BASES MATEMÁTICAS PARA A ENGENHARIA AV2

Prévia do material em texto

BASES MATEMÁTICAS 
PARA ENGENHARIA 
Prof. Ana Lucia de Sousa 
CONTEÚDO DESTA AULA 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
FUNÇÃO AFIM 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
LIMITES 
FUNÇÃO AFIM OU FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O GRAU 
Exercício 1 
Determine a função afim sabendo que f(1) = 2 e f(4) = 5. 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
 Solução através da resolução de sistema de equações 
 função afim → y = ax + b 
 
 f(1) = 2 → 2 = a.(1) + b→ a + b = 2 
 f(4) = 5 → 5 = a.(4) + b→ 4a + b = 5 
 
 
 
a + b = 2 x(-1) 
4a + b = 5 
-a - b = -2 
4a + b = 5 
3a = 3 → a = 1 
a + b = 2 → 1 + b = 2 → b = 2 – 1 → b = 1 
 
Logo, a função será y = 1.x + 1 → y = x + 1 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
Exercício 2 
 Um representante comercial recebe, mensalmente, um 
salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor 
de R$ 1200,00, e uma parte variável, que corresponde à 
comissão de 6% sobre o valor total das vendas que ele faz 
durante o mês. 
a) Escreva a função que determina o valor do salário S(x), 
em função de x (valor total apurado com as suas vendas). 
 
b) Qual será o salário desse representante, num mês 
 que ele tenha vendido R$ 20.000,00? 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
Solução: 
 Um representante comercial recebe, mensalmente, um 
salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor 
de R$ 1200,00, e uma parte variável, que corresponde à 
comissão de 6% sobre o valor total das vendas que ele faz 
durante o mês. 
a) Escreva a função que determina o valor do salário 
S(x), em função de x (valor total apurado com as 
vendas do representante). 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
a) Escreva a função que determina o valor do salário S(x), em 
 função de x. 
 
 
 
 
b) Qual será o salário desse representante, num mês que ele tenha 
vendido R$ 20.000,00? 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
Exercício 3 
(Adaptado) Os preços dos ingressos de um Show nos setores 1, 2 e 
3 seguem uma função polinomial do primeiro grau crescente com a 
numeração dos setores. Se o preço do ingresso no setor 1 é de 
R$120,00 e no setor 3 é de R$400,00, então determine o preço do 
ingresso no setor 2. 
 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
Solução: 
Custo y = ax+b, onde x representa a quantidade produzida. 
Quando x = 1, y = 120 → (1,120) 
Quando x = 3, y = 400 → (3,400) Ingresso no setor 2 
Cálculo do coeficiente a: y = 140x - 20 
 
 y = 140(2) - 20 
 
Cálculo do coeficiente b: y = 260 reais 
y = 140x + b → 120 = 140(1) + b → b = -20 
Função: y = 140x - 20. 
 BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
140
2
280
31
400120









 a
xx
yy
a
if
if
Exercício 4 
(UERJ) O reservatório A perde água a uma taxa constante de 10 litros 
por hora, enquanto o reservatório B ganha água a uma taxa constante 
de 12 litros por hora. No gráfico, estão representados, no eixo y, os 
volumes, em litros, da água contida em cada um dos reservatórios, em 
função do tempo, em horas, representado no eixo x. 
 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
Determine o tempo x0 em horas, 
indicado no gráfico. 
Solução: 
O reservatório A perde água a uma taxa constante de 10 litros por hora. 
O reservatório B ganha água a uma taxa constante de 12 litros por hora. 
 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
De acordo com as informações do 
problema, temos: 
 
A = 720 – 10x 
B = 60 + 12x 
O valor x0 indicado no gráfico é o valor 
de x quando yA = yB . 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
A = 720 – 10x 
B = 60 + 12x 
O valor x0 indicado no gráfico é o valor 
de x quando A = B . 
 
720 – 10x = 60 + 12x 
 
-22x = -660 
 
 Logo, x0 = 30 horas 
FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2O GRAU 
Exercício 1 
 Uma bola lançada para cima, verticalmente, tem sua altura h 
(medida em metros) dada em função do tempo t decorrido após o 
lançamento (t medido em segundos) pela função h = 20t – 5t2. 
 Determine: 
a) O tempo decorrido até a bola chegar à altura máxima; 
b) A altura máxima da bola; 
c) O tempo decorrido até a bola cair no solo. 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
Solução: 
 Seja h = 20t – 5t2 
 a) O tempo decorrido até a bola chegar à altura máxima; 
 
 
 
2
10
20
)5(2
20
2








 vv x
a
b
x
b) A altura máxima da bola; 
 
h = 20t – 5t2 
h = 20(2) – 5(2)2 
h = 40 – 5(4) → h = 20 metros 
 
  
 
 
 
20
20
400
400)0).(5.(4)20(
)5(4
400
..4
4
2
2











v
v
v
y
y
cab
a
y
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
 Seja h = 20t – 5t2 
 (c) Determine o tempo decorrido até a bola cair no solo. 
 
