MATEMÁTICA FINANCEIRA - Aula 1 ao 10

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
Você terá oportunidade de desenvolver os conceitos de valor do dinheiro no tempo, taxa de juros simples, formação da taxa de juros, fluxo de caixa, simbologia, conceitos e convenções básicas.
Unidade de medida da taxa de juros, capitalização, descapitalização.
Convenção de períodos: juros comerciais, juros exatos e juros bancários, série antecipada, série postecipada.
Porcentagem
Para iniciar o estudo de juros, vamos recordar porcentagem aplicando alguns conceitos básicos.
À taxa porcentual p% associamos a razão P/100 e assim, calcular p% de uma quantidade qualquer é multiplicá-la pela razão.
Problemas de porcentagem
Agora, vamos analisar os exemplos vistos anteriormente?
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
Do ponto de vista da Matemática Financeira, R$1.000,00 hoje não são iguais a R$1.000,00 em qualquer outra data, pois o dinheiro se modifica no tempo ao longo dos períodos, devido à taxa de juros por período.
Suponha que o rendimento da poupança durante o ano de 2010 foi de 6%. Qual será o saldo em 1° de janeiro de 2011?
No exemplo anterior, os 6% de rendimento da poupança podem ser considerados como a taxa de juros que corrige o valor aplicado.
Exercícios
Supondo que em certo trimestre a inflação foi de 6%, 8% e 10% ao mês, respectivamente, qual a inflação acumulada no trimestre?
1ª solução: Raciocínio elementar. Suponha um valor inicial para um preço de 100.
2ª solução: Por fatores.
6%  ->  1,06
8%  ->  1,08
10% ->  1,10
Fator acumulado: 1,06 . 1,08 . 1,10 = 1,25928
Fator 1,25928   ->   índice 25,928%
Acumular % -> multiplicar fatores 
Um preço tem reajuste acumulado em um bimestre de 38%. Se no primeiro mês o aumento foi de 20%, qual o aumento do segundo mês?
1ª solução: Raciocínio elementar.
Valor inicial = 100
Certa categoria profissional conseguiu no Tribunal do Trabalho, para junho, reajuste de 62,5% sobre os salários de janeiro, descontadas as antecipações. Como houve um adiantamento de 25% em março, que valor percentual deve incidir sobre os salários de abril para cumprir determinações judiciais?
1ª solução: Raciocínio elementar.
Supondo o salário de janeiro como 100. Como deverá ter em junho 62,5% de aumento, os salários neste mês deverão ser de 162,5.
Assim:
2ª solução: por fatores
Devemos descontar dos 62,5% o adiantamento de 25%. Se x é o fator relativo ao novo ajuste:
Um investimento foi realizado em um período com inflação de 30% e a taxa de rendimento de 56%. Qual o rendimento deste investimento descontada a inflação?
Solução:
Nesta situação, os 56% são chamados de ganho aparente (ou ganho nominal) do investimento e o rendimento, descontada a inflação, é chamado de ganho real.
FLUXO DE CAIXA, JUROS SIMPLES, MONTANTE, SIMBOLOGIA, CONCEITOS E CONVENÇÕES
FLUXO DE CAIXA
Em Finanças, o fluxo de caixa (em inglês "cash flow") refere-se ao montante de caixa recebido e gasto por uma empresa durante um período de tempo definido.
Existem dois tipos de fluxos:
Outflow: de saída, que representa as saídas de capital, subjacentes às despesas de investimento.
Inflow: de entrada, que é o resultado do investimento. Valor que contrabalança com as saídas e traduz-se num aumento de vendas ou numa redução de custos.
Exemplo:
O gráfico representa uma conta bancária no mês de janeiro.
As setas para cima representam ENTRADAS.
As setas para baixo representam SAÍDAS.
Essa representação valerá para todas as nossas aulas.
Supondo que não exista correção do valor do dinheiro no tempo, vamos calcular o saldo do fluxo de caixa no dia 31 de janeiro.
SALDO = 1000 – 200 + 100 – 400 – 300 = $200 
UNIDADE DE MEDIDA DA TAXA DE JUROS
Na matemática financeira, a taxa de juros é indicada por uma porcentagem.
