Alg Significativos e Incertezas

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Algarismos Significativos, Incertezas
e Gráficos
Prof. Ms. Rudson Ribeiro Alves
Prof. Ms. Tiago Pulce Bertelli
Laboratório de Física Experimental
Universidade Vila Velha
4 de outubro de 2013
Sumário
1 Introdução 2
1.1 Valor Real e Valor Medido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Algarismo Significativos 4
2.1 Operações Matemáticas com Algarismos Significativos . . . . . . . 6
2.1.1 Soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 Produto e Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Incerteza 11
3.0.1 Determinando o Valor da Incerteza . . . . . . . . . . . . . 11
3.1 Operações com Incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.1 Soma e Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.2 Produto e Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.3 Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.4 Produtos Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.5 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Média Simples e Desvio Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1 Deixando a Média para mais Tarde... . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Representação Gráfica 25
4.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 Respostas 30
5.1 Algarismo Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2 Incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3 Representação Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1
Capítulo 1
Introdução
1.1 Valor Real e Valor Medido
Um dos objetivos do Laboratório de Física Experimental I é introduzir o aluno
em técnicas de medidas mecânicas e nas operações matemáticas necessárias para
alcançar os resultados desejados.
Ao medir o comprimento de uma mesa, o valor obtido é chamado de valor me-
dido. Este valor medido estará sempre sujeita a uma incerteza a qual depende do
instrumento de medida empregado, das condições de operação deste instrumento
e da habilidade do operador entre outros fatores menos intuitivos.
Na medida do comprimento do corpo da Figura 2.1, por exemplo, é em-
pregado uma régua centimetrada, resultando uma medida de 33, 7 cm. Se for
empregado uma régua milimetrada, a medida pode ser feita com mais um al-
garismos, resultando em algo como 33, 73 cm. Se um instrumento ainda mais
preciso for empregado nesta medida, o valor medido pode ser ainda mais preciso,
como 33, 728 cm.
Se continuarmos a empregar instrumentos cada vez mais precisos, teremos
medidas mais precisas?
A resposta a esta pergunta é Não! Haverá um momento em que o instru-
mento de medida estará medindo as imperfeições das bordas do corpo (rugosi-
dades), e por isto, não faz mais sentido utilizar equipamentos mais precisos para
esta medida. Isto significa que não existe um valor real para a medida deste
comprimento.
O valor real de uma medida geralmente não existe, a menos que se esteja
medindo um grandeza padrão, como por exemplo:
Velocidade da luz: 299.792.458m/s;
Ponto Tríplice da água (a 1 atm): 373, 125K;
Massa do C12 = 12 u;
Número de átomos de Hidrogênio na molécula de água;
2
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 3
Estas grandezas são padrões de medidas e portando possuem um valor real
para a sua medida. Medidas que faremos em laboratório em geral não recaem
sobre estas classes de medidas.
Nos capítulos seguintes serão apresentados as metodologias matemáticas ade-
quadas para trabalhar com medidas, tratando os algarismos de forma conserva-
tiva, prezando a qualidades dos resultados alcançados.
Este texto não tem a intenção de ser um tratado de metodologias matemáticas
para aplicações gerais. O foco dos métodos apresentados aqui está na simplici-
dade matemática e agilidade em sua execução, quando possível, focando rápida
determinação dos resultados experimentais com fins didáticos, sem primar na
qualidade absoluta de suas operações e metodologias.
Isto significa que estas metodologias, em geral, podem não ser adequadas
para o uso em experimentos profissionais ou para fins de pesquisa, sendo nestas
ocasiões aconselhável que se procure textos mais profissionais de metrologia.
Capítulo 2
Algarismo Significativos
Na Figura 2.1 é apresentado um exemplo de uma medida de comprimento, reali-
zada com uma régua centimetrada.
30
1 2 3 4 5
33,7 cm
Um algarismo de avaliação
Dois algarismos de leitura na escala
Figura 2.1: Exemplo de medida de uma régua centimetrada.
O valor medido na régua foi de 33, 7 cm, sendo os dois primeiros algarismos
uma leitura direta na escala da régua (33 cm) e o último uma avaliação (7mm).
Uma medida sempre terá um único algarismo de avaliação, o algarismos mais à
direita. Este algarismo de avaliação depende muito das condições de operação
do instrumento de medida e da perícia do operador.
Em condições ótimas, este algarismos é menor que o menor intervalo da es-
cala empregada, no exemplo acima menor que 1 cm, mas pode acontecer de este
algarismo de avaliação ser superior, ou mesmo bem superior, ao menor intervalo
da escala. Isto pode ocorrer em situações onde:
• a escala se movem em relação ao corpo a ser medido;
• exista vibração no corpo e/ou escala de medida;
• erro de paralaxe1;
• outros.
4
CAPÍTULO 2. ALGARISMO SIGNIFICATIVOS 5
98 1 2 3
30
Figura 2.2: Medida do comprimento de uma segunda peça com a régua centime-
trada.
A medida de uma segunda peça é ilustrada na Figura 2.2. Neste caso o
valor do comprimento medido é de 30, 0 cm. Embora o comprimento da peça
coincida com a leitura de 30cm, a régua empregada permite mais um algarismo
de avaliação, e portanto está avaliação deve ser feita, ainda que esta seja zero.
Portanto, toda medida em laboratório sempre será composta de algarismo
provenientes de uma leitura direta na escala e um único algarismos de avalia-
ção.
Zeros colocados à direita, significam leitura na escala, enquanto que zeros à
esquerda, a ausência de leitura. Desta forma pode-se afirmar que, em se tratando
de medidas, as comparações abaixo:
1 cm 6= 1, 0 cm 6= 1, 00 cm 6= 1, 000 cm · · ·
são diferentes. No caso do 1, este possui apenas um algarismo significativo,
que portanto é também o algarismo de avaliação. Isto significa que o valor
desta medida pode ser algo entre 0 e 2, na melhor das hipóteses. Já os demais
possuem dois, três e quatro algarismos significativos respectivamente, tendo o
seu algarismo de avaliação em um décimo, um centésimo e um milésimo de
centímetros respectivamente.
Na Tabela 2.1 é feito uma comparação quantitativa entre medidas, conside-
rando uma variação de apenas ±1 no seu algarismos de avaliação. Isto mostra
claramente as diferenças entre medidas com diferentes números de algarismos
significativos.
Valor Menor Maior Número de
Medido Valor Valor Algarismos
1 0 2 1
1,0 0,9 1,1 2
1,00 0,99 1,01 3
1,000 0,999 1,001 4
Tabela 2.1: Comparação entre medidas de uma unidade com diferentes precisões.
A contagem de algarismos significativos deve sempre iniciar da esquerda para
1
Erro de paralaxe ocorre quando a escala está longe do corpo a ser medido, criando variações
nas definições das bordas do corpo, em função do posicionamento do observador.
CAPÍTULO 2. ALGARISMO SIGNIFICATIVOS 6
à direita, pelo primeiro algarismo diferente de zero, até o último algarismo, zero
ou não.
Portanto, tanto a medida de 33, 7 cm como a de 30, 0 cm possuem 3 algarismos
significativos.
2.1 Operações Matemáticas com Algarismos Sig-
nificativos
Em várias situações será necessário realizar operaçõesmatemáticas com as me-
didas realizadas em laboratório como: soma, multiplicação, divisão, potências e
outras funções. Para isto é necessário adotar critérios matemáticos para estas
operações, de forma a preservar a integridade de sua medida e respeitar as suas
limitações.
Nas seções seguintes são apresentados uma descrição dos métodos matemá-
ticos para serem empregados no desenvolvimento matemático dos experimentos,
ao longo do semestre. Estes mesmo métodos são aplicados na maioria dos livros
textos de Física e Matemática, com pequenas variações.
2.1.1 Soma
No caso da soma de duas medidas o procedimento é bem simples:
• Realize a soma dos algarismos normalmente;
• Determine a ordem de grandeza dos algarismos de avaliação empregados
em sua soma;
• Tome a maior ordem de grandeza entre estes (o algarismos de avaliação
mais à esquerda);
• Trunque o resultado com base neste algarismo de avaliação de maior
ordem.
Veja o exemplo a seguir.
Exemplo:
Suponha que tenhamos de realizar a soma das seguintes de medidas:
12, 45 cm; 2, 0345 cm; 1200 cm; 0, 00034 cm.
Para proceder com a soma, alinhe pela vírgula os números a serem
medidos e faça a soma normalmente.
CAPÍTULO 2. ALGARISMO SIGNIFICATIVOS 7
12,45
2,0345
1200,
+ 0,00034
1214,48484
A propagação dos erros do algarismo de avaliação é indicado por uma
linha abaixo do número. O algarismo de avaliação de maior ordem
de grandeza é o zero mais à esquerda do 1200. Isto significa que os
algarismo à direita deste algarismo devem ser dispensados.
Desta forma, no resultado 1214, 48484 não faz sentido pegar alga-
rismos inferiores a unidade e assim o resultado da soma deverá ser
truncado na unidade como segue,
1214, |48484 = 1214
O resultado passa a ter quatro algarismos significativos, onde o algarismo
de avaliação passa a ser o último mais a direita, neste caso o 4.
Obs: O truncamento de uma operação somente deve ser feita quando estiver
alcançado o resultado final em um trabalho. Truncar resultados intermediários em
operações matemáticas, promove a propagação de erros desnecessariamente, o que
pode mascarar o resultado obtido. Portando, se o objetivo de um experimento
é encontrar a velocidade de lançamento de um projétil, o truncamento deverá
ocorrer apenas no momento de apresentar a velocidade solicitada, jamais em
operações anteriores.
2.1.2 Produto e Funções
Na caso do produto, divisão e funções em geral, o procedimento é ainda mais
simples:
• conte o número de algarismos significativos dos números envolvidos na ope-
ração matemática;
• pegue o menor número de algarismos significativos como base e faça o trun-
camento do resultado final com este número de algarismos.
Vamos a um exemplo:
Exemplo:
Encontre a densidade de massa de uma esfera de diâmetro 15, 383mm
e 16 g de massa.
CAPÍTULO 2. ALGARISMO SIGNIFICATIVOS 8
Dados:
Diâmetro = 15, 383mm (5 algarismos significativos)
Massa = 16 g (2 algarismos significativos)⇒ menor número de alga-
rismos significativos.
A densidade de massa de um corpo é dada pela equação
ρ =
Massa
V olume
=
M
Vesf
(2.1)
e o volume da esfera pela equação
Vesf =
4
3
pir3 (2.2)
onde o raio da esfera é igual a metade do seu diâmetro. Para se obter
um resultado mais preciso na operação matemática e menos trabalho
numérico, é imprescindível a otimização destes processo matemáticos.
Sempre que possível, construa uma única expressão matemática para
calcular o resultado desejado, onde esta expressão deve conter apenas
as grandezas medidas no experimento, além de constantes.
Neste caso, escreva a densidade de massa em função da Massa e do
Diâmetro medidos, substituindo as equações como procede abaixo:
Substitua a equação (2.2) e a definição do raio na equação (2.1).
ρ =
M
Vesf
=
M
4
3
pir3
ρ =
3M
4pi(D/2)3
ρ =
6M
piD3
(2.3)
Desta forma temos uma equação que envolve apenas as grandezas
medidas: Massa e Diâmetro. Este procedimento é fundamental para
evitar operações matemáticas desnecessárias bem como anotações de
algarismo com 10 a 12 dígitos nos pontos intermediários da operação.
ATENÇÃO: Jamais utilize valores pessimistas do pi com 3, 14 ou
3, 1415. Utilize sempre o valor da calculadora, que geralmente possui
de 10 a 12 algarismos significativos, suficientes para a grande maioria
das situações.