20t – 5t2 = 0 
t(20 – 5t) = 0 
 
t = 0 
20 – 5t = 0 
-5t = -20 x(-1) → 5t = 20 → t = 4 seg 
 
 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
Exercício 2 
Determine o valor mínimo da função f(x) = x2 - 4x + 4. 
 
 
 
 
 
 
 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
  
 
 0 
 






)1(4
0
0)4).(1.(4)4(..4
4
22
v
v
y
cab
a
y
Solução: 
Coeficientes: a = 1, b = -4 e c = 4 
Exercício 3 
(Adaptado) Uma determinada mercadoria tem o seu custo de 
 produção dado pela função f(x) = 3x2 - 15x + 21 e a receita pela 
 venda de x unidades dada pela função g(x) = 2x2 + x. Determine a 
 quantidade de mercadorias (x) que devem ser vendidas para que o 
 lucro seja máximo. 
 
Solução: 
Função lucro = Função Receita – Função Custo 
L (x) = g(x) – f(x) 
 
 
 
 
 
 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
L (x) = g(x) – f(x) 
L(x) = 2x2 + x – (3x2 - 15x + 21) 
L(x) = 2x2 + x – 3x2 + 15x – 21 
L(x) = -x2 + 16x - 21 
Determine a quantidade de mercadorias (x) que devem ser 
vendidas para que o lucro seja máximo. 
unidadesx
a
b
x vv 8
2
16
)1(2
16
2









FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Por meio de uma pesquisa de laboratório, verificou-se que, em certa 
cultura de bactérias, o seu número variava segundo a lei B(t)=100.2t, 
na qual t é o tempo em horas. 
 
(a) Qual o número de bactérias no inicio da pesquisa? 
(b) Qual o número de bactérias após 5 hora? 
(c) Após quantas horas, a partir do inicio, o numero de bactérias 
chegou a 12.800? 
Exercício 1 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
(a) Qual o número de bactérias no inicio da pesquisa? 
 t = 0 => B(0)=100.20 => B(0) = 100 bactérias 
 
(b) Qual o número de bactérias após 5 hora? 
Solução: 
200.3)5(
32100)5(
2100)5(
2100)(
5




B
B
B
tB t
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
 (c) Após quantas horas, a partir do inicio, o numero de bactérias 
chegou a 12.800? 
722
1282
2100800.122100)(
7 


t
tB
t
t
tt
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
Numa população de peixes, há P(t) = 109.43t peixes no instante t 
medido em horas. Sabendo-se que inicialmente existem 109 peixes, 
determine quantos minutos são necessários para que se tenha o 
dobro da população inicial de peixes. 
 
Exercício 2 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
min10
61
22
4241010.2410)(
6
339939


tht
tP
t
ttt
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Exercício 
(UNESP) Numa fábrica, o lucro originado pela produção de x 
peças é dado, em milhares de reais, pela função 
L(x)=log10(100+x)+k, com k constante real. 
(a) Sabendo-se que não havendo produção não há lucro, 
determine k. 
(b) determine o número de peças que é necessário produzir 
para que o lucro seja igual a mil reais. 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
Solução 
(a) Sabendo-se que não havendo produção não há lucro, determine 
k. 
2
2
10log2
10log
100log0
)100log()(
2






k
k
k
k
k
kxxL
2)100log()(  xxL
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
(b) determine o número de peças que é necessário produzir para 
que o lucro seja igual a mil reais. 
2)100log()(  xxL
900100000.1
100000.110010)100log(3
)100log(212)100log(1
3



xx
xxx
xx
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
LIMITES 
Exercícios 
523)1(2)1(3)23(lim) 22
1


xxa
x
4
1
8
2
8
42
)2(4
22
4
2
lim)
22
2









 t
t
b
t
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
LIMITES 
8444lim
4
)4)(4(
lim
4
16
lim)
44
2
4







x
x
xx
x
x
c
xxx
3
1
30
10
3
1
lim
)3(
)1(
lim
3
lim)
002
2
0












 x
x
xx
xx
xx
xx
d
xxx
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA