# t (s)
1 45,540
2 46,600
3 45,492
4 45,954
5 46,934
6 46,555
Tabela 3.1: Medida dos tempos para 30 os
ilações do pêndulo.
Resolução:
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 22
Segundo a literatura, a frequên
ia angular de os
ilação de um Pêndulo
Simples é dado pela equação:
ω =
√
g
L
onde a frequên
ia angular se rela
iona 
om a frequên
ia pela expressão
ω = 2pif e esta 
om o período 
om f = 1/T . Desta forma a expressão
para o período da os
ilação será:
T = 2pi
√
L
g
onde
T =
t
n
Juntando as equações a
ima e rees
revendo a expressão para a a
ele-
ração da gravidade:
g =
4pi2n2L
t2
O tempo médio e o desvio médio é 
al
ulado pelas equações (3.11) e
(3.12),
t¯ = (46, 179± 0, 517)s
A média e o desvio médio dos tempos apresentados na Tabela 3.1, é t¯ =
(46, 179± 0, 517)s. Observe que a in
erteza relativa deste tempo médio (∆t¯/t¯ =
0,0111) é quase sete vezes maior que a in
erteza relativa da medida do 
ompri-
mento do �o (∆L/L = 0, 0017), a outra medida envolvida no experimento.
Em situações 
omo estas se pode ignorar as in
ertezas das demais medidas
em detrimento das impre
isões na medida do tempo, uma vez que as fontes de
erro envolvidas nestas medidas geram um desvio signi�
ativamente superior às
demais in
ertezas avaliadas no experimento.
Neste 
aso o pro
edimento mais adequado é 
al
ular um g (a
eleração da
gravidade) paraada medida de tempo e ao �nal, fazer a média e o desvio médio
destes valores.
Continuando...
Cal
ulando um g para 
ada tempo medido na Tabela 3.1,
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 23
# t (s) g (m/s2)
1 45,540 10,279
2 46,600 9,817
3 45,492 10,301
4 45,954 10,095
5 46,934 9,678
6 46,555 9,836
Tabela 3.2: Medida dos tempos para 30 os
ilações no pêndulo.
Para terminar, basta fazer a média e o desvio médio dos g's, ter
eira
oluna da Tabela 3.2.
g = 10, 00108± 0, 22409 = (10, 0± 0, 2)m/s2
Este pro
edimento é muito rápido de ser realizado 
om o uso de planilha de
ál
ulo 
omo Calligra Sheets, MS Ex
el, LibreO�
e Cal
, entre outras. Uma
outra vantagem signi�
ativa para o uso deste pro
edimento é o fato de não ter
que fazer 
ál
ulos 
om in
ertezas neste 
aso, o que pode ser bastante tedioso em
algumas situações.
3.3 Exer
í
ios
1. Dado as medidas A = 3, 43± 0, 05; B = 0, 046± 0, 002; C = 66, 23± 0, 03;
D = 2, 0045± 0, 0005; E = 12, 4± 0, 7; e F = 27± 3, determine os valores
das operações a seguir.
(a) A+D
(b) A+ B + C +D
(
) A+ B + C +D + E + F
(d) A+ 2B − 4C +D
(e) 2B2 + 4D
(f) A ·B
(g) F/D
(h) B2/C
(i) E2 · A3 ·B/(4F 3 ·D3)
(j) 1, 3E + 4C2/F 3
(k) 2, 5F ·B + 4D3
(l) 2E3 ·B/(C
√
F ·D3)
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 24
(m) 3D · sin(2C)
(n) C · ln(B/D)
(o) C · tan(3C/A2)
(p) 3D · A · sin(C · F/B)
(q) 4C/F 1/4 · tan(2piA/(B3 · E))
2. Das medidas A, B, C, D, E e F , apresentadas na questão anterior, deter-
mine qual é a mais pre
isa.
3. Nos resultados apresentados a seguir, pro
eda 
om o trun
amento ade-
quado, se ne
essário.