Exemplo:
Suponha que a compra de uma TV LCD à vista custa R$1.000,00, e você paga com um cheque pré-datado para 30 dias no valor de R$1.100,00. Vamos calcular a taxa de juros cobrada pela loja.
Valor pago a mais em um mês:  
1100 – 1000 =100 (representa os juros)
Porcentagem dos juros: 100/1000 = 10%
Comentários:
Como a taxa de juros foi empregada no período de um mês, ela é representada por 10% ao mês (10% am).
Da mesma forma, a taxa de juros pode ser empregada em períodos diferentes:
12%  ao ano (12% aa)
8% ao semestre (8% as)
3% ao bimestre (3% ab)
0,2% ao dia (0,2% ad) 
JUROS SIMPLES
Chamamos de juros a remuneração recebida pela aplicação de um capital C a uma taxa de juros i durante um certo tempo t.
Se essa remuneração incide somente sobre o capital C ao final do tempo t, dizemos que esses juros são juros simples.
No regime de juros simples, os juros de cada período são calculados em função do capital inicial (principal) aplicado. Os juros simples não são capitalizados e, consequentemente, não rendem juros.
Exemplo:
Um investidor aplicou R$1.000,00 no Banco XYZ, pelo prazo de quatro anos, a uma taxa de juros simples de 8% ao ano. Calcule o saldo desse investidor no final de cada quatro anos da operação.
A representação gráfica de aplicação de R$1.000,00 a 8% a.a.
Fórmula dos juros simples:
j = Cit/100 onde i referida na mesma unidade de t
Exemplo: 
i = 15% aa  ;  t = 3 anos
i = 2% am  ;  t = 15 meses
O Montante é a soma do capital (C) com os juros (J).
M = C + J
Exemplo 1
Se R$3.000,00 foram aplicados por 5 meses à taxa de juros simples de 4% ao mês, determine:
a) os juros recebidos
b) o montante
Logo, os juros recebidos são R$600,00.
O montante será o capital aplicado corrigido em 20%.
M = 1,2 x 3000 
M = 3600
Resposta:
A- Juros = R$600,00
B- Montante =  R$3.600,00
Exemplo 2
A quantia de R$2.000,00 foi aplicada por sete meses a juros simples de taxa anual de 24%. Qual o montante dessa aplicação?
Solução:
Repare que o prazo da aplicação está em meses e a taxa ao ano. Devemos transformar um deles em função do outro.
Então, podemos dizer que 24% a.a. e 2% a.m. são taxas equivalentes a juros simples.
Assim:
M = 1,14 x 2000 = 2280
Resp: O montante é R$2.280,00
Exemplo 3
R$5.000,00 foram aplicados a juros simples por 20 dias à taxa de 9% ao mês. Qual o montante dessa aplicação?
Solução:
M = 1,06 x 5000 = 5300
Resp: O montante é R$5.300,00
Exemplo 4
R$3.000,00 foram aplicados a juros simples por 10 dias à taxa de 7% ao mês. Qual o montante dessa aplicação?
Solução:
Resp: O montante é R$3.070,00
Exemplo 5
O capital de R$500,00 aplicado durante um ano e meio a juros simples rendeu R$180,00. Qual a taxa mensal?
Solução:
C =500
t = 1 ano meio = 18 meses
i = ?% a.m.
j = 180
Resp: A taxa mensal é 2%
JUROS COMPOSTOS
Juros Compostos
No regime de juros compostos, os juros de cada período, que não forem pagos no final do período, são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros são capitalizados e, consequentemente, rendem juros.
Chamamos de juros compostos a remuneração que o capital C recebe após n períodos de aplicação, quando acada período, a partir do segundo, os juros são calculados sobre o montante do capital C no período anterior.
Exemplo:
Um investidor aplicou no Banco XYZ R$1.000,00 no mercado financeiro a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano. Calcule o valor do saldo credor no final de cada um dos quatro anos da operação.
A representação gráfica de aplicação de R$1.000,00 a 8% a.a. sob o regime de juros compostos.
Comparando uma aplicação de mesmo valor sob os regimes juros simples e juros compostos:
Montante
Assim, o Montante M de um capital C aplicado à taxa unitária i de juros compostos, a cada período de tempo, por n períodos, é dado por:
Podemos esquematizar essa aplicação da seguinte forma:
Como vamos deslocar o capital C cinco períodos para a direita, multiplicamos C por (1 + i ) n, que é o fator de capitalização.