Observe que a constante 6 e a potência 3 são valores reais (exatos)
pois surgem das definições:
CAPÍTULO 2. ALGARISMO SIGNIFICATIVOS 9
raio que é exatamente metade do diâmetro;
volume da esfera que é exatamente os quatro terços de pi, raio ao
cubo.
Desta forma, o calculo da densidade de massa se resume a uma única
operação:
ρ =
6M
piD3
=
616
pi15, 3833
= 0, 0083945658 g/mm3
ou
ρ = 8, 3945658 g/cm3
já que 1mm3 = 10−3cm3.
Dos dados apresentados no problema, vemos que o diâmetro (15, 383mm)
possui 5 algarismos significativos, enquanto que a massa (16 g) pos-
sui apenas 2 algarismos significativos. O valor de pi das calculadoras
modernas possuem entre 10 a 12 algarismos significativos e as demais
constantes, como o 3/4 e a potência de 3, são valores exatos, portanto
possuem infinitos algarismos significativos. Desta forma, o menor
número de algarismos significativos, nos valores envolvidos nesta ope-
ração matemática, é dois e portando a resposta deve ter apenas dois
algarismos significativos:
ρ = 8, 3|945658 g/cm3
= 8, 4 g/cm3
2.2 Exercícios
1. Dado as medidas A = 3, 43; B = 0, 046; C = 66, 23, D = 2, 0045, E = 12, 4
e F = 27 abaixo, determine os valores das operações a seguir.
(a) A+D
(b) A+B + C +D
(c) A+B + C +D + E + F
CAPÍTULO 2. ALGARISMO SIGNIFICATIVOS 10
(d) A+ 2B − 4C +D
(e) 2B2 + 4D
(f) A ·B
(g) F/D
(h) B2/C
(i) E2 · A3 ·B/(4F 3 ·D3)
(j) 1, 3E + 4C2/F 3
(k) 2, 5F ·B + 4D3
(l) 2E3 ·B/(C√F ·D3)
(m) 3D · sin(2C)
(n) C · ln(B/D)
(o) C · tan(3C/A2)
(p) 3D · A · sin(C · F/B)
(q) 4C/F 1/4 · tan(2piA/(B3 · E))
2. Um cilindro de 40, 28mm de altura e 20, 025mm de diâmetro, possui uma
massa de 90, 50 g. Determine a densidade de massa do cilindro.
Capítulo 3
Incerteza
Ao medir o comprimento da peça ilustrada na Figura 2.1, com uma escala cen-
timetrada, foi obtido o valor 33, 7 cm, onde, como dito anteriormente, 33 cm cor-
responde a leitura direta da escala, enquanto que 0, 7 cm é a avaliação, que está
sujeita a um erro de medida.
Embora não seja possível saber o valor exato do algarismo de avaliação,
se pode afirmar que sua indeterminação é inferior a resolução da escala, 1 cm.
O quento inferior a 1 cm, fica a encargo do operador da medida. Uma boa base
para a incerteza
Isto significa que o valor medido da peça esta num intervalo inferior a ±1 cm
centrado em torno do algarismo de avaliação ou seja, o valor mais provável
deste comprimento está dentro do intervalo: 33, 2 cm e 34, 2 cm.
É dito que esta medida está sujeita a uma incerteza de ao menos metade da
menor divisão da estaca, ±0, 5 cm, para cima e para baixo. Portando a medida
do comprimento da peça na Figura 2.1 pode ser escrita como:
L = (33, 7± 0, 5) cm
Portanto, a incerteza (±0, 5 cm no exemplo acima) mede a impossibilidade de
determinação do valor real de uma medida.
ATENÇÃO: A incerteza de uma medida não pode possuir mais do que
um algarismo significativo, a menos quanto aparecer em cálculos intermediários.
Neste caso o truncamento deverá ser efetuado ao final dos cálculos.
3.0.1 Determinando o Valor da Incerteza
Um bom valor para a incerteza de uma medida, pode ser tomado como sendo a
metade da menor divisão da escala empregada do instrumento de medida. Assim
sendo, em uma régua milimetrada, onde a menor divisão é 1mm, teria como
incerteza 0, 5mm, enquanto que numa régua centimetrada, com a menor divisão
sendo 1 cm, a incerteza poderia ser estimada como 0, 5 cm.11
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 12
Mas isto não é de forma nenhuma uma regra geral. Há ocasiões em que se
pode escolher valores menores para a incerteza e outras, em que e teremos de
escolher valores muito maiores para a incerteza. Em outras palavras, a incerteza
de uma medida depende muito das condições em que a medida é realizada, com
o posicionamento da escala de leitura, vibrações na escala ou objeto de medida,
capacidade visual do operador, da perícia do operador do instrumento de medida,
e outras.
3.1 Operações com Incertezas
Para efetuar operações com medidas e incertezas, é necessário criar uma álgebra
especial que tome os devidos cuidados com manipulação numérica das incertezas
destas medidas, de forma a propagar estas incertezas ao longo das operações
matemáticas com coerência.
Para ilustra as operações com incertezas, vou tomar como exemplo o cálculo
da área superficial de uma chapa metálica de dimensões aproximadas iguais a:
180 cm×74 cm. Para isto dispomos de uma régua centimetrada de 100 cm (menor
divisão 1cm).
Posicionando o zero da régua e executando a medida da largura da placa,
obtemos 73, 4 cm com uma incerteza de 0, 5 cm, ou seja L = (73, 4 ± 0, 5) cm.
Apenas para lembrar, 73 cm de leitura na escala da régua centimetrada e 0, 4 cm
de avaliação, ou seja, além da menor divisão da escala.
A medida do comprimento da placa deve ser efetuada em duas etapas, visto
que a régua possui apenas 100 cm. No primeira medida é obtido C1 = (100, 0 ±
0, 5) cm, já na segunda medida é obtido C2 = (87, 3± 0, 5) cm.
