Física 1C Aula 30

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AULA 30
MOMENTO 
ANGULAR
Considere um ponto de referência O no espaço e uma
partícula se movendo em linha reta com velocidade 𝒗, sob a
ação de uma força constante 𝑭. O vetor posição 𝒓 da partícula,
em relação à O, irá variar com o tempo, como ilustrado para
dois instantes t0 e t1 abaixo, fazendo com que o menor ângulo
𝝋 entre os vetores 𝒓 e 𝑭 também varie.
Direção de 𝒗
𝑭 𝑭
𝒓𝟎 𝒓𝟏
𝑶
𝝋𝟎 𝝋𝟏
Momento angular de uma partícula em movimento retilíneo:
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𝝉 = 𝒓 ∙ 𝑭 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋
Podemos considerar essa variação no ângulo como sendo
resultado de um torque produzido por 𝑭 na partícula, em relação
à origem O. Como já vimos, o torque é calculado por
Como 𝑭 é a única força agindo na
partícula, 𝑭 = 𝒎 ∙ 𝒂 e:
𝝉 = 𝒓 ∙ 𝒎 ∙ 𝒂 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋 Sabemos que 𝒂 = 𝒅𝒗
𝒅𝒕
, portanto:
𝝉 = 𝒓 ∙
𝒅 𝒎 ∙ 𝒗
𝒅𝒕
∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋 Já vimos que 𝒑 = 𝒎 ∙ 𝒗,
de forma que:
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𝝉 =
𝒅 𝒓 ∙ 𝒑 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋
𝒅𝒕
Ou seja, o torque é a taxa de variação temporal de alguma
coisa. Essa alguma coisa é chamada MOMENTO ANGULAR.
Pela forma apresentada entre parênteses, deduzimos que o
momento angular é o produto vetorial entre o vetor posição
𝒓 e o vetor momento linear 𝒑.
Ԧ𝒍 = 𝒓 × 𝒑 = 𝒎 ∙ 𝒓 × 𝒗
Unidade: [m.kg.m/s] = [J.s]
Momento Angular
𝝉𝒓𝒆𝒔 =
𝒅 Ԧ𝒍
𝒅𝒕
2ª lei de Newton
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Módulo:
Direção:
𝒍 = 𝒎 ∙ 𝒓 ∙ 𝒗 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋
Para o vetor momento angular:
Perpendicular ao plano formado por 𝒓 e 𝒗
Sentido: Determinado pela regra da mão direita
(entrando ou saindo do plano)
Graficamente, o vetor momento angular é representado por
uma seta com início na origem O em relação à qual ele é
calculado.
𝒓𝟎
𝑶
𝝋𝟎
𝒗
Ԧ𝒍
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𝑭 𝑭
𝒓𝟎 𝒓𝟏
𝑶
𝝋𝟎 𝝋𝟏
No caso de uma partícula em movimento retilíneo:
𝒍 = 𝒓 ∙ 𝒎 ∙ 𝒗 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋 𝒍 = 𝒎 ∙ 𝒗 ∙ 𝒓 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋
𝒓⊥
Embora 𝒓 e 𝝋 variem com o tempo, o produto 𝒓 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋 = 𝒓⊥
permanece constante. O 𝒓⊥ é chamado “braço de momento” e
corresponde à distância perpendicular entre a origem O e a
direção da velocidade 𝒗 da partícula.
Direção de 𝒗
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Note que mesmo uma partícula em MRU (sob ação de força
resultante nula) pode ter momento angular Ԧ𝒍 em relação à uma
origem O qualquer. O fato de não haver força resultante indica
que não há torque resultante, o que significa que não há variação
de Ԧ𝒍 com o passar do tempo. Mas como a partícula tem uma
velocidade (constante) 𝒗, ela terá momento angular (também
constante) de módulo 𝒍 = 𝒎 ∙ 𝒗 ∙ 𝒓⊥.
𝝉𝒓𝒆𝒔 =
𝒅 Ԧ𝒍
𝒅𝒕
𝒅 Ԧ𝒍
𝒅𝒕
= 𝟎
Ԧ𝒍 = 𝒄𝒕𝒆
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Momento angular de uma partícula em movimento circular 
em torno da origem:
𝒗
𝑶
𝝋
𝒓
𝑹
No movimento circular, a velocidade
da partícula estará sempre na direção
tangencial, enquanto que a distância
até o centro estará sempre na direção
radial. Assim, o ângulo 𝝋 entre 𝒗 e 𝒓
será sempre 90°.
