Física 1C Aula 31

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AULA 31
EQUILÍBRIO 
ESTÁTICO
𝑷𝒊 = 𝑷𝒇
Dizemos que um sistema ou corpo está em EQUILÍBRIO
quando o seu estado de movimento não varia com o passar do
tempo. Isso implica em:
𝒅𝑷
𝒅𝒕
= 𝟎
𝑳𝒊 = 𝑳𝒇
𝒅𝑳
𝒅𝒕
= 𝟎
Note que um corpo em MRU ou em MCU estará em equilíbrio,
pois seu momento linear ou angular não varia com o tempo.
AULA 31 – EQUILÍBRIO ESTÁTICO
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𝑷𝒊 = 𝑷𝒇 = 𝟎
Estamos interessados mais especificamente no EQUILÍBRIO
ESTÁTICO, onde não só não há variação temporal dos
momentos linear e angular, mas os momentos linear e angular
do sistema são sempre nulos. Isso implica em:
𝒅𝑷
𝒅𝒕
= 𝟎
𝑳𝒊 = 𝑳𝒇 = 𝟎
𝒅𝑳
𝒅𝒕
= 𝟎
𝑭𝒓𝒆𝒔 = 𝟎
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝟎
&
&
AULA 31 – EQUILÍBRIO ESTÁTICO
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Note que as relações são vetoriais e é necessário considerar a
direção e o sentido de todas as forças e torques em questão:
𝑭𝒓𝒆𝒔𝑿 = 𝟎
𝑭𝒓𝒆𝒔𝒀 = 𝟎
𝑭𝒓𝒆𝒔𝒁 = 𝟎
tanti-horário = positivo
thorário = negativo
AULA 31 – EQUILÍBRIO ESTÁTICO
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Exemplo: equilibrando uma barra em duas balanças
Uma barra homogênea de comprimento L e massa m = 1,8 kg é
colocada sobre duas balanças, de forma que o sistema fica em
equilíbrio estático.
a) Qual a leitura em cada balança se elas forem colocadas sob
as extremidades da barra?
b) Qual a leitura em cada balança se a balança da esquerda for
mantida sob a extremidade esquerda da barra mas a balança da
direita for deslocada de L/3 em direção ao CM da barra?
c) Considere novamente que cada balança está sob uma
extremidade da barra, mas agora alguém também coloca um
bloco de massa M = 2,7 kg sobre a barra, à uma distância L/4
da extremidade esquerda da barra. Qual a leitura em cada
balança agora, se o sistema está em equilíbrio estático ?
AULA 31 – EQUILÍBRIO ESTÁTICO
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a) Qual a leitura em cada balança se elas forem colocadas sob
as extremidades da barra? 𝑪𝑴
Resolução geral:
1 – Escolha o objeto que vai analisar (aquele no qual atuam
mais forças de interesse)
2 – Desenhe todas as forças que atuam SOBRE aquele objeto e
sobre ele apenas, colocando-as no ponto exato em que agem.
3 – Escolha um ponto no objeto para colocar a origem em
relação à qual você irá calcular os torques. Faça essa escolha
estrategicamente, pois anular o torque de uma força que não é
conhecida pode ser a chave para resolver um problema.
AULA 31 – EQUILÍBRIO ESTÁTICO
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𝑪𝑴
𝑷
𝑵𝒆 𝑵𝒅
Aplicando primeiro o equilíbrio de forças:
𝑭𝒓𝒆𝒔 = 𝟎 𝑵𝒆 +𝑵𝒅 − 𝑷 = 𝟎
referencial
𝑵𝒆 +𝑵𝒅 = 𝑷
Note que essa relação diz que a soma das forças normais é
igual ao peso, mas ela não diz nada sobre cada normal ser
metade do peso. E essa relação por si só não permite resolver
o problema.