O comprimento total é portanto a soma dos dois comprimentos C = C1+C2.
Neste ponto, teremos de definir uma regra para a soma e subtração de medidas
com incertezas.
3.1.1 Soma e Subtração
Definição 1 Seja A = (a±∆a) e B = (b±∆b) duas medidas com as incertezas
∆a e ∆b respectivamente. A soma das duas medidas A e B é definida como
A+B = (a+ b)± (∆a+∆b) (3.1)
Definição 2 Seja A = (a±∆a) e B = (b±∆b) duas medidas com as incertezas
∆a e ∆b respectivamente. A subtração das duas medidas A e B é definida como
A−B = (a− b)± (∆a+∆b) (3.2)
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 13
Tanto na soma quanto na subtração, as incertezas são adicionadas, o que
representa um aumento na incerteza para a determinação do valor destas medidas
após tais operações.
Exemplo:
Calculando agora o comprimento total da placa
C = C1 + C2
= (100, 0± 0, 5) + (87, 3± 0, 5)
= (187, 3± 1, 0)
Observe que a incerteza do comprimento da mesa, C, está com dois algarismos
significativos (±1, 0). Neste momento não se deve truncar os valores ainda, pois
não é objetivo do problemas determinar o comprimento da chapa metálica e sim
sua área. Portanto deixe o resultado do comprimento como está.
Voltando ao problema, a área procurada é o produto do comprimento C pela
largura L
A = CL
As definições abaixo mostram os procedimentos matemáticos para multiplicar
e dividir medidas com incertezas.
3.1.2 Produto e Divisão
Definição 3 Seja A = (a ± ∆a) e B = (b ± ∆b) duas medidas com as suas
respectivas incertezas. O Produto entre A e B é definido como
A ·B = a · b
{
1±
[
∆a
a
+
∆b
b
]}
(3.3)
Definição 4 Seja A = (a ± ∆a) e B = (b ± ∆b) duas medidas com as suas
respectivas incertezas. A Divisão entre A e B é definido como
A
B
=
a
b
{
1±
[
∆a
a
+
∆b
b
]}
(3.4)
Demonstração: Tomando o produto termo a termo entre as medidas A e
B, temos
A ·B = (a±∆a) · (b±∆b)
= a · b± (a∆b+ b∆a+∆a∆b)
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 14
O último termo na incerteza, ∆a∆b, é muito pequeno se comparado aos outros
dois, e portanto é desprezado. Assim
A ·B = a · b± (b∆a+ a∆b)
= a · b± a · b
(
∆a
a
+
∆b
b
)
Colocando o produto a · b em evidência temos
A ·B = a · b
{
1±
[
∆a
a
+
∆b
b
]}
A razão ∆a/a é chamada de incerteza relativa da medida A, uma vez que ela
traz uma comparação entre a incerteza ∆a e a medida a.
Antes de voltar ao cálculo da área da placa, observe as incertezas relativas do
comprimento e da largura da placa em questão:
∆c
c
=
1, 0
187, 3
= 0, 0053390 = 0, 53%
enquanto que na largura,
∆l
l
=
0, 5
73, 4
= 0, 00681199 = 0, 68%
ou seja, mesmo que a incerteza da largura (0, 5 cm) seja menor que a incerteza
do comprimento (1, 0 cm), este último é a medida mais precisa, visto que sua
incerteza relativa é de apenas 0, 53% do valor medido enquanto que na largura é
de 0, 68%.
Exemplo:
Voltando ao cálculo da área total,
A = C · L
= 187, 3 · 73, 4
{
1±
[
1, 0
187, 3
+
0, 5
73, 4
]}
= (13747, 82± 167, 05) cm2
A = (1, 374782± 0, 016705)m2
Como a área é o resultado final pedido pelo problema, o seu valor
deverá ser truncado, deixando a incerteza com apenas um algarismo
significativo, como diz a regra.
Inicie o truncamento pela incerteza, 0, 016705:
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 15
1. Da esquerda para a direita, faça o truncando após o primeiro
algarismo diferente de zero, neste caso o 1, 0, 01|6705;
2. Se o dígito seguinte for {5, 6, 7, 8, 9}, arredondar para cima o pri-
meiro algarismo da incerteza, enquanto que {0, 1, 2, 3, 4} mante-
nha o valor. Neste caso fica: 0, 01|6705=0, 02;
3. Após isto, jogar fora todos os algarismos da incerteza além do
primeiro, ficamos a incerteza com apenas com um algarismo sig-
nificativo, 0, 02.
Na mesma ordem de grandeza em que foi truncado a incerteza, truncar
o valor da área. Neste caso a incerteza foi truncada no centésimo, faça
o mesmo no valor da área calculada, truncando após o primeiro sete,
com a mesma regra no arredondamento: 1, 37|4782 = 1, 37.
Veja todo o processo representado abaixo, passo a passo:
A = (1, 374782± 0, 01|6705)m2
= (1, 374782± 0, 02)m2
= (1, 37|4782± 0, 02)m2
A = (1, 37± 0, 02)m2
3.1.3 Potência
A regra para o cálculo com incertezas de potências, pode ser facilmente obtida
através da regra do produto, como segue na demonstração abaixo:
Demonstração: Comece com o quadrado de uma medida A, que segundo a
regra de produto pode ser escrita como
A2 = A · A
= a · a
{
1±
[
∆a
a
+
∆a
a
]}
= a2
{
1± 2∆a
a
}
Da mesma forma A3 pode ser desenvolvido como um produto de A2 por A:
A3 = A2 · A
= a2 · a
{
1±
[
2
∆a
a
+
∆a
a
]}
= a2 · a
{
1± 3∆a
a
}
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 16
Estendendo o processo para An, é fácil demonstrar que
A4 = A4 · A
.
.
.