𝒍 = 𝒓 ∙ 𝒎 ∙ 𝒗 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝟗𝟎°
Também já vimos que, num movimento
circular, vale a relação 𝒗 = 𝝎 ∙ 𝒓
𝒍 = 𝒓 ∙ 𝒎 ∙ 𝝎 ∙ 𝒓 ∙ 𝟏 𝒍 = 𝒎 ∙ 𝒓𝟐 ∙ 𝝎
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Mas, para uma partícula, o produto 𝒎 ∙ 𝒓𝟐 representa justamente
o momento de inércia I. Então, para o caso em questão,
podemos escrever:
Ԧ𝒍 = 𝑰 ∙ 𝝎
𝒗
𝑶
𝝋
𝒓
𝑹
Ԧ𝒍
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Novamente a 2ª lei de Newton na forma angular:
Já tínhamos visto uma forma da 2ª lei de Newton para o caso
angular:
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝑰 ∙ 𝜶
Como a aceleração angular é a taxa de variação da velocidade
angular com o tempo, isso equivale a:
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝑰 ∙
𝒅𝝎
𝒅𝒕
Substituindo nessa equação o valor de 𝝎 vindo da equação no
slide anterior, ficaremos com:
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𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝑰 ∙
𝒅 ൗ
Ԧ𝒍
𝑰
𝒅𝒕
𝝉𝒓𝒆𝒔 =
𝒅Ԧ𝒍
𝒅𝒕
E, como já havia sido mencionado, a 2ª lei de Newton diz que o
torque resultante sobre uma partícula é igual à variação do
momento angular com o tempo. Daí, já podemos inferir que se o
torque resultante sobre uma partícula for nulo, não haverá
variação do momento angular e, portanto, Ԧ𝒍 se conservará.
Note que esse caso é análogo ao da 2ª lei de Newton na forma
translacional, a qual diz que quando a força resultante sobre
uma partícula for nula, não haverá variação do momento linear
e, portanto, 𝒑 se conservará.
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Momento angular para um sistema de partículas: 
O momento angular 𝑳 de um sistema composto de n partículas
em relação à uma origem O qualquer será dado pela soma
vetorial dos momentos angulares Ԧ𝒍𝒊 de cada partícula em
relação àquela origem O:
𝑳 = Ԧ𝒍𝟏 + Ԧ𝒍𝟐 + Ԧ𝒍𝟑 +⋯+ Ԧ𝒍𝒏 =෍
𝒊=𝟏
𝒏
Ԧ𝒍𝒊
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Com o passar do tempo, os momentos angulares Ԧ𝒍𝒊 de cada
partícula podem variar tanto devido à interações internas do
sistema como à interações entre o sistema e o exterior. Os
torques devidos à interações internas entre as partículas se
cancelarão para o sistema como um todo, pois as forças internas
entre pares de partículas terão sempre a mesma linha de ação, o
mesmo módulo, mas sentidos contrários, gerando assim torques
internos de mesmo módulo porém sentidos contrários. Dessa
forma, apenas torques externos podem mudar o momento
angular do sistema e podemos escrever a 2ª lei de Newton como:
𝝉𝒓𝒆𝒔𝑬𝒙𝒕 =
𝒅𝑳
𝒅𝒕
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Momento angular para um corpo rígido que gira em torno 
de um eixo fixo (em rotação): 
𝑶 (eixo fixo)
𝒗𝒊
𝝋
𝒓𝒊
𝝎
𝒎𝒊
Para um corpo extenso, cada partícula é um
elemento de massa infinitesimal 𝒎𝒊 . É
necessário somar a contribuição de todos
esses elementos para o momento angular
do corpo 𝑳. Como o corpo é rígido, todos os
elementos terão a mesma 𝝎 e para todos
valerá a relação 𝒗𝒊 = 𝝎 ∙ 𝒓𝒊. Além disso, o
ângulo entre 𝒓𝒊 e 𝒗𝒊 será sempre 90°.
