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Universidade Federal da Paraíba 
Centro de Tecnologia 
Departamento de Engenharia Química 
Fenômenos de Transporte I 
Professor: Nagel 
 
José Sabino – 11111097 
Pedro Henrique – 11111938 
Roxana Pereira – 11118297 
Waldene Alexandre – 11111939 
Wesley Dayvisson – 1111911 
 
 
APROXIMAÇÃO DA CAMADA LIMITE 
 
 
 
 
 
 
João Pessoa 
11 de setembro de 2013 
1 
 
A APROXIMAÇÃO DA CAMADA LIMITE 
A região do escoamento adjacente à parede na qual os efeitos viscosos 
(e portanto os gradientes de velocidade) são significativos é chamada de 
camada limite. A propriedade do fluido responsável pela condição de não-
escorregamento e o desenvolvimento da camada limite é a viscosidade. 
Considere o escoamento de um fluido num cano estacionário ou sobre 
uma superfície sólida não porosa (isto é, impermeável ao fluido). Todas as 
observações experimentais indicam que um fluido em movimento pára 
totalmente na superfície e assume velocidade zero (nula) em relação à 
superfície. Tal fato é conhecido como condição de não-escorregamento. 
O movimento altamente ordenado dos fluidos caracterizado por 
camadas suaves do fluido é denominado laminar. O escoamento dos fluidos 
de alta viscosidade é tipicamente laminar. O movimento altamente 
desordenado dos fluidos que ocorre em velocidades altas e é caracterizado por 
flutuações de velocidade é chamado turbulento. 
A superfície da fronteira hipotética divide o escoamento de um tubo em 
duas regiões: a região da camada limite, na qual os efeitos viscosos e as 
variações de velocidade são significativos, e a região de escoamento 
irrotacional (central), na qual os efeitos do atrito são desprezíveis e a 
velocidade permanece essencialmente constante na direção radial. 
A espessura dessa camada limite aumenta na direção do escoamento 
até a camada limite atingir o centro do tubo e, portanto, preencher todo o tubo. 
Equação de Navier-Stokes: 
 
 ⃗ 
 
 ⌊
 ⃗ 
 
 ( ⃗ ⃗⃗ )⌋ ⃗⃗ ⃗ 
Se as forças viscosas resultantes forem muito pequenas comparadas 
com as forças inerciais e/ou de pressão, o último termo no lado direto da 
equação 1 é desprezível. Isso vale somente se 1/Re for pequeno. Portanto, 
regiões de escoamento sem viscosidade são regiões de altos números de 
Reynolds – o oposto das regiões de escoamento lento. Nessas regiões, a 
equação de Navier-Stokes perde seu termo viscoso e se reduz à equação de 
Euler. 
 
 ⃗ 
 
 ⌊
 ⃗ 
 
 ( ⃗ ⃗⃗ )⌋ ⃗⃗ 
Devido à condição de não-escorregamento nas paredes sólidas, as 
forças de atrito não são desprezíveis em uma região de escoamento muito 
próxima de uma parede sólida. Nessa região, chamada de camada limite, os 
2 
 
gradientes de velocidade normais à parede são suficientemente grandes para 
modificar o pequeno valor de 1/Re. 
Quando usamos a aproximação da equação de Euler, não podemos 
especificar a condição de contorno de não-escorregamento nas paredes 
sólidas, embora ainda especificamos que o fluido não pode fluir através da 
parede. As soluções da equação de Euler portanto, não têm significado físico 
próximo a paredes sólidas, pois ali o escoamento pode escorrer. No entanto, a 
equação de Euler frequentemente é usada como um primeiro passo em uma 
aproximação de camada limite. Ou seja, a equação de Euler é aplicada sobre 
todo o campo de escoamento, incluindo regiões próximas a paredes e esteiras, 
onde sabemos que a aproximação não é apropriada. Então, uma fina camada 
limite é inserida nessas regiões como uma correção para levar em conta os 
efeitos viscosos. 
Em geral, as regiões de escoamento sem viscosidade distantes das 
paredes sólidas e esteiras dos corpos são também irrotacionais (regiões de 
escoamento nas quais as partículas de fluido não tem nenhuma rotação 
resultante), embora hajam situações nas quais uma região de escoamento sem 
viscosidade pode não ser irrotacional. As soluções obtidas para a classe de 
escoamento definida pela irrotacionalidade são portanto aproximações das 
soluções completas da equação de Navier-Stokes. Matematicamente, a 
aproximação é que a vorticidade é muito pequena: 
 ⃗⃗ ⃗ 
Conforme visto, existem pelo menos duas situações de escoamento nas 
quais os termos viscosos na equação de Navier-Stokes podem ser 
desprezados. A primeira situação ocorrem em regiões de escoamento com 
altos números de Reynolds, onde se sabe que as forças viscosas resultantes 
são desprezíveis comparadas com as forças inerciais e/ou de pressão; 
chamamos essas regiões de escoamento sem viscosidade. A segunda 
situação ocorre quando a vorticidade é muito pequena; chamamos essas 
regiões de irrotacionais ou regiões de escoamento potencial. Em qualquer dos 
casos, a remoção dos termos viscosos da equação de Navier-Stokes resulta na 
equação de Euler. Embora a matemática fique bastante simplificada quando 
são eliminados os termos viscosos, há algumas deficiências sérias associadas 
com a aplicação da equação de Euler nos problemas práticos de escoamento 
na engenharia. A primeira na lista de deficiências é a incapacidade para impor 
a condição de não-escorregamento em paredes sólidas. Isso leva a resultados 
não-físicos como, por exemplo, forças de cisalhamento viscoso iguais a zero 
em paredes sólidas e arrasto aerodinâmico igual a zero em corpos imersos em 
uma corrente livre. 
Considerando-se uma perspectiva histórica, em meados de 1800, a 
equação de Navier-Stokes era conhecida, mas não podia ser resolvida exceto 
3 
 