AULA 31 – EQUILÍBRIO ESTÁTICO
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𝑪𝑴
𝑷
𝑵𝒆 𝑵𝒅
Aplicando agora o equilíbrio dos torques, com a origem na
extremidade esquerda da barra:
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝟎 𝝉𝑵𝒅 − 𝝉𝑷 = 𝟎 𝝉𝑵𝒅 = 𝝉𝑷
𝑶 𝒓𝑷
𝒓𝑵𝒅
𝒓𝑵𝒅 ∙ 𝑵𝒅 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝟗𝟎° = 𝒓𝑷 ∙ 𝑷 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝟗𝟎°
𝑳 ∙ 𝑵𝒅 =
𝑳
𝟐
∙ 𝒎 ∙ 𝒈 𝑵𝒅 =
𝒎 ∙ 𝒈
𝟐
𝑵𝒅 = 𝟖, 𝟖 𝑵
AULA 31 – EQUILÍBRIO ESTÁTICO
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Agora sim, a relação dos torques prova que cada normal
deve valer a metade do peso. Note que nem precisaríamos ter
feito o equilíbrio de forças para responder essa questão, a
relação dos torques por si só já permite resolver o problema
quando a origem é escolhida adequadamente.
𝑵𝒆 =
𝒎 ∙ 𝒈
𝟐
𝑵𝒆 = 𝟖, 𝟖 𝑵
Obviamente, se Nd vale metade do peso então:
AULA 31 – EQUILÍBRIO ESTÁTICO
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b) Qual a leitura em cada balança se a balança da esquerda for
mantida sob a extremidade esquerda da barra mas a balança da
direita for deslocada de L/3 em direção ao CM da barra?
𝑪𝑴
ൗ𝑳 𝟐
ൗ𝑳 𝟑
Se você prestou um mínimo de atenção na letra a), vai querer
começar calculando o equilíbrio dos torques... E colocando a
origem na extremidade da esquerda, mais uma vez.
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𝑪𝑴
𝑳
𝟐
𝑳
𝟑
𝒓𝑵𝒅𝑵𝒆
𝑵𝒅
𝒓𝑷
𝑷
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝟎 𝝉𝑵𝒅 − 𝝉𝑷 = 𝟎 𝝉𝑵𝒅 = 𝝉𝑷
𝒓𝑵𝒅 ∙ 𝑵𝒅 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝟗𝟎° = 𝒓𝑷 ∙ 𝑷 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝟗𝟎°
𝟐
𝟑
𝑳 ∙ 𝑵𝒅 =
𝑳
𝟐
∙ 𝒎 ∙ 𝒈 𝑵𝒅 =
𝟑
𝟒
∙ 𝒎 ∙ 𝒈 𝑵𝒅 = 𝟏𝟑 𝑵
𝑶
AULA 31 – EQUILÍBRIO ESTÁTICO
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𝑵𝒆 = 𝑷 −𝑵𝒅Logicamente, 𝑵𝒆 =
𝟏
𝟒
∙ 𝒎 ∙ 𝒈 𝑵𝒆 = 𝟒, 𝟒 𝑵
E a relação dos torques já mostra diretamente que as leituras
das balanças têm valores diferentes, sendo que a balança
mais próxima do CM da barra sustenta uma fração maior
do peso da barra.
Note que a mesma resposta deve ser obtida
independentemente de onde você escolhe a origem! Verifique
isso você mesmo resolvendo esse ítem com a origem
colocada no CM da barra.
AULA 31 – EQUILÍBRIO ESTÁTICO
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c) Considere novamente que cada balança está sob uma
extremidade da barra, mas agora alguém também coloca um
bloco de massa M = 2,7 kg sobre a barra, à uma distância L/4
da extremidade esquerda da barra. Qual a leitura em cada
balança agora, se o sistema está em equilíbrio estático ?