Considerando uma “fatia” bem fina do corpo,
contida no plano X-Y, os Ԧ𝒍𝒊 de todos
elementos estarão na direção Z e serão:
𝒚
𝒙
AULA 30 – MOMENTO ANGULAR
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𝒍𝒊 = 𝒓𝒊 ∙ 𝒎𝒊 ∙ 𝒗𝒊 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝟗𝟎°
𝒍𝒊 = 𝒎𝒊 ∙ 𝒓𝒊
𝟐 ∙ 𝝎𝒍𝒊 = 𝒓𝒊 ∙ 𝒎𝒊 ∙ 𝝎 ∙ 𝒓𝒊 ∙ 𝟏
Porém, as outras “fatias” do corpo não estarão no plano X-Y e,
portanto, terão componentes do momento angular que não
estarão na direção Z. Para evitar a complicação de trabalhar com
um 𝑳 que tenha componentes em X, Y e Z, só trabalharemos com
casos onde o eixo de rotação é um eixo de simetria, de forma
que as contribuições em X e Y vindas de elementos em lados
opostos do eixo se cancelem na soma do 𝑳 total. Isso nos
permite escrever:
𝑳 = 𝑰 ∙ 𝝎 Onde 𝑳 e 𝝎 estarão sempre
sobre o eixo de rotação, que
será considerado o eixo Z.
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Conservação do momento angular: 
Sempre que um sistema discreto ou contínuo estiver isolado
(força resultante externa sobre o sistema for nula) o momento
angular do sistema se conservará (como já mencionado na 2ª
lei de Newton):
𝑳𝒊 = 𝑳𝒇
Mesmo que o sistema não esteja isolado, o momento angular L
ainda pode se conservar, desde que o torque resultante devido
a agentes externos seja nulo.
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Exemplo:
Considere dois discos A e B, onde A é o volante de um motor
e B é um disco ligado à um eixo de transmissão. Seus
momentos de inércia são IA e IB. Inicialmente, eles giram com
velocidades angulares diferentes, wA e wB, respectivamente. A
seguir, os discos são empurrados um contra o outro, por
forças externas que atuam ao longo da direção doeixo (ver
figura no próximo slide). Após se acoplarem, os discos
atingem a mesma wF e giram como um corpo só.
a) Deduza uma expressão para wF .
b) Sendo wA = 50,0 rad/s; mA = 2,00 kg; rA = 0,200 m; wB = 200
rad/s; mB = 4,00 kg e rB = 0,100 m, calcule o valor de wF .
c) A energia cinética se conserva durante o processo? Por quê?
AULA 30 – MOMENTO ANGULAR
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Como não há torque
externo resultante (ver
figura), o momento angular
se conserva.
𝑳𝒊 = 𝑳𝒇
𝑰𝑨 ∙ 𝝎𝑨 + 𝑰𝑩 ∙ 𝝎𝑩
= 𝑰𝑨 + 𝑰𝑩 ∙ 𝝎𝑭
𝝎𝑭 =
𝑰𝑨 ∙ 𝝎𝑨 + 𝑰𝑩 ∙ 𝝎𝑩
𝑰𝑨 + 𝑰𝑩
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𝝎𝑭 =
𝟏
𝟐 ∙ 𝒎𝑨 ∙ 𝒓𝑨
𝟐 ∙ 𝝎𝑨 +
𝟏
𝟐 ∙ 𝒎𝑩 ∙ 𝒓𝑩
𝟐 ∙ 𝝎𝑩
𝟏
𝟐 ∙ 𝒎𝑨 ∙ 𝒓𝑨
𝟐 +
𝟏
𝟐 ∙ 𝒎𝑩 ∙ 𝒓𝑩
𝟐
Como o eixo de rotação está no centro dos discos, usamos ICM.
𝝎𝑭 =
𝟎, 𝟎𝟒 ∙ 𝟓𝟎 + 𝟎, 𝟎𝟐 ∙ 𝟐𝟎𝟎
𝟎, 𝟎𝟒 + 𝟎, 𝟎𝟐
𝝎𝑭 = 𝟏𝟎𝟎 rad/s
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A energia cinética de rotação é dada por 𝑲 =
𝟏
𝟐
∙ 𝑰 ∙ 𝝎𝟐
𝑲𝒊 =
𝟏
𝟐
∙ 𝑰𝑨 ∙ 𝝎𝑨
𝟐 +
𝟏
𝟐
∙ 𝑰𝑩 ∙ 𝝎𝑩
𝟐 𝑲𝒊 = 𝟒𝟓𝟎 J
𝑲𝑭 =
𝟏
𝟐
∙ 𝑰𝑨 + 𝑰𝑩 ∙ 𝝎𝑭
𝟐 𝑲𝑭 = 𝟑𝟎𝟎 J
𝚫𝑲 = −𝟏𝟓𝟎 J
A energia cinética não se conserva porque há atrito entre os
discos, responsável por eles atingirem a mesma velocidade
angular ao entrarem em contato. Sendo uma força interna, o
atrito não causa torque resultante, de forma que 𝑳 se
conserva. Mas como o atrito é dissipativo, parte da K inicial se
transforma em calor.