An = An−1 · A
= an−1 · a
{
1±
[
(n− 1)∆a
a
+
∆a
a
]}
= an
{
1± n∆a
a
}
Embora a demonstração tenha sido feita para n inteiro, a regra será extrapo-
lada para qualquer outro n ∈ <.
Definição 5 Seja A = (a ± ∆a) uma medida, onde n ∈ <. A potência An é
definido como
An = an
{
1± |n∆a
a
|
}
(3.5)
O mais importante desta expressão é a ncerteza relativa de An,
|n∆a
a
| (3.6)
que será empregada na seção seguinte, na resolução de produtos mais complexos.
3.1.4 Produtos Compostos
Operações que envolvem apenas produtos e potências, podem e devem ser re-
solvidas em apenas duas operações, evitando assim anotações de resultados de
operações intermediárias, geralmente desnecessárias. A ideia empregada aqui é o
uso intensivo das incertezas relativas, escrevendo o produto como:
produto± produto · (soma das incertezas relativas) (3.7)
Para isto é necessário conhecer as incertezas relativas das grandezas envolvi-
das. Considere o exemplo abaixo:
Exemplo:
Sendo A = (a ±∆a), B = (b ±∆b), C = (c ±∆c), D = (d ±∆d) e
E = (e±∆e) medidas com as suas respectivas incertezas, determine
a expressão para o cálculo do produto:
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 17
A2
√
B3C
3
√
DE
Solução: Inicialmente expanda a função para uma base mais simples,
evidenciando as potências envolvidas no problema:
A2
√
B3C
3
√
DE
=
A2B3/2C1/2
D1/3E
A operação completa deve ser feita em duas operações:o produto,
propriamente dito, e o produto pela soma das incertezas relativas de
cada grandeza envolvida. A tabela a seguir apresenta as incertezas
relativas das grandezas envolvidas:
Termo Incerteza Relativa
A2 2
∆a
a
B3/2
3
2
∆b
b
C1/2
1
2
∆c
c
D1/3
1
3
∆d
d
E
∆e
e
Atenção: não calcule estas incertezas separadamente, a tabela acima
é apenas para evidenciar as operações a serem realizadas.
A operação completa é apresentada a seguir:
A2
√
B3C
3
√
DE
=
a2b3/2c1/2
d1/3e
{
1±
[
2
∆a
a
+
3
2
∆b
b
+
1
c
∆c
c
+
1
3
∆d
d
+
∆e
e
]}
ou se preferir:
A2
√
B3C
3
√
DE
=
a2b3/2c1/2
d1/3e
±a
2b3/2c1/2
d1/3e
[
2
∆a
a
+
3
2
∆b
b
+
1
c
∆c
c
+
1
3
∆d
d
+
∆e
e
]
Embora sejam duas operações matemáticas longas, ainda assim são
apenas duas operações:
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 18
o produto:
PD =
a2b3/2c1/2
d1/3e
a incerteza:
PD ×
[
2
∆a
a
+
3
2
∆b
b
+
1
c
∆c
c
+
1
3
∆d
d
+
∆e
e
]
Pode parecer um pouco complexo a primeira vista, no entanto este procedi-
mento simplifica enormemente as operações matemáticas realizadas, principal-
mente por eliminar a inserção repetitiva de números na calculadora, evitando
erros na cópia, e a cópia desnecessárias de valores intermediários com números de
10 a 12 algarismos, uma vez que não se pode arredondar os valores até se atingir
o resultado final.
3.1.5 Funções
Para funções como sin(x), cos(x), log(x), e outras, a regra de produtos e soma
apresentados acima são insuficientes para uma avaliação adequada da incerteza.
0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
x0 x0 + ∆xx0 - ∆x
∆f
F(x)
x
f
∆f
Figura 3.1: Visualização dos parâmetros de incerteza para uma função.
Quando avaliamos uma função no intervalo definido de uma medida ([x+∆x]−
[x −∆x]), podemos obter variações que podem aumentar ou mesmo diminuir o
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 19
valor da incerteza, depende apenas da forma como a função varia no intervalo do
seu argumento.
Um bom método para avaliação de uma função aplicada a uma medida com
incertezas, é analisar valor da função nos extremos de seu argumento (incerteza).
Para entender melhor este procedimento vamos utilizar o gráfico da figura 3.1.5,
como se segue:
Definição 6 Seja X = (x ± ∆x) uma medida. O Valor da função F (X) é
definido como:
F (X) = f ±∆f (3.8)
onde f é obtido pela média da função nos extremos do argumento:
f =
f(x+∆x) + f(x−∆x)
2
(3.9)
e a incerteza, é tomada como sendo a metade do intervalo da variação da função:
∆f =
|f(x+∆x)− f(x−∆x)|
2
(3.10)
Veja o exemplo a seguir.
Exemplo:
Encontre o seno do ângulo θ = (23, 5± 0, 5)0.
F (θ) = sin(θ)
F (θ) = f ±∆f
onde
f =
sin(23, 5 + 0, 5) + sin(23, 5− 0, 5)
2
= 0, 398733885
e
∆f =
| sin(23, 5 + 0, 5)− sin(23, 5− 0, 5)|
2
= 0, 008002757294
portanto a avaliação da função pedida é
sin(23, 5± 0, 5) = 0, 398733885± 0, 008002757294
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 20
Truncando o resultado,
sin(23, 5± 0, 5) = 0, 398733885± 0, 008|002757294
= 0, 398|733885± 0, 008|002757294
= 0, 399± 0, 008
3.2 Média Simples e Desvio Médio
Em algumas situações a determinação das fontes de erro de uma medida ou
mesmo a avaliação de sua incerteza pode ser pouco ineficiente dado o grau de
complexidade das fontes de erros e imprecisões presentes no experimento. Nestas
ocasiões é conveniente trabalhar com um conjunto de medidas e fazer uso de téc-
nicas estatísticas para avaliar a medida e a incerteza envolvida nos procedimentos
experimentais.