M = C (1 + i )^n
Exemplo:
Calcular o montante da aplicação de R$10.000,00 à taxa composta de 8% ao trimestre durante um ano.
M = ?
C = 10000
i = 8% a.t. = 0,08 a.t. (taxa unitária)
t = 1 ano
Como a taxa de juros é trimestral,dizemos que o período de capitalização também é trimestral (os juros são creditados na taxa dada, a cada trimestre). Com isso, o número n de períodos de capitalização é igual a 4. (um ano há quatro períodos).
t = 1 ano -> n = 4
M = C (1 + i)^n 
M = 10000 x (1,08)^4
M = 10000 x 1,360488 (Tabela Fator de Acumulação de Capital)
M = 13604,88
Resp: O montante é R$13.604,88 
Uma aplicação de R$1.000,00 por um ano e meio à taxa de juros compostos de 6% ao bimestre. Qual o montante dessa aplicação? 
C = 1000
i = 6% a.b. = 0,06 a.b.
t  = 1 ano e meio = 18 meses -> n = 9 (período bimestral)
M = C (1 + i)^n
M = 1000 x (1,06)^9
M = 1000 x 1,689479 (Tabela Fator de Acumulação de Capital)
M = 1689,48
Resp: O montante é R$1.689,48 
Uma pessoa aplicou R$500,00 num investimento que rende 2% ao mês, a juros compostos.
Qual o tempo necessário aproximado para que o montante seja R$600,00?
M = 600
C = 500
I = 0,02 
600 = 500 (1 + 0,02)^n  
         (1 + 0,02)^n  = 600/500                  
(1,02)^n = 1,2 da Tabela Fator de Acumulação de Capital  -> n = aprox. 9
Resp. O tempo aproximado é 9 meses. 
1. Qual o montante acumulado em 6 trimestres a uma taxa de 5% a.m. no regime de juros compostos, a partir de um principal igual a R$100.000,00?
Resp: R$240.661,90
2- Qual o principal que deve ser investido nesta data para se ter um montante de R$500.000,00 daqui a 2 semestres, a uma taxa de 15% a.t., no regime de juros compostos. 
Resp: R$285.876,66
3- Qual a taxa de rentabilidade mensal de investimento no regime de juros de compostos nessa data, no valor de R$10.000,00, para receber R$17.958,60 daqui a um ano? 
Resp: 5% a.m.
4- Quanto se terá daqui a 6 trimestres ao se aplicar R$100.000,00, nessa data, e qual a taxa mensal, no regime de juros compostos, para se obter um montante de R$170.243,30?
Resp. 3% a.t.
TAXAS DE JUROS
CONCEITOS DE TAXAS DE JUROS
TAXA EQUIVALENTE
Taxas equivalentes são aquelas referidas a períodos de tempo diferentes, mas que quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, geram o mesmo montante.
Seja o capital C aplicado por um ano a uma taxa anual ia. 
O montante M ao final do período de 1 ano será igual a 
M = C (1 + ia) 
Consideremos agora, o mesmo capital M aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im.
O montante M’ ao final do período de
12 meses será igual a 
 M’ = C (1 + im)124
As conversões das taxas podem ser feitas de acordo com as seguintes fórmulas:
Todas elas baseadas no mesmo princípio fundamental de que taxas equivalentes aplicadas a um mesmo capital produzem montantes iguais. Não é necessário memorizar todas as fórmulas. Basta verificar a lei de formação que é bastante clara.
Qual o montante acumulado no final de dois anos, a partir de um principal de R$2.000,00, com taxa de juros de 1% a.m., no regime de juros compostos?
C = R$2.000,00
i = 1% a.m. ou i = 0,01
t = 2 anos 
n = 24 meses
M = ?
Temos:
M = C (1 + i)^n
M = 2000 (1 + 0,01)^24
M = 2000 x 1,269735 (da Tabela)
M = R$2.539,47
Exercícios resolvidos e propostos
TAXA NOMINAL / TAXA PROPORCIONAL OU EFETIVA
Taxa nominal é aquela que está definida em período de tempo diferente do período de capitalização.