(a) 2, 345235± 0, 002432
(b) 98348579, 345± 767, 234
(
) 0, 01234235± 0, 23145
(d) 1234, 0234± 11, 34536
(e) 0, 0023423451± 0, 00002342
(f) 2342, 12× 10−5 ± 3, 24× 10−5
(g) (3425, 2345± 12, 243)× 10−12
(h) 0, 0097894± 2, 823523× 10−5
(i) 2, 34287× 10−5 ± 5, 645× 10−6
4. En
ontre o valor médio e o desvio médio, nas medidas abaixo.
(a) 5, 23; 5, 67; 5, 02; 6, 22; 4, 98; 5, 57
(b) 12, 34; 12, 87; 13, 78; 14, 20; 12, 76; 13, 00
5. Um 
ilindro de (40, 28 ± 0, 01)mm de altura e (20, 025 ± 0, 005)mm de
diâmetro, possui uma massa de (90, 50 ± 0, 01) g. Determine a densidade
de massa do 
ilindro.
6. Durante um experimento de lançamento horizontal de projéteis, uma esfera
é lançada dez vezes obtendo os al
an
es (∆x ) apresentados abaixo, em
milímetros:
407 412 405 410 403 401 413 412 422 408
Sendo a altura do lançamento igual a (1000±5)mm e g = (9, 8±0, 1)m/s2,
(a) determine a velo
idade de lançamento através do al
an
e médio e seu
desvio. (b) Cal
ule a velo
idade média e seu desvio, através do 
ál
ulo da
velo
idade para 
ada lançamento (A equação do al
an
e é ∆x = v0
√
2h/g,
onde v0 é a velo
idade de lançamento horizontal.).
Capítulo 4
Representação Grá�
a
Um grá�
o é uma ferramenta muito poderosa quando bem empregado. Uma
grande quantidade de informações podem ser abstraídas de representação grá�
a
de um 
onjunto de dados, sem mesmo saber do que se trata os dados apresentados.
Tomando 
omo exemplo um estudo hipotéti
o do movimento de uma partí
ula
em suspensão representados pelos dados da Tabela 4. Uma observação direta
desta tabela não permite veri�
ar 
om pre
isão máximos, mínimos, tendên
ias,
omportamentos polinomiais ou outra qualquer outro.
t(s) 1 2 3 4 5 6 7 8
y(cm) 9,8 10,5 11,4 12,6 12,5 13,7 13,8 13,9
t(s) 9 10 11 12 13 14 15 �
y(cm) 14,3 13,9 13,8 13,5 13,2 13,4 13,2 �
Tabela 4.1: Tabela hipotéti
a representando o movimento de um 
orpo ao longo
do eixo-y.
Entretanto, uma representação grá�
a, permite várias indagações a respeito
do experimento em parti
ular. Observe a representação grá�
o destes dados na
Figura 4.
Através do grá�
o é possível veri�
a: a tendên
ia de 
res
imento linear entre
os instantes 0 e 7 s; um máximo em aproximadamente 9 s e talvez outro em 14 s;
alguns pontos que fogem a tendên
ia normal, 
omo por exemplo nos instantes
4 s, 6 s e 9 s.
Com um pou
o mais de informação sobre o problema, várias outras 
on
lusões
podem ser obtidas. Entretanto o objetivo aqui é quanto a 
riação e formatação
do grá�
o.
Alguns pontos 
haves devem ser observados na 
riação de grá�
os:
1. Os eixos dos grá�
os não podem apresentar mais pre
isão do que a existente
nos dados experimentais. Observe que o eixo x e y do grá�
o da Figura 4
25
CAPÍTULO 4. REPRESENTAÇ�O GRÁFICA 26
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Tempo (s)
9.0
10.0
11.0
12.0
13.0
14.0
15.0
D
es
lo
ca
m
en
te
 (c
m)
Movimento de Parti´culas em Suspens~ao
Possi´vel subti´tulo ...
Figura 4.1: Representação grá�
a dos dados da Tabela 4.
possui a mesma pre
isão dos dados experimentais que o originou, Tabela 4.
Valores 
omo 9,00; 10,00; . . . no eixo de Deslo
amento deste grá�
o, seriam
errado, pois os dados não possuem tal pre
isão.