𝑪𝑴𝑴
𝑳
𝟒
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𝑪𝑴
𝒎 ∙ 𝒈
𝑵𝒆 𝑵𝒅
Aplicando primeiro o equilíbrio de forças:
𝑭𝒓𝒆𝒔 = 𝟎 𝑵𝒆 +𝑵𝒅 −𝒎 ∙ 𝒈 −𝑴 ∙ 𝒈 = 𝟎
referencial
𝑵𝒆 +𝑵𝒅 = 𝒎+𝑴 ∙ 𝒈
𝑴 ∙ 𝒈
AULA 31 – EQUILÍBRIO ESTÁTICO
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E agora o equilíbrio de torques, com a origem na extremidade
direita da barra:
𝑪𝑴
𝒎 ∙ 𝒈
𝑵𝒆 𝑵𝒅
𝑴 ∙ 𝒈
𝒓𝑵𝒆
𝒓𝒎𝒈𝒓𝑴𝒈
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝟎 𝝉𝒎𝒈 + 𝝉𝑴𝒈 − 𝝉𝑵𝒆 = 𝟎 𝝉𝑵𝒆 = 𝝉𝒎𝒈 + 𝝉𝑴𝒈
𝒓𝑵𝒆 ∙ 𝑵𝒆 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝟗𝟎° = 𝒓𝒎𝒈 ∙ 𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝟗𝟎° + 𝒓𝑴𝒈 ∙ 𝑴 ∙ 𝒈 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝟗𝟎°
𝑳 ∙ 𝑵𝒆 =
𝑳
𝟐
∙ 𝒎 ∙ 𝒈 +
𝟑𝑳
𝟒
∙ 𝑴 ∙ 𝒈 𝑵𝒆 =
𝟏
𝟐
∙ 𝒎 ∙ 𝒈 +
𝟑
𝟒
∙ 𝑴 ∙ 𝒈
𝑶
AULA 31 – EQUILÍBRIO ESTÁTICO
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Ou seja, a balança da esquerda suporta metade do peso
da barra e três quartos do peso do bloco.
Por lógica ou usando a equação das forças, chegamos então a:
𝑵𝒆 =
𝟏
𝟐
∙ 𝟏, 𝟖 ∙ 𝟗, 𝟖 +
𝟑
𝟒
∙ 𝟐, 𝟕 ∙ 𝟗, 𝟖 𝑵𝒆 = 𝟐𝟗 N
𝑵𝒅 =
𝟏
𝟐
∙ 𝒎 ∙ 𝒈 +
𝟏
𝟒
∙ 𝑴 ∙ 𝒈 𝑵𝒅 = 𝟏𝟓 N
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Exemplo: homem na escada
P
a
re
d
e
s
e
m
a
tr
it
o
Chão com atrito
Um homem sobe uma escada homogênea de
comprimento L = 12,0 m e massa m = 45,0 kg.
Ela está apoiada numa parede lisa a uma altura
h = 9,0 m e no chão áspero. O homem tem M =
72,0 kg e para momentâneamente quando seu
centro de gravidade está a L/3 ao longo da
escada. Nesse instante o sistema está em
equilíbrio estático.
Calcule o módulo, direção e
sentido das forças exercidas
sobre a escada:
a) pela parede
b) pelo o chão.
AULA 31 – EQUILÍBRIO ESTÁTICO
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P
a
re
d
e
s
e
m
a
tr
it
o
Chão com atrito
𝒎 ∙ 𝒈
𝑴 ∙ 𝒈
𝑵𝒄
𝒇𝒆
𝑵𝒑
Como ilustrado na figura, tanto Nc quanto fe
são exercidas pelo chão sobre a escada.
Sendo assim, a força resultante exercida
pelo chão sobre a escada, chamada de força
de reação, é a soma vetorial de Nc e fe.
𝑵𝒄
𝒇𝒆
𝑭𝒄𝒉ã𝒐
O ângulo a que Fchão forma com a
horizontal não tem relação nenhuma
com o ângulo q que a escada forma
com a horizontal!!