A taxa nominal de juros relativa a uma operação financeira pode ser calculada pela expressão:
Exemplo 1:
Se aplicarmos R$10.000,00 à taxa i = 36% ao ano com capitalização mensal, qual o montante (M) obtido ao final de um ano?
Obs: o denominador é 12 porque a taxa i é anual e a capitalização é mensal.
Exemplo 2:
O capital de R$10.000,00 será aplicado por 1 ano. A que taxa anual deverá ser aplicado para gerar o mesmo montante da aplicação à taxa composta de 3% ao mês?
Solução:
Obs.: a taxa composta de 3% ao mês indica tratar-se de juros compostos, ou seja, a cada mês será aplicado um porcentual de 3% sobre o montante.
I = taxa anual 
C = 10000
t = 1 ano = 12 meses
i = ?
Exercícios
Determinar as taxas mensal, trimestral e semestral equivalentes a 36% a.a. Compare os valores obtidos com as respectivas taxas proporcionais.
Solução:
I  = 36% a.a.
TAXA MENSAL
TAXA TRIMESTRAL
TAXA SEMESTRAL
Agora, vamos calcular as taxas proporcionais:
Partindo da taxa de 36% ao ano:
Um capital de $10.000,00 foi aplicado durante 5 anos à taxa de juros de 3% a.a.
Dizer: 
(a) Quais os juros totais produzidos
(b) O valor atingido pelo capital ao final de 5 anos
Resp.:
(a) $1.592,74
(b) $11.592,74
3. Que taxa nominal de juros anual, capitalizada trimestralmente, produz juros totais iguais a 60% do capital ao final de 5 anos?
Resp.: i.a .= 9,51% a.a.
Quanto devo aplicar numa instituição financeira, em caderneta de poupança, que paga uma taxa de juros de 6% a.a., para obter $10.000,00 ao final de 5 anos
Resp.: $7.413,72.
TAXA REAL
Taxa real é a taxa de remuneração docapital, descontada a taxa de inflação. A taxa real expurga o efeito da inflação. Um aspecto interessante sobre a taxa real de juros é que ela pode ser negativa!
Exemplo 1:
Como a taxa de inflação no período é igual a j = 10% = 0,10, substituindo na fórmula anterior, vem:
(1 + in) = (1+r). (1 + j)
(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,10)
1,25 = (1 + r).1,10
1 + r = 1,25/1,10 = 1,1364
Portanto, r = 1,1364 – 1 = 0,1364 = 13,64%
Se a taxa de inflação no período fosse igual a 30%, teríamos para a taxa real de juros:
(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,30)
1,25 = (1 + r).1,30
1 + r = 1,25/1,30 = 0,9615
Portanto, r = 0,9615 – 1 = -,0385 = -3,85% e, portanto, teríamos uma taxa real de juros negativa!
Agora resolva este:
$100.000,00 foi emprestado para ser quitado por $150.000,00 ao final de um ano. Se a inflação no período foi de 20%, qual a taxa real do empréstimo?
Resp.: 25%
Observe que se a taxa de inflação for nula no período, isto é, j = 0, teremos que as taxas nominal e real são coincidentes.
Denomina-se taxa bruta de uma aplicação financeira a taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate bruto, sem levar em conta o desconto do imposto de renda, que é retido pela instituição financeira.
TAXA PREFIXADA / PÓS-FIXADA
A diferença básica entre ambas as taxas, prefixada e pós-fixada, se concentra na forma de compor a taxa: enquanto o crédito prefixado opera com juros estáveis, que considera a inflação, o ganho da financeira e mais uma margem de garantia para qualquer eventualidade, o pós-fixado conta com taxas menores, que equivalem apenas aos juros. Os outros dois componentes (risco da economia e inflação) ficam por conta do devedor, que, além do juro, arca com a correção por um indicador de inflação, como TR ou variação cambial.
Portanto, aí está centrado o risco do negócio: mesmo com a estabilidade econômica, tanto o dólar quanto a inflação podem apresentar variações, o que pode transformar os financiamentos pós-fixados em operações arriscadas. O consumidor pode sair ganhando na parte fixa da taxa de juros, mas em caso de qualquer oscilação mais forte na parte variável, pode acabar pagando mais pelo crédito pós-fixado.