Tratamento estatísticos envolvem análises mais complexas que as apresentadas
aqui, no entanto este texto não pretende se aprofundar nestas questões e portanto
será empregada uma técnica simples de média e desvio médio para o tratamento
deste tipo de problema.
Desta forma, para um conjunto de n medidas de um comprimento, o seu valor
médio será definido com a média aritmética dos comprimentos medidos,
x¯ =
1
n
n∑
i=1
xi (3.11)
onde xi é o i-ésimo comprimento medido, e a soma se estende sobre todas a n
medidas. A incerteza será avaliada com o desvio médio como segue:
∆¯x =
1
n
n∑
i=1
|x¯− xi| (3.12)
E portanto, a medida será simplesmente (x¯± ∆¯x). Outros métodos estatísti-
cos, como desvio padrão σ ou (σ−1), também são aceitáveis, no entanto o desvio
médio costuma dar um valor maior para a incerteza, o que lhe deixa mais folga
no resultado encontrado.
Exemplo:
Dado um conjunto de medidas de um comprimento:
{12, 4 cm; 12, 0 cm; 12, 6 cm; 12, 9 cm; 12, 5 cm; 11, 8 cm}
Encontre a média e o desvio médio deste comprimento.
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 21
x¯ =
1
6
{12, 4 + 12, 0 + 12, 6 + 12, 9 + 12, 5 + 11, 8}
= 12, 366667
e a incerteza,
∆¯x =
1
6
{|12, 36667− 12, 4|+ |12, 36667− 12, 0|+ |12, 36667− 12, 6|
+|12, 36667− 12, 9|+ |12, 36667− 12, 5|+ |12, 36667− 11, 8|}
∆¯x = 0, 311111
Truncando o resultado final,
X = (12, 3|66667± 0, 3|11111) = (12, 4± 0, 3) cm
3.2.1 Deixando a Média para mais Tarde...
Há algumas ocasiões em que é conveniente deixar a média e o desvio média para
ser feita ao final e não diretamente sobre as medidas. Considere o exemplo a
seguir:
Exemplo:
Um Pêndulo Simples com um fio de (600± 1)mm de comprimento é
colocado para executar 30 oscilações, com os tempos para este mo-
vimento sendo medidos por um cronômetro manual e seus valores
anotados na Tabela 3.1. Determine a aceleração da gravidade para
este experimento.
# t (s)
1 45,540
2 46,600
3 45,492
4 45,954
5 46,934
6 46,555
Tabela 3.1: Medida dos tempos para 30 oscilações do pêndulo.
Resolução:
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 22
Segundo a literatura, a frequência angular de oscilação de um Pêndulo
Simples é dado pela equação:
ω =
√
g
L
onde a frequência angular se relaciona com a frequência pela expressão
ω = 2pif e esta com o período com f = 1/T . Desta forma a expressão
para o período da oscilação será:
T = 2pi
√
L
g
onde
T =
t
n
Juntando as equações acima e reescrevendo a expressão para a acele-
ração da gravidade:
g =
4pi2n2L
t2
O tempo médio e o desvio médio é calculado pelas equações (3.11) e
(3.12),
t¯ = (46, 179± 0, 517)s
A média e o desvio médio dos tempos apresentados na Tabela 3.1, é t¯ =
(46, 179± 0, 517)s. Observe que a incerteza relativa deste tempo médio (∆t¯/t¯ =
0,0111) é quase sete vezes maior que a incerteza relativa da medida do compri-
mento do fio (∆L/L = 0, 0017), a outra medida envolvida no experimento.
Em situações como estas se pode ignorar as incertezas das demais medidas
em detrimento das imprecisões na medida do tempo, uma vez que as fontes de
erro envolvidas nestas medidas geram um desvio significativamente superior às
demais incertezas avaliadas no experimento.
Neste caso o procedimento mais adequado é calcular um g (aceleração da
gravidade) para cada medida de tempo e ao final, fazer a média e o desvio médio
destes valores.
Continuando...
Calculando um g paca cada tempo medido na Tabela 3.1,
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 23
# t (s) g (m/s2)
1 45,540 10,279
2 46,600 9,817
3 45,492 10,301
4 45,954 10,095
5 46,934 9,678
6 46,555 9,836
Tabela 3.2: Medida dos tempos para 30 oscilações no pêndulo.
Para terminar, basta fazer a média e o desvio médio dos g's, terceira
coluna da Tabela 3.2.
g = 10, 00108± 0, 22409 = (10, 0± 0, 2)m/s2
Este procedimento é muito rápido de ser realizado com o uso de planilha de
cálculo como Calligra Sheets, MS Excel, LibreOffice Calc, entre outras. Uma
outra vantagem significativa para o uso deste procedimento é o fato de não ter
quefazer cálculos com incertezas neste caso, o que pode ser bastante tedioso em
algumas situações.
3.3 Exercícios
1. Dado as medidas A = 3, 43± 0, 05; B = 0, 046± 0, 002; C = 66, 23± 0, 03;
D = 2, 0045± 0, 0005; E = 12, 4± 0, 7; e F = 27± 3, determine os valores
das operações a seguir.
(a) A+D
(b) A+B + C +D
(c) A+B + C +D + E + F
(d) A+ 2B − 4C +D
(e) 2B2 + 4D
(f) A ·B
(g) F/D
(h) B2/C
(i) E2 · A3 ·B/(4F 3 ·D3)
(j) 1, 3E + 4C2/F 3
(k) 2, 5F ·B + 4D3
(l) 2E3 ·B/(C√F ·D3)
CAPÍTULO 3. INCERTEZA 24
(m) 3D · sin(2C)
(n) C · ln(B/D)
(o) C · tan(3C/A2)
(p) 3D · A · sin(C · F/B)
(q) 4C/F 1/4 · tan(2piA/(B3 · E))
2. Das medidas A, B, C, D, E e F , apresentadas na questão anterior, deter-
mine qual é a mais precisa.
