Física 1C Aula 22

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AULA 22
COLISÕES
Colisões inelásticas em uma dimensão:
𝒎𝟏 ∙ 𝒗𝟏𝒊 +𝒎𝟐 ∙ 𝒗𝟐𝒊 = 𝒎𝟏 ∙ 𝒗𝟏𝒇 +𝒎𝟐 ∙ 𝒗𝟐𝒇
A energia cinética não se
conserva, principalmente por
causa da energia envolvida na
deformação dos corpos que
estão colidindo.
A princípio, a única relação
que podemos aplicar é a
conservação do momento
linear.
AULA 22 – COLISÕES
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Colisões completamente inelásticas em uma dimensão:
Antes:
𝒗𝟏𝒊 𝒗𝟐𝒊𝒎𝟏
𝒎𝟐
𝒗𝒇
𝒎𝟏 𝒎𝟐
Depois:
Neste tipo de colisão, as
partículas se “grudam”
após o choque. Pode-se
provar que essa situação
representa a perda de
energia cinética máxima
numa colisão inelástica
em uma dimensão.
AULA 22 – COLISÕES
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𝒎𝟏 ∙ 𝒗𝟏𝒊 +𝒎𝟐 ∙ 𝒗𝟐𝒊 = 𝒎𝟏 +𝒎𝟐 ∙ 𝒗𝒇
A conservação do momento linear nesse caso fica:
Como o centro de massa coincide com as duas partículas
“grudadas”, elas têm que se mover com a velocidade do
centro de massa, que se mantém constante imediatamente
antes e imediatamente depois da colisão. A energia cinética
final é a energia cinética associada ao movimento do CM.
𝒗𝒇 =
𝒎𝟏 ∙ 𝒗𝟏𝒊 +𝒎𝟐 ∙ 𝒗𝟐𝒊
𝒎𝟏 +𝒎𝟐
= 𝒗𝑪𝑴
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Exemplo:
Antigamente, a velocidade de projéteis disparados por armas de
fogo era medida com um pêndulo balístico, como ilustrado
abaixo. Uma bala era disparada contra um bloco de madeira,
preso ao teto por cordas. A bala colidia e se alojava no bloco. O
conjunto então se elevava de uma altura y até parar
momentaneamente. Como se determina a velocidade da bala
imediatamente antes da colisão a partir da altura y ?
AULA 22 – COLISÕES
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Como a bala fica alojada no bloco, a colisão é completamente
inelástica.
𝒎𝑩 ∙ 𝒗𝑩𝟏 +𝒎𝑴 ∙ 𝒗𝑴𝟏 = 𝒎𝑩 +𝒎𝑴 ∙ 𝒗𝟐
𝒎𝑩 ∙ 𝒗𝑩𝟏
𝒎𝑩 +𝒎𝑴
= 𝒗𝟐
Durante a colisão inelástica não há conservação da energia
mecânica. Mas como a colisão ocorre num intervalo de tempo
muito curto, o sistema começa a subir quando a colisão já
ocorreu. E durante a subida, as únicas forças atuando são o
peso e as trações nas cordas, que não dissipam energia
mecânica. Então depois da colisão a energia mecânica se
conserva.
Eq. [1]
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𝟏
𝟐
∙ 𝒎𝑩 +𝒎𝑴 ∙ 𝒗𝟐
𝟐 = 𝒎𝑩 +𝒎𝑴 ∙ 𝒈 ∙ 𝒚
𝒗𝟐 = 𝟐 ∙ 𝒈 ∙ 𝒚 Eq. [2]
Comparando [1] e [2]
𝒎𝑩 ∙ 𝒗𝑩𝟏
𝒎𝑩 +𝒎𝑴
= 𝟐 ∙ 𝒈 ∙ 𝒚
𝒗𝑩𝟏 =
𝒎𝑩 +𝒎𝑴
𝒎𝑩
∙ 𝟐 ∙ 𝒈 ∙ 𝒚
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Por exemplo, se:
𝒎𝑩 = 𝟏𝟎 g 𝒎𝑴 = 𝟒, 𝟎 kg 𝒉 = 𝟓, 𝟎 cm
𝒗𝑩𝟏 =
𝒎𝑩 +𝒎𝑴
𝒎𝑩
∙ 𝟐 ∙ 𝒈 ∙ 𝒚
𝒗𝑩𝟏 =
𝟎, 𝟎𝟏 + 𝟒
𝟎, 𝟎𝟏
∙ 𝟐 ∙ 𝟗, 𝟖 ∙ 𝟎, 𝟎𝟓
𝒗𝑩𝟏 = 𝟒, 𝟎 x 𝟏𝟎
𝟐 m/s 𝒗𝑩𝟏 = 𝟏, 𝟒 x 𝟏𝟎
𝟑 km/h
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Qual a variação da energia cinética do sistema devido à colisão?