2. A 
olo
ação de rótulos nos eixos x e y de um grá�
o é obrigatória. Os
rótulos devem apare
er abaixo do eixo, para o eixo horizontal, e à direita
para o eixo verti
al. A unidade da grandeza deve apare
er entre [℄ ou ().
Estes rótulos devem ser 
laros e objetivos, expressando bem as grandezas
que representam.
3. O título do grá�
o (bem 
omo o sub-título) deve ser 
olo
ado a
ima e
entralizado, 
onforme o exemplo da Figura 4. O título deve ser 
laro e
objetivo, permitindo uma boa 
ompreensão dos dados experimentais apre-
sentados no grá�
o. Estes também são es
ritos 
om letras maiores que as
demais empregadas no grá�
o, para desta
ar. Tanto o título 
omo o sub-
título não são obrigatórios. Ao invés destes, pode-se utilizar de uma breve
des
rição na parte inferior do grá�
o, 
onhe
idos no inglês 
omo 
aption.
Um exemplo de des
rição poderia ser:
�Figura 02. Deslo
amento de mi
ro partí
ulas em suspensão sobre a ação
de uma 
orrente de 
onvi
ção.�
Não é usual a utilização de Título no grá�
o juntamente 
om a Des
rição,
portanto, use um ou outro.
CAPÍTULO 4. REPRESENTAÇ�O GRÁFICA 27
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Tempo (s)
9.0
10.0
11.0
12.0
13.0
14.0
15.0
D
es
lo
ca
m
en
te
 (c
m)
dados
∆x = 9.4893 + 0.61905 t
∆x = 11.226 + 0.20929 t
∆x = 8.8433 + 1.0501 t - 0.052553 t2
Figura 4.2: Ajustes aos pontos experimentais: Linha 
ontínua, ajuste linear 
om
os oito primeiros pontos; Linha pontilhada, ajuste linear 
om todos os pontos;
Linha pontilhada ajuste a um polin�mio de segundo grau 
om todos os pontos.
4. A área útil, o
upada pelos pontos experimentais, deve preen
her ao menos
de 60% a 75% do espaço do grá�
o. No exemplo apresentado na Figura 4
o grá�
o possui a área total de (16− 0)× (15− 9) = 96 cm · s. Já os pontos
experimentais o
upam uma área de (15−1)× (14, 3−9, 8) = 63 cm · s. Isto
signi�
a que há um aproveitamento de aproximadamente 100% × 63/96 =
66% da área do grá�
o.
5. Um grá�
o deve possuir uma razão entre as dimensões físi
as Altura/Comprimento
não superior a 1, 4 e inferior a 0, 712. Razões fora destes valores deixam o
grá�
o muito 
omprido ou muito longo, di�
ultando a leitura dos pontos
experimentais, bem 
omo a veri�
ação do 
omportamento físi
o dos dados.
6. Os in
rementos utilizados nos eixos horizontais e verti
ais devem ser múl-
tiplos de 1, 2 e 5. Outros valores tornam difí
il a leitura nas es
alas de
pontos intermediários 
omo 3, 3; 4, 7; . . .
7. Não se deve mar
ar em hipótese alguma os valores dos pontos experimentais
nas es
alas do grá�
o. Este pro
edimento 
arrega o grá�
o 
om informações
inúteis que di�
ultam a leitura das es
alas. Numa representação grá�
a o
interesse maior é no 
omportamento dos dados experimentais e não no valor
espe
i�
o de um ponto em parti
ular.
8. Umaurva de tendên
ia suave pode ser feita através dos pontos, mas jamais
ligando-os, a menos que isto possua algum signi�
ado real, o que geralmente
CAPÍTULO 4. REPRESENTAÇ�O GRÁFICA 28
não o
orre em experimentos físi
os.
9. Retas médias em geral não passam pelo primeiro e último ponto do ex-
perimento. Este pro
edimento leva ao total abandono dos demais pontos
experimentais, que são igualmente importantes 
omo o primeiro e o último.
10. Os pontos experimentais deve apare
er de forma 
lara no grá�
o, simboliza-
dos por 
ír
ulos, triângulos, quadrados ou outro símbolo apropriado. Estes
devem se visíveis de modo a não serem mas
arados pela linha de tendên
ia,
omentada no ítem anterior.