3. Nos resultados apresentados a seguir, proceda com o truncamento ade-
quado, se necessário.
(a) 2, 345235± 0, 002432
(b) 98348579, 345± 767, 234
(c) 0, 01234235± 0, 23145
(d) 1234, 0234± 11, 34536
(e) 0, 0023423451± 0, 00002342
(f) 2342, 12× 10−5 ± 3, 24× 10−5
(g) (3425, 2345± 12, 243)× 10−12
(h) 0, 0097894± 2, 823523× 10−5
(i) 2, 34287× 10−5 ± 5, 645× 10−6
4. Encontre o valor médio e o desvio médio, nas medidas abaixo.
(a) 5, 23; 5, 67; 5, 02; 6, 22; 4, 98; 5, 57
(b) 12, 34; 12, 87; 13, 78; 14, 20; 12, 76; 13, 00
5. Um cilindro de (40, 28 ± 0, 01)mm de altura e (20, 025 ± 0, 005)mm de
diâmetro, possui uma massa de (90, 50 ± 0, 01) g. Determine a densidade
de massa do cilindro.
6. Durante um experimento de lançamento horizontal de projéteis, uma esfera
é lançada dez vezes obtendo os alcances (∆x ) apresentados abaixo, em
milímetros:
407 412 405 410 403 401 413 412 422 408
Sendo a altura do lançamento igual a (1000±5)mm e g = (9, 8±0, 1)m/s2,
(a) determine a velocidade de lançamento através do alcance médio e seu
desvio. (b) Calcule a velocidade média e seu desvio, através do cálculo da
velocidade para cada lançamento (A equação do alcance é ∆x = v0
√
2h/g,
onde v0 é a velocidade de lançamento horizontal.).
Capítulo 4
Representação Gráfica
Um gráfico é uma ferramenta muito poderosa quando bem empregado. Uma
grande quantidade de informações podem ser abstraídas de representação gráfica
de um conjunto de dados, sem mesmo saber do que se trata os dados apresentados.
Tomando como exemplo um estudo hipotético do movimento de partícula
em suspensão representados pelos dados da Tabela 4. Uma observação direta
desta tabela não permite verificar com precisão máximos, mínimos, tendências,
comportamentos polinomiais ou outra qualquer outro.
t(s) 1 2 3 4 5 6 7 8
y(cm) 9,8 10,5 11,4 12,6 12,5 13,7 13,8 13,9
t(s) 9 10 11 12 13 14 15 �
y(cm) 14,3 13,9 13,8 13,5 13,2 13,4 13,2 �
Tabela 4.1: Tabela hipotética representando o movimento de um corpo ao longo
do eixo-y.
Entretanto, uma representação gráfica, permite várias indagações a respeito
do experimento em particular. Observe a representação gráfico destes dados na
Figura 4.
Através do gráfico é possível verifica: a tendência de crescimento linear entre
os instantes 0 e 7 s; um máximo em aproximadamente 9 s e talvez outro em 14 s;
alguns pontos que fogem a tendência normal, como por exemplo nos instantes
4 s, 6 s e 9 s.
Com um pouco mais de informação sobre o problema, várias outras conclusões
podem ser obtidas. Entretanto o objetivo aqui é quanto a criação e formatação
do gráfico.
Alguns pontos chaves devem ser observados na criação de gráficos:
1. Os eixos dos gráficos não podem apresentar mais precisão do que a existente
nos dados experimentais. Observe que o eixo x e y do gráfico da Figura 4
25
CAPÍTULO 4. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 26
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Tempo (s)
9.0
10.0
11.0
12.0
13.0
14.0
15.0
D
es
lo
ca
m
en
te
 (c
m)
Movimento de Parti´culas em Suspens~ao
Possi´vel subti´tulo ...
Figura 4.1: Representação gráfica dos dados da Tabela 4.
possui a mesma precisão dos dados experimentais que o originou, Tabela 4.
Valores como 9,00; 10,00; . . . no eixo de Deslocamento deste gráfico, seriam
errado, pois os dados não possuem tal precisão.
2. A colocação de rótulos nos eixos x e y de um gráfico é obrigatória. Os
rótulos devem aparecer abaixo do eixo, para o eixo horizontal, e à direita
para o eixo vertical. A unidade da grandeza deve aparecer entre [] ou ().
Estes rótulos devem ser claros e objetivos, expressando bem as grandezas
que representam.
3. O título do gráfico (bem como o sub-título) deve ser colocado acima e
centralizado, conforme o exemplo da Figura 4. O título deve ser claro e
objetivo, permitindo uma boa compreensão dos dados experimentais apre-
sentados no gráfico. Estes também são escritos com letras maiores que as
demais empregadas no gráfico, para destacar. Tanto o título como o sub-
título não são obrigatórios. Ao invés destes, pode-se utilizar de uma breve
descrição na parte inferior do gráfico, conhecidos no inglês como caption.
Um exemplo de descrição poderia ser:
�Figura 02. Deslocamento de micro partículas em suspensão sobre a ação
de uma corrente de convicção.�
Não é usual a utilização de Título no gráfico juntamente com a Descrição,
portanto, use um ou outro.
CAPÍTULO 4. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 27
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Tempo (s)
9.0
10.0
11.0
12.0
13.0
14.0
15.0
D
es
lo
ca
m
en
te
 (c
m)
dados
∆x = 9.4893 + 0.61905 t
∆x = 11.226 + 0.20929 t
∆x = 8.8433 + 1.0501 t - 0.052553 t2
Figura 4.2: Ajustes aos pontos experimentais: Linha contínua, ajuste linear com
os oito primeiros pontos; Linha pontilhada, ajuste linear com todos os pontos;
Linha pontilhada ajuste a um polinômio de segundo grau com todos os pontos.