Um exemplo de aplicação pós-fixada é a Caderneta de Poupança, que permite ao investidor aplicar pequenas somas com rendimentos a cada 30 dias. A remuneração é composta por TR (taxa referencial) da data de aniversário da aplicação + 0,5% ao mês. A caderneta de poupança é uma aplicação pós-fixada. 
Os ganhos são isentos de imposto de renda, mas se o aplicador resgatar antes da data de aniversário da aplicação, perde toda a rentabilidade do período (do montante resgatado e não do saldo).
OPERAÇÕES DE DESCONTO
OPERAÇÕES DE DESCONTO
O desconto comercial, bancário ou por fora é o juro calculado sobre o valor nominal ou de face.
Exemplo 1:
Qual será o valor do resgate de uma duplicata de R$100,00, antes do seu vencimento, em um determinado período, supondo que o banco cobre uma taxa de desconto comercial de 5%?
Solução:
N = Valor Nominal ou de face = 100 
Taxa de desconto iD = 5%  
D = 5% de 100 = 5 (é o desconto comercial)
A = N – D
A = 100 – 5 = 95
O valor do resgate é R$95,00.
Exemplo 2:
Qual será o valor doresgate de um cheque de R$120,00 num prazo de antecipação de 2 meses, com desconto comercial em um mercado de taxa mensal simples de 10%?
N = Valor Nominal ou de face = 120 
Taxa de desconto iD = 10%  a.m.
D = 2 . 10% de 120 = 24 (é o desconto comercial)
A = N – D
A = 120 – 24 = 96
O valor do resgate é R$96,00.
O desconto racional, matemático ou por dentro é o juro calculado sobre o valor nominal ou de face. 
É o desconto d que determina um valor A que, corrigido nas condições de mercado, tem para montante o valor nominal N.
d  = juro calculado sobre A.
Exemplo 3:
Qual será o valor do resgate de uma duplicata de R$100,00, antes do seu vencimento, em um determinado período, supondo que o banco cobra uma taxa de desconto racional de 5%?
Solução:
N = Valor Nominal ou de face = 100 
Taxa de desconto racional i = 5%  
d = 5% de A 
A = N – D
A = 100 – 0,05 A  
1,05 A = 100  
A = 95,24
O valor do resgate é R$95,24.
Comparando com o exemplo 1 (desconto comercial), concluímos que o desconto racional favorece a instituição financeira.
Exemplo 4:
Qual será o valor do resgate de um cheque de R$120,00 num prazo de antecipação de 2 meses, com desconto racional em um mercado de taxa mensal simples de 10%?
Solução:
N = Valor Nominal ou de face = 120 
Taxa de desconto i = 10%  a.m.
d = 2 . 10% de A  = 0,2 A  (é o desconto racional) 
A = N – d  
A = 120 – 0,2 A 
Logo: 1,2 A = 120 
A = 100
O valor do resgate é R$100,00.
Comparando com o exemplo 2 (desconto comercial), concluímos que o desconto racional favorece a instituição financeira.
VAMOS VER, AGORA, ALGUNS EXERCÍCIOS PARA EXEMPLIFICAR O CONTEÚDO VISTO ATÉ AQUI.
SÉRIES DE PAGAMENTO UNIFORME
Você terá oportunidade de analisar uma série de pagamentos (recebimentos), capitalização e descontos.
O objetivo da série uniforme é obtermos fatores capazes de realizar a capitalização e o desconto de uma série de prestações iguais.
O valor do dinheiro ao longo do tempo.
Antes de iniciarmos a série uniforme, vamos reforçar o conceito do valor do dinheiro no tempo.
SÉRIES DE PAGAMENTO UNIFORMES
Exemplo:
Suponha que um automóvel custe R$30.000,00 à vista. Caso o consumidor deseje financiar em 18 parcelas mensais iguais, a uma taxa de juros de 2% ao mês, qual será o valor da prestação mensal?
Observe a resolução do exemplo:
Solução:
Observação: quando não há referência a juros compostos ou simples, assume-se sempre que são juros compostos.
Para uma série de pagamentos uniformes (valor de prestação fixo), aplicamos a fórmula:
an¬i  é o fator de valor atual de uma série de pagamentos uniformes (vide Tabela “FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS”. Leia-se “a, cantoneira i” ou simplesmente “a, n, i”.