𝜶
𝜽
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P
a
re
d
e
s
e
m
a
tr
it
o
Chão com atrito
𝒎 ∙ 𝒈
𝑴 ∙ 𝒈
𝑵𝒄
𝒇𝒆
𝑵𝒑
referencial
Aplicando primeiro o equilíbrio de forças:
𝑭𝒓𝒆𝒔_𝒚 = 𝟎
𝑵𝒄 −𝑴 ∙ 𝒈 −𝒎 ∙ 𝒈 = 𝟎
𝑵𝒄 = 𝑴+𝒎 ∙ 𝒈
𝑵𝒄 = 𝟕𝟐 + 𝟒𝟓 ∙ 𝟗, 𝟖
𝑵𝒄 = 𝟏𝟏𝟓𝟎 N
𝑭𝒓𝒆𝒔_𝒙 = 𝟎
𝑵𝑷 − 𝒇𝒆 = 𝟎 𝑵𝑷 = 𝒇𝒆
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Aplicando agora o equilíbrio dos torques, com a origem no
pontode contato entre o chão e a escada (por que foi escolhida
essa origem?):
P
a
re
d
e
s
e
m
a
tr
it
o
Chão com atrito
𝒎 ∙ 𝒈
𝑴 ∙ 𝒈
𝑵𝒄
𝒇𝒆
𝑵𝒑
𝑶
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝟎
𝝉𝑵𝒄 + 𝝉𝒇𝒆 + 𝝉𝒎.𝒈 + 𝝉𝑴.𝒈 + 𝝉𝑵𝒑 = 𝟎
𝝉𝑵𝒄 = 𝒓𝑵𝒄 ∙ 𝑵𝒄 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝝋𝑵𝒄
𝝉𝑵𝒄 = 𝟎
𝝉𝒇𝒆 = 𝒓𝒇𝒆 ∙ 𝒇𝒆 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝝋𝒇𝒆
𝝉𝒇𝒆 = 𝟎
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𝑵𝒑
𝑶
𝝉𝑵𝒑 = ±𝒓𝑵𝒑 ∙ 𝑵𝒑 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝝋𝑵𝒑
𝒓𝑵𝒑
𝝋𝑵𝒑
𝝉𝑵𝒑 = −𝑳 ∙ 𝑵𝒑 ∙
𝒉
𝑳
𝝋𝑵𝒑
𝒉
𝒓⊥ = 𝒉
𝝉𝑵𝒑 = −𝑵𝒑 ∙ 𝒉
= −𝑵𝒑 ∙ 𝒓⊥
= −𝑵𝒑 ∙ 𝒉
𝒎𝒈
𝑶
𝝉𝒎𝒈 = ±𝒓𝒎𝒈 ∙ 𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝝋𝒎𝒈
𝒓𝒎𝒈
𝝋𝒎𝒈
𝝋𝑵𝒑
𝝋𝒎𝒈
𝒉
𝑳
𝒙
𝑳
𝟐
𝒉
𝟐
Um pouco de geometria antes de
continuarmos:
𝐬𝐞𝐧 𝝋𝒎𝒈 = 𝐜𝐨𝐬 𝝋𝑵𝒑
𝝋𝒎𝒈 = 𝟗𝟎° − 𝝋𝑵𝒑
𝑳𝟐 = 𝒉𝟐 + 𝒙𝟐 𝒙
𝟐
𝝋𝒎𝒈
Semelhança
de triângulos
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𝒎𝒈
𝑶
𝝉𝒎𝒈 = ±𝒓𝒎𝒈 ∙ 𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝝋𝒎𝒈
𝒓𝒎𝒈
𝝋𝒎𝒈
𝝉𝒎𝒈 = +
𝑳
𝟐
∙ 𝒎 ∙ 𝒈 ∙
ൗ𝒙 𝟐
ൗ𝑳 𝟐
𝒙
𝟐
𝝉𝒎𝒈 = +𝒎 ∙ 𝒈 ∙
𝒙
𝟐
= 𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝒓⊥
= 𝒓⊥
= 𝒎 ∙ 𝒈 ∙
𝒙
𝟐
𝑴 ∙ 𝒈
𝑶
𝒓𝑴𝒈
𝝋𝒎𝒈