AULA 30 – MOMENTO ANGULAR
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Exemplo: Uma porta de 1,0 m de largura e massa 15 kg é presa
por uma dobradiça na sua lateral, que lhe permite girar
livremente em torno de um eixo vertical. A porta está
destrancada quando um policial dispara uma bala de massa 10 g
e velocidade 400 m/s em
linha reta na direção do
centro da porta. Determine
a velocidade angular da
porta logo após a bala ter
ficado alojada nela. Trate a
porta como se fosse uma
barra homogênea com
comprimento de 1,0 m. Há
conservação da energia
cinética?
AULA 30 – MOMENTO ANGULAR
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𝝉𝒓𝒆𝒔𝑬𝒙𝒕 = 𝟎 𝑳𝒊 = 𝑳𝒇𝑳 = 𝒍𝒃𝒂𝒍𝒂 + 𝒍𝒑𝒐𝒓𝒕𝒂
𝑳𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟏 ∙ 𝟎, 𝟓 ∙ 𝟒𝟎𝟎 + 𝟎
𝑳𝒊 = 𝒎𝒃 ∙ 𝒗𝒊𝒃 ∙ 𝒓𝒃 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋 + 𝑰𝒑 ∙ 𝝎𝒊𝒑
𝑳𝒊 = 𝟐, 𝟎 J.s
Como a porta gira em torno de um eixo fixo vertical (na
dobradiça), esse eixo de rotação deve ser tomado como a
origem em relação à qual será calculado o momento angular.
Como a bala fica alojada na porta, o momento angular final é o
dos dois objetos juntos rotacionando em torno da dobradiça.
𝑳𝒇 = 𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 ∙ 𝝎𝒇
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𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝑰𝒃𝒂𝒍𝒂 + 𝑰𝒑𝒐𝒓𝒕𝒂
Partícula no meio da porta
𝑰𝒃𝒂𝒍𝒂 = 𝒎𝒃 ∙ 𝒓𝒃
𝟐
𝑰𝒃𝒂𝒍𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟏 ∙ 𝟎, 𝟓
𝟐
𝑰𝒃𝒂𝒍𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟓 kg.m
2
Barra com eixo na ponta
𝑰𝒑𝒐𝒓𝒕𝒂 =
𝟏
𝟑
∙ 𝒎𝒑 ∙ 𝑳𝒑
𝟐
𝑰𝒑𝒐𝒓𝒕𝒂 =
𝟏
𝟑
∙ 𝟏𝟓 ∙ 𝟏 𝟐
𝑰𝒑𝒐𝒓𝒕𝒂 = 𝟓, 𝟎 kg.m
2
𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟓 + 𝟓 = 𝟓, 𝟎𝟎𝟐𝟓 kg.m
2
AULA 30 – MOMENTO ANGULAR
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𝝎𝒇 =
𝑳𝒇
𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
=
𝑳𝒊
𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝝎𝒇 =
𝟐, 𝟎
𝟓, 𝟎𝟎𝟐𝟓
= 𝟎, 𝟒𝟎 rad/s
Como se trata de uma colisão perfeitamente inelástica, não
deve haver conservação da energia cinética. Para provar isso
calculamos Ki e Kf :
𝑲𝒊 =
𝟏
𝟐
∙ 𝒎𝒃 ∙ 𝒗𝒃
𝟐 𝑲𝒊 = 𝟖𝟎𝟎 J
𝑲𝒇 =
𝟏
𝟐
∙ 𝑰𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 ∙ 𝝎𝒇
𝟐 𝑲𝒇 = 𝟎, 𝟒𝟎 J
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Ou seja, a energia cinética final é 2000 vezes menor do que a
energia cinética inicial.