Podemos calcular levando em conta os instantes imediatamente 
antes da colisão e imediatamente depois da colisão
∆𝑲 = 𝑲𝒇 −𝑲𝒊 ∆𝑲 =
𝟏
𝟐
∙ 𝒎𝑩 +𝒎𝑴 ∙ 𝒗𝟐
𝟐 −
𝟏
𝟐
∙ 𝒎𝑩 ∙ 𝒗𝑩𝟏
𝟐
∆𝑲 =
𝟏
𝟐
∙ 𝟒, 𝟎𝟏 ∙ 𝟐 ∙ 𝒈 ∙ 𝒚
𝟐
−
𝟏
𝟐
∙ 𝟎, 𝟎𝟏 ∙ 𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎
∆𝑲 =
𝟏
𝟐
∙ 𝟒, 𝟎𝟏 ∙ 𝟎, 𝟗𝟖 − 𝟖𝟎𝟎 ∆𝑲 = 𝟏, 𝟗𝟔𝟓 − 𝟖𝟎𝟎
∆𝑲 = −𝟖, 𝟎 x 𝟏𝟎𝟐 J
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Colisões em duas dimensões:
Esses 3 vetores definem um plano (bi-dimensional), chamado de 
plano de colisão.
𝒎𝟏
𝒎𝟐
𝒗𝟏𝒊
Antes:
𝒗𝟏𝒇
𝒗𝟐𝒇
𝒎𝟏
𝒎𝟐
Depois:
𝒗𝟐𝒇𝒙
𝒗𝟐𝒇𝒚
q2
q1
𝒗𝟏𝒇𝒙
𝒗𝟏𝒇𝒚
𝒑𝟏𝒊 = 𝒑𝟏𝒇 + 𝒑𝟐𝒇
𝒑𝟏𝒊
𝒑𝟏𝒇 𝒑𝟐𝒇
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𝒎𝟏 ∙ 𝒗𝟏𝒊𝒙 +𝒎𝟐 ∙ 𝒗𝟐𝒊𝒙 = 𝒎𝟏 ∙ 𝒗𝟏𝒇𝒙 +𝒎𝟐 ∙ 𝒗𝟐𝒇𝒙
𝒎𝟏 ∙ 𝒗𝟏𝒊𝒚 +𝒎𝟐 ∙ 𝒗𝟐𝒊𝒚 = 𝒎𝟏 ∙ 𝒗𝟏𝒇𝒚 +𝒎𝟐 ∙ 𝒗𝟐𝒇𝒚
O momento linear é um vetor, temos que aplicar a conservação
para cada componente (direção):
(Válido para colisões bidimensionais elásticas e inelásticas)
Já a energia cinética é um escalar, ela não tem “direção”. Então
a conservação fica:
𝟏
𝟐
∙ 𝒎𝟏 ∙ 𝒗𝟏𝒊
𝟐 +
𝟏
𝟐
∙ 𝒎𝟐 ∙ 𝒗𝟐𝒊
𝟐 =
𝟏
𝟐
∙ 𝒎𝟏 ∙ 𝒗𝟏𝒇
𝟐 +
𝟏
𝟐
∙ 𝒎𝟐 ∙ 𝒗𝟐𝒇
𝟐
(Válido apenas para colisões bidimensionais elásticas)
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Exemplo:
Um carro de massa 1,5 x 103 kg
viajando para leste a 25 m/s colide
na esquina de uma quadra com uma
van de massa 2,5 x 103 kg indo para
o norte com uma velocidade de 20
m/s. Sabendo que a colisão é
completamente inelástica, calcule:
a) o módulo e a direção da
velocidade final do conjunto
b) a fração da energia cinética inicial
que foi dissipada por atrito e
deformação dos corpos
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Colisão bidimensional, perfeitamente inelástica