No exercício, vamos calcular o valor da prestação mensal do automóvel.
an¬i = a18¬2 = 14,992031 (obtido da Tabela II FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS: linha n=18 e coluna i = 2%)
A  =  P . an¬i
Logo: 30000 = P . 14,992031 -> P = 2001,06
A prestação será de R$2.001,06
Observe a tabela abaixo:
Vamos entender melhor, observando a resolução do exercício.
Exercício 1:
Um empréstimo foi financiado em cinco prestações mensais e consecutivas de R$1.000,00, sendo a primeira prestação 30 dias após a liberação do empréstimo. Se a taxa de juros compostos do mercado é 8% a.m., qual o valor do empréstimo?
Exercício 2:
Um equipamento eletrônico foi vendido com R$1.500,00 de entrada e três prestações mensais iguais de R$1.225,48. Sabendo-se que o juro cobrado foi de 2,5% a.m., calcule o preço à vista.
Chamando a entrada de E e as prestações de P, temos:
PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDA
Seja bem-vindo à disciplina Matemática Financeira! Aqui você conhecerá os Planos de Amortização de Dívida, suas definições e principais conceitos. Também aprenderá sobre Sistema de Amortização Constante – SAC.
Saldo devedor 
É o estado da dívida, ou seja, o débito em um determinado instante de tempo.
Sistemas de amortização
Meios pelos quais vai se pagando uma dívida contraída, de forma que seja escolhida pelo devedor a maneira mais conveniente para ele.
SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (TABELA PRICE)
Nessa aula você irá aprender sobre as características da tabela Price ou Sistema Francês de Amortização, que pode ser compreendido como um sistema em que o mutuário obriga-se a devolver o principal mais os juros em prestações iguais entre si.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO – MISTO – VARIÁVEL
Nesta aula, você irá aprender as características dos Sistemas de Amortização Americano, Variável e Misto e como ocorre a incidência dos juros nesses sistemas, além de verificar algumas vantagens e desvantagens dos mesmos.
Sistema Americano de Amortização
O Sistema de Amortização Americano é uma forma de pagamento de empréstimos que se caracteriza pelo pagamento apenas dos juros da dívida, deixando o valor da dívida constante, que pode ser paga em apenas um único pagamento.
Nesse sistema de amortização, não há incidência de juros sobre juros. Eles sempre incidem sobre o valor original da dívida. Com isso, o devedor pode quitar sua dívida quando quiser.
A desvantagem desse sistema é que o pagamento de juros pode, em tese, ser perpétuo mesmo quando já se pagou o equivalente a dívida em si. Para isso, basta que o número de prestações exceda 100% quando soma em juros simples.
Vejamos um exemplo da aplicação do Sistema de Amortização Americano:
Vamos supor que foi contraída uma dívida no valor de R$13.000,00, que será paga em 1 ano com juros de 9% a.m. através do Sistema de Amortização Americano.
O total pago em juros foi R$ 14.040,00 e, mesmo assim, a dívida só foi quitada quando se pagou os R$ 13.000,00, resultando num total de R$27.040,00. No entanto, esse sistema de amortização tolera o pagamento parcial da dívida, o que reduziria proporcionalmente o valor dos juros.
Na forma de amortização do Sistema Americano, durante todo o período do financiamento, são devolvidos somente os juros e, na última prestação, ocorre o pagamento do empréstimo, acrescido dos juros do último período (última parcela).
O Sistema Americano de Amortização é aplicado geralmente para agricultores que esperam a colheita para, então, pagar o principal.
Analise o gráfico abaixo que apresenta o sistema de amortização americano:
O devedor pode querer aplicar recursos disponíveis e gerar um fundo que iguale ao desembolso a ser efetuado para amortizar o principal. Tal fundo é conhecido por “sinking fund” na literatura americana e, na brasileira, por “fundo de amortização”.
Veja abaixo um exemplo da aplicação do Sistema Americano de amortização.
Um empréstimo de R$50.000,00 a juros de 1,5% ao mês deverá ser pago em cinco parcelas pelo Sistema Americano de amortização. 
C = 50.000
i: 1,5% a.m.
Amortização no 5º mês
Os juros são calculados sobre o saldo devedor, pagos no final.