4. A área útil, ocupada pelos pontos experimentais, deve preencher ao menos
de 60% a 75% do espaço do gráfico. No exemplo apresentado na Figura 4
o gráfico possui a área total de (16− 0)× (15− 9) = 96 cm · s. Já os pontos
experimentais ocupam uma área de (15−1)× (14, 3−9, 8) = 63 cm · s. Isto
significa que há um aproveitamento de aproximadamente 100%× 63/96 =
66% da área do gráfico.
5. Um gráfico deve possuir uma razão entre as dimensões físicas Altura/Comprimento
não superior a 1, 4 e inferior a 0, 712. Razões fora destes valores deixam o
gráfico muito comprido ou muito longo, dificultando a leitura dos pontos
experimentais, bem como a verificação do comportamento físico dos dados.
6. Os incrementos utilizados nos eixos horizontais e verticais devem ser múl-
tiplos de 1, 2 e 5. Outros valores tornam difícil a leitura nas escalas de
pontos intermediários como 3, 3; 4, 7; . . .
7. Não se deve marcar em hipótese alguma os valores dos pontos experimentais
nas escalas do gráfico. Este procedimento carrega o gráfico com informações
inúteis que dificultam a leitura das escalas. Numa representação gráfica o
interesse maior é no comportamento dos dados experimentais e não no valor
especifico de um ponto em particular.
8. Uma curva de tendência suave pode ser feita através dos pontos, mas jamais
ligando-os, a menos que isto possua algum significado real, o que geralmente
CAPÍTULO 4. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 28
não ocorre em experimentos físicos.
9. Retas médias em geral não passam pelo primeiro e último ponto do ex-
perimento. Este procedimento leva ao total abandono dos demais pontos
experimentais, que são igualmente importantes como o primeiro e o último.
10. Os pontos experimentais deve aparecer de forma clara no gráfico, simboliza-
dos por círculos, triângulos, quadrados ou outro símbolo apropriado. Estes
devem se visíveis de modo a não serem mascarados pela linha de tendência,
comentada no ítem anterior.
4.1 Exercícios
1. Os dados de uma curva Corrente x Tensão são apresentados na tabela
abaixo. Monte o gráfico destes dados numa folha milimetrada e trace uma
curva de tendência para os dados experimentais.
Corrente(mA) Tensão (V)
0,00 0,0
0,15 2,1
0,30 2,6
0,45 1,2
0,60 0,8
0,75 0,0
0,90 1,8
1,05 5,3
1,20 8,8
2. Faça o gráfico força x deslocamento para os dados experimentais apresen-
tados na tabela abaixo e determine a constante elástica deste objeto, pela
inclinação da reta média.
Deslocamento (cm) Força (N)
0,5 0,01
1,5 0,05
2,0 0,40
2,5 0,65
3,0 0,90
3,5 1,15
4,0 1,25
4,5 1,50
5,0 2,22
CAPÍTULO 4. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 29
3. Os dados de uma curva Corrente x Tensão são apresentados na tabela
abaixo. Monte o gráfico destes dados numa folha milimetrada.
Corrente (mA) Tensão (V)
12,0 0,01
6,8 0,12
3,6 0,25
0,2 0,45
0,0 0,58
1,4 0,70
6,8 0,84
10,0 0,97
12,0 1,12
Capítulo 5
Respostas
5.1 Algarismo Significativos
1. (a) 5, 43; (b) 71, 71; (c) 111; (d) −259, 4; (e) 8, 0222; (f) 0, 16; (g) 13; (h)
3, 2 × 10−5; (i) 4, 5 × 10−4; (j) 17, 0; (k) 35, 3; (l) 0, 18; (m) 4, 436; (n)
−2, 5× 102; (o) 20, 1; (p) −2, 1; (q) 84
2. 7, 13 g/cm3
5.2 Incertezas
5.3 Representação Gráfica
1. Gráfico
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20
Corrente [mA]
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
Te
ns
ão
 [V
]
V(V) = 0.27475 + 16.371 * I - 43.87 * I2 + 30.428 * I3
2. (a) 5, 43 ± 0, 05; (b) (7, 171 ± 0, 008) × 101 (c) (1, 11 ± 0, 04) × 102; (d)
(−2, 594 ± 0, 002) × 102 (e) 8, 022 ± 0, 002; (f) (1, 58 ± 0, 09) × 10−1; (g)
(1, 3±0, 1)×101; (h) (3, 2±0, 3)×10−5; (i) (5±2)×10−4; (j) (1, 7±0, 1)×101;
(k) (3, 53 ± 0, 05) × 101; (l) (1, 8 ± 0, 5) × 10−1; (m) 4, 436 ± 0, 005; (n)
(−2, 50±0, 03)×102, (o) (2, 01±0, 06)×101; (p) (0±2)×101; (q) (8±1)×101
3. D com 0, 03% seguido de C com 0, 045%.
30
CAPÍTULO 5. RESPOSTAS 31
4. (a) 2, 345±0, 002; (b) (9, 83486±0, 00008)×107; (c) 0, 0±0, 2; (d) (1, 23±
0, 01) × 103; (e) (2, 34 ± 0, 02) × 10−3; (f) (2, 342 ± 0, 003) × 10−2; (g)
(343± 1)× 10−11; (h) (9, 79± 0, 03)× 10−3; (i) (2, 3± 0, 6)× 10−5
5. (a) 5, 4± 0, 4; (b) 13, 2± 0, 6
6. Gráfico
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
Deslocamento [cm]
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
Fo
rç
a 
[N
]
F (N) = -0,74464 + 0,54143 * x
A (1,5; 0,0675)
B (5,0; 1,9625)
k = 
∆F
∆x
 = 
(1,9625-0,0675)
(5,0-1,5) = 0,54143 N/cm
7. ρ = (7, 134± 0, 006)g/cm3
8. ρ = 7, 13g/cm3
9. (a) V0 = (0, 91± 0, 02)m/s (b) V0 = (0, 91± 0, 01)m/s
10. Gráfico não apresentado.