𝒎𝒄 ∙ 𝒗𝒄𝒊𝒙 +𝒎𝒗 ∙ 𝒗𝒗𝒊𝒙 = 𝒎𝒄 +𝒎𝒗 ∙ 𝒗𝒇𝒙
𝟑, 𝟕𝟓 × 𝟏𝟎𝟒 + 𝟎 = 𝟒 × 𝟏𝟎𝟑 ∙ 𝒗𝒇𝒙
𝟗, 𝟑𝟕𝟓 = 𝒗𝒇 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝜽
Conservação da componente horizontal:
𝒎𝒄 ∙ 𝒗𝒄𝒊𝒚 +𝒎𝒗 ∙ 𝒗𝒗𝒊𝒚 = 𝒎𝒄 +𝒎𝒗 ∙ 𝒗𝒇𝒚
𝟎 + 𝟓, 𝟎 × 𝟏𝟎𝟒 = 𝟒 × 𝟏𝟎𝟑 ∙ 𝒗𝒇𝒚
𝟏𝟐, 𝟓 = 𝒗𝒇 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝜽
Conservação da componente vertical:
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𝟗, 𝟑𝟕𝟓
𝐜𝐨𝐬𝜽
= 𝒗𝒇 𝟏𝟐, 𝟓 = 𝒗𝒇 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝜽
𝟏𝟐, 𝟓
𝟗, 𝟑𝟕𝟓
= 𝐭𝐚𝐧𝜽
𝜽 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝟏, 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝜽 = 𝟓𝟑°
𝟗, 𝟑𝟕𝟓
𝐜𝐨𝐬(𝟓𝟑, 𝟏𝟑°)
= 𝒗𝒇 𝒗𝒇 = 𝟏𝟔𝒎/𝒔
direção
módulo
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A variação da energia cinética do sistema formado pelos dois
corpos que colidem será a diferença entre a energia cinética final
e a energia cinética inicial do sistema
𝑲𝒊 =
𝟏
𝟐
∙ 𝒎𝒄 ∙ 𝒗𝒄
𝟐 +
𝟏
𝟐
∙ 𝒎𝒗 ∙ 𝒗𝒗
𝟐
𝑲𝒊 =
𝟏
𝟐
∙ 𝟏, 𝟓 × 𝟏𝟎𝟑 ∙ 𝟔𝟐𝟓 +
𝟏
𝟐
∙ 𝟐, 𝟓 × 𝟏𝟎𝟑 ∙ 𝟒𝟎𝟎
𝑲𝒊 = 𝟒𝟔𝟖, 𝟕𝟓 × 𝟏𝟎
𝟑 + 𝟓𝟎𝟎 × 𝟏𝟎𝟑 𝑲𝒊 = 𝟗, 𝟔𝟗 × 𝟏𝟎
𝟓 J
𝑲𝒇 =
𝟏
𝟐
∙ 𝒎𝒄 +𝒎𝒗 ∙ 𝒗𝒇
𝟐
𝑲𝒇 =
𝟏
𝟐
∙ 𝟒, 𝟎 × 𝟏𝟎𝟑 ∙ 𝟐𝟒𝟑, 𝟑𝟔 𝑲𝒇 = 𝟒, 𝟖𝟕 × 𝟏𝟎
𝟓 J
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∆𝑲 = 𝑲𝒇 −𝑲𝒊 ∆𝑲 = −𝟒, 𝟖 × 𝟏𝟎
𝟓 J
O sinal negativo indica que houve dissipação da energia cinética
do sistema devido ao atrito e deformação dos corpos.
Para calcular a fração dissipada, dividimos o valor (em módulo)
de DK pela energia cinética total inicial Ki :
𝒇𝒅 =
∆𝑲
𝑲𝒊
𝒇𝒅 =
𝟒, 𝟖𝟐 × 𝟏𝟎𝟓
𝟗, 𝟔𝟗 × 𝟏𝟎𝟓
𝒇𝒅 = 𝟎, 𝟓𝟎
Ou seja, praticamente metade (49,7%) da energia cinética inicial
do sistema é dissipada na colisão perfeitamente inelástica.
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