Há capitalização dos juros durante a carência (período durante o qual ocorrem somente juros), conforme mostra a planilha a seguir. Note que não há prestação. 
Com isso, o saldo devedor é acrescido do correspondente em juros.
Veja agora um exemplo da aplicação do Sistema de Amortizações Mistas.
Calcule o valor de cada prestação de um SAM em um financiamento em que: 
C = R$10.000,00
n = 5 meses
i = 3% a.m.
Solução:
a) Prestação do Sistema Price:
C = P .
10000 =  P . 4,579707 (da tabela)
Logo: P = 10000 / 4,579707 = 2.183,55 (esse é o valor da prestação, que é igual para todos os cinco meses).
 b) Prestação do SAC: 
Amortização = 10000 / 5 = 2000 
Cálculo dos juros na primeira parcela:
J1 =  3% de 10000 = 300
Logo, a primeira prestação será R$2.300,00 (Juros + Amortização) e o saldo devedor passa para R$8.000,00 (os juros não são abatidos do saldo devedor).
E assim sucessivamente:
J2 =  3% de 8000 = 240
J3 =  3% de 6000 = 180
J4 =  3% de 4000 = 120
J5 =  3% de 2000 = 60
Sistema de Amortizações Mistas (SAM)
As parcelas de amortização são contratadas pelas partes, e os juros são calculados sobre o saldo devedor.
Neste caso, adevolução do principal (amortizações) é feita em parcelas desiguais. Isto pode ocorrer na prática quando as partes fixam, antecipadamente, as parcelas de amortizações (sem nenhum critério particular) e a taxa de juros cobrada.
Veja o gráfico abaixo que apresenta o sistema de amortizações variáveis.
Coloca-se inicialmente as amortizações, depois são calculados os juros sobre o saldo devedor do período anterior e calculada a prestação:
Suponha um empréstimo de R$50.000,00, a juros de 1,5% ao mês, a ser pago em 4 meses, da seguinte forma: 
1º mês – 10.000
2º mês – 15.000
3º mês – 10.000
4º mês – 15.000
C: 50.000
i: 1,5% a.m.
Amortização: 4 meses
Veja outro exemplo: 
Um imóvel foi comprado por R$100.000,00 para ser pago em 6 parcelas mensais com juros de 2% a.m. O contrato foi fixado de tal forma que as amortizações serão:   
no 1º mês R$10.000,00
no 2º mês R$15.000,00 
no 3º mês R$20.000,00
no 4º mês R$25.000,00
no 5º mês R$15.000,00 
no 6º mês R$15.000,00 
Calcular os valores das seis prestações.
Valor da 1ª prestação
Juros: 2% de 100.000 = 2.000
Então: prestação = 10.000 + 2.000 = 12.000
Novo saldo devedor: 100.000 – 10.000 = 90.000 e assim sucessivamente...
TAXA DE RETORNO – VALOR PRESENTE LÍQUIDO
Nesta aula, você irá aprender os princípios de avaliação de investimentos - conceitos e instrumentais. Teremos ainda a oportunidade de aprender os critérios de avaliação do investimento: taxa de retorno contábil, payback simples, payback descontado, valor presente líquido e taxa interna de retorno.
Conclusão:
Obteve-se um VPL negativo, portanto esse não seria um bom investimento, pois UM INVESTIMENTO DEVE SER ACEITO SE O VPL FOR POSITIVO, E REJEITADO, SE NEGATIVO.
O Payback Descontado existe quando o VPL é zero.
O VPL é uma ferramenta bastante usada pelas empresas.
EXERCÍCIO VPL
Calcule o VPL - Valor Presente Líquido na compra de um determinado equipamento para uma empresa, cujo valor de aquisição é de R$10.000,00 e seu valor no final de um período de 5 anos é de R$7.000,00. Considere ainda as seguintes informações: - Estimativa de recursos gerados por ano: R$8.000,00 - Estimativa de Custos anuais totais: R$6.000,00 - Taxa de desconto: 12% a.a.
Calcula-se o valor presente dos fluxos de caixa futuros a uma taxa de 12%. Temos uma anuidade de R$8.000 - R$6.000 = R$2.000 por cinco anos, somando-se a isso o valor de R$7.000 daqui a cinco anos.