𝝉𝑴𝒈 = ±𝒓𝑴𝒈 ∙ 𝑴 ∙ 𝒈 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝝋𝑴𝒈
𝝉𝑴𝒈 = +
𝑳
𝟑
∙ 𝑴 ∙ 𝒈 ∙
ൗ𝒙 𝟑
ൗ𝑳 𝟑
𝝉𝑴𝒈 = +𝑴 ∙ 𝒈 ∙
𝒙
𝟑
= 𝑴 ∙ 𝒈 ∙ 𝒓⊥
Τ𝒙 𝟑
= 𝑴 ∙ 𝒈 ∙
𝒙
𝟑
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𝝉𝑵𝒄 + 𝝉𝒇𝒆 + 𝝉𝒎.𝒈 + 𝝉𝑴.𝒈 + 𝝉𝑵𝒑 = 𝟎
𝟎 + 𝟎 +𝒎 ∙ 𝒈 ∙
𝒙
𝟐
+𝑴 ∙ 𝒈 ∙
𝒙
𝟑
− 𝑵𝒑 ∙ 𝒉 = 𝟎
Reunindo os torques calculados:
𝑵𝒑 ∙ 𝒉 = 𝒎 ∙ 𝒈 ∙
𝒙
𝟐
+𝑴 ∙ 𝒈 ∙
𝒙
𝟑
𝑵𝒑 =
𝒙
𝒉
∙ 𝒈 ∙
𝒎
𝟐
+
𝑴
𝟑
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𝝋𝑵𝒑
𝝋𝒎𝒈
𝒉 𝑳
𝒙
tan 𝝋𝒎𝒈 =
𝒙
𝒉
tan 𝝋𝑵𝒑 =
𝒉
𝒙
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𝑳𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒉𝟐... 𝒙 = 𝑳𝟐 − 𝒉𝟐
𝑵𝒑 =
𝑳𝟐 − 𝒉𝟐
𝒉
∙ 𝒈 ∙
𝒎
𝟐
+
𝑴
𝟑
𝑵𝒑 =
𝑳𝟐 − 𝒉𝟐
𝒉𝟐
∙ 𝒈 ∙
𝒎
𝟐
+
𝑴
𝟑
𝑵𝒑 =
𝑳𝟐
𝒉𝟐
− 𝟏 ∙ 𝒈 ∙
𝒎
𝟐
+
𝑴
𝟑
𝑵𝒑 =
𝟏𝟐 𝟐
𝟗 𝟐
− 𝟏 ∙ 𝟗, 𝟖 ∙ 𝟐𝟐, 𝟓 + 𝟐𝟒
𝑵𝒑 =
𝟏𝟒𝟒
𝟖𝟏
− 𝟏 ∙ 𝟒𝟓𝟓, 𝟕 𝑵𝒑 = 𝟎, 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟖 ∙ 𝟒𝟓𝟓, 𝟕
𝑵𝒑 = 𝟎, 𝟖𝟖𝟐 ∙ 𝟒𝟓𝟓, 𝟕 𝑵𝒑 = 𝟒𝟎𝟐 N
𝒇𝒆 = 𝑵𝑷 𝒇𝒆 = 𝟒𝟎𝟐 N
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a) força exercida sobre a escada pela parede:
𝑵𝒑 = 𝟒𝟎𝟐 N
𝑵𝒑 x
y
𝜽𝑭𝒄 = 𝟏𝟎𝟗°
a) força exercida sobre a escada pelo chão:
𝑵𝒄
𝒇𝒆
𝑭𝒄𝒉ã𝒐
𝜶
x
y 𝑭𝒄𝒉ã𝒐 = 𝑵𝒄
𝟐 + 𝒇𝒆
𝟐
𝑭𝒄𝒉ã𝒐 = 𝟏𝟏𝟓𝟎𝟐 + 𝟒𝟎𝟐𝟐 𝑭𝒄𝒉ã𝒐 = 𝟏𝟐𝟐𝟎 N
𝜽𝑵𝒑 = 𝟎, 𝟎𝟎°
tan 𝜶 =
𝑵𝒄
𝒇𝒆
tan 𝜶 =
𝟏𝟏𝟒𝟕
𝟒𝟎𝟐
𝜶 = 𝟕𝟎, 𝟕°
𝜽𝑭𝒄 = 𝟏𝟖𝟎° − 𝜶
𝜽𝑭𝒄
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𝜽
𝟏𝟐 m𝟗 m
𝐬𝐞𝐧 𝜽 =
𝟗
𝟏𝟐
𝛉 = 𝐬𝐞𝐧−𝟏(𝟎, 𝟕𝟓)
𝛉 = 𝟒𝟖, 𝟔°
Isso prova o que foi dito no início do
problema: o ângulo a = 70,7° que
Fchão forma com a horizontal não
tem relação nenhuma com o ângulo
q = 48,6° que a escada forma com a
horizontal!
𝑭𝒄𝒉ã𝒐
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