4.1 Exer
í
ios
1. Os dados de uma 
urva Corrente x Tensão são apresentados na tabela
abaixo. Monte o grá�
o destes dados numa folha milimetrada e tra
e uma
urva de tendên
ia para os dados experimentais.
Corrente (mA) Tensão (V)
0,00 0,0
0,15 2,1
0,30 2,6
0,45 1,2
0,60 0,8
0,75 0,0
0,90 1,8
1,05 5,3
1,20 8,8
2. Faça o grá�
o força x deslo
amento para os dados experimentais apresen-
tados na tabela abaixo e determine a 
onstante elásti
a deste objeto, pela
in
linação da reta média.
Deslo
amento (
m) Força (N)
0,5 0,01
1,5 0,05
2,0 0,40
2,5 0,65
3,0 0,90
3,5 1,15
4,0 1,25
4,5 1,50
5,0 2,22
CAPÍTULO 4. REPRESENTAÇ�O GRÁFICA 29
3. Os dados de uma 
urva Corrente x Tensão são apresentados na tabela
abaixo. Monte o grá�
o destes dados numa folha milimetrada.
Corrente (mA) Tensão (V)
12,0 0,01
6,8 0,12
3,6 0,25
0,2 0,45
0,0 0,58
1,4 0,70
6,8 0,84
10,0 0,97
12,0 1,12
Capítulo 5
Respostas
5.1 Algarismo Signi�
ativos
1. (a) 5, 43; (b) 71, 71; (
) 111; (d) −259, 4; (e) 8, 0222; (f) 0, 16; (g) 13; (h)
3, 2 × 10−5; (i) 4, 5 × 10−4; (j) 17, 0; (k) 35, 3; (l) 0, 18; (m) 4, 436; (n)
−2, 5× 102; (o) 20, 1; (p) −2, 1; (q) 84
2. 7, 13 g/cm3
5.2 In
ertezas
1. (a) 5, 43 ± 0, 05; (b) (7, 171 ± 0, 008) × 101 (
) (1, 11 ± 0, 04) × 102; (d)
(−2, 594 ± 0, 002) × 102 (e) 8, 022 ± 0, 002; (f) (1, 58 ± 0, 09) × 10−1; (g)
(1, 3±0, 1)×101; (h) (3, 2±0, 3)×10−5; (i) (5±2)×10−4; (j) (1, 7±0, 1)×101;
(k) (3, 53 ± 0, 05) × 101; (l) (1, 8 ± 0, 5) × 10−1; (m) 4, 436 ± 0, 005; (n)
(−2, 50±0, 03)×102, (o) (2, 01±0, 06)×101; (p) (0±2)×101; (q) (8±1)×101
2. D 
om 0, 03% seguido de C 
om 0, 045%.
3. (a) 2, 345±0, 002; (b) (9, 83486±0, 00008)×107; (
) 0, 0±0, 2; (d) (1, 23±
0, 01) × 103; (e) (2, 34 ± 0, 02) × 10−3; (f) (2, 342 ± 0, 003) × 10−2; (g)
(343± 1)× 10−11; (h) (9, 79± 0, 03)× 10−3; (i) (2, 3± 0, 6)× 10−5
4. (a) 5, 4± 0, 4; (b) 13, 2± 0, 6
5. ρ = (7, 134± 0, 006)g/cm3
6. (a) v0 = (0, 91± 0, 02)m/s; (b) v0 = (0, 91± 0, 01)m/s
30
CAPÍTULO 5. RESPOSTAS 31
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20
Corrente [mA]
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
Te
ns
ão
 [V
]
V(V) = 0.27475 + 16.371 * I - 43.87 * I2 + 30.428 * I3
5.3 Representação Grá�
a
1. Grá�
o
2. Grá�
o
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
Deslocamento [cm]
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
Fo
rç
a 
[N
]
F (N) = -0,74464 + 0,54143 * x
A (1,5; 0,0675)
B (5,0; 1,9625)
k = 
∆F
∆x
 = 
(1,9625-0,0675)
(5,0-1,5) = 0,54143 N/cm
3. Grá�
o não apresentado.