para escoamentos de geometrias muito simples. Enquanto isso, os 
matemáticos conseguiam obter belas soluções analíticas da equação de Euler 
e das equações de escoamento potencial para escoamentos de geometria 
complexa, mas seus resultados frequentemente não tinham significado físico. 
Então, a única maneira confiável de estudar escoamentos de fluidos era 
empiricamente, isto é, através de experimentos. Uma grande mudança na 
mecânica dos fluidos ocorreu em 1904 quando Ludwig Prandtl (1875-1953) 
introduziu a aproximação da camada limite. A idéia de Prandtl era dividir o 
escoamento em duas regiões: uma região de escoamento externo que é sem 
viscosidade e/ou irrotacional e uma região de escoamento interno chamada de 
camada limite – uma camada muito fina de escoamento próxima a uma parede 
sólida onde as forças viscosas e a rotacionalidade não podem ser ignoradas. 
Na região de escoamento externo, usamos as equações da continuidade e de 
Euler para obter o campo de velocidade do escoamento externo e a equação 
de Bernoulli para obter o campo de pressão. Alternativamente, se a região de 
escoamento externo é irrotacional, podemos usar as técnicas de escoamento 
potencial para obter o campo de velocidade do escoamento externo. Em 
qualquer dos casos, solucionamos a região do escoamento externo primeiro e 
depois ajustamos uma fina camada limite em regiões nas quais a 
rotacionalidade e as forças viscosas não podem ser desprezadas. Dentro da 
camada limite nós resolvemos as equações de camada limite. 
A aproximação da camada limite corrige algumas das principais 
deficiências da equação de Euler proporcionando uma maneira de impor a 
condição de não-escorregamento em paredes sólidas. Consequentemente, 
forças de cisalhamento viscoso podem existir ao longo de paredes, corpos 
imersos em uma corrente livre podem ser submetidos a arrasto aerodinâmico e 
a separação do escoamento em regiões de gradiente de pressão adversa pode 
ser prevista com maior precisão. 
Para uma aplicação bem-sucedida da aproximação da camada limite, 
deve-se admitira hipótese de que a camada limite é muito fina. O exemplo 
clássico é uma corrente uniforme fluindo parala a uma longa placa plana 
alinhada com o eixo x. A espessura δ da camada limite em alguma posição x 
ao longo da placa está representada na figura 1. Por convenção, δ usualmente 
é definida como a distância em relação à parede, na qual a componente da 
velocidade paralela à parede é 99% da velocidade do fluido fora da camada 
limite. Resulta que para um dado fluido e placa, quanto mais alta a velocidade 
V da corrente livre, mais fina é a camada limite. 
4 
 
 
Figura 1: Escoamento de uma corrente uniforme paralela a uma placa plana: (a) Rex ~ 10², (b) 
Rex ~10
4
. Quanto maior o número de Reynolds, mais fina é a camada limite ao longo da placa 
em uma dada posição x. 
Em termos adimencionais, definimos o número de Reynolds com base 
na distância x ao longo da parede: 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, em uma dada posição x, quanto mais alto for o número de 
Reynolds, mais fina é a camada limite, e mais confiável será a aproximação de 
camada limite. Podemos ter confiança que a camada limite é fina quando δ << 
x. 
A forma do perfil da camada limite pode ser obtida experimentalmente 
pela visualização do fluxo. 
Embora estejamos discutindo camadas limites em conexão com a região 
fina próxima a uma parede sólida, a aproximação de camda limite não está 
limitada a regiões de escoamento limitadas por paredes. As mesmas equações 
podem ser aplicadas a camadas de cisalhamento livre como jatos, esteiras e 
camadas de mistura, contanto que o número de Reynolds seja suficientemente 
alto para que essas regiões sejam finas. As regiões desses campos de 
escoamento com forças viscosas não desprezíveis e vorticidade finita também 
podem ser consideradas como camadas limites, mesmo que não esteja 
presente uma parede divisória sólida. Por convenção δ é usualmente definido 
baseado em metade da espessura total da camada de cisalhamento livre. 
Definimos δ como a distância desde a linha de centro até a borda da camada 
limite onde a mudança em velocidade é 99% da variação máxima em 
velocidade desde a linha de centro até o escoamento externo. A espessura da 
camada limite não é constante, mas varia com a distância x jusante. 
5 
 
À medida que a espessura da camada limite cresce a jusante, as linhas 
de corrente que passam através da camada limite devem divergir ligeiramente 
para cima para satisfazer o princípio da conservação da massa. O valor desse 
deslocamento para cima é menor do que o crescimento de δ(x). Como as 
linhas de corrente cruzam a curva δ(x), está claro que δ(x) não é uma linha de 
corrente. 
Para uma camada limite laminar desenvolvendo-se sobre uma placa 
plana, a espessura d da camada limite é no máximo uma função de V, x e das 
propriedades ρ e μ do fluido. A medida que nos movemos para baixo na placa 
para valores de x cada vez maiores, Rex aumenta linearmente com x. Em 
algum ponto, começam a surgir distúrbios infinitesimais no escoamento e a 
camada limite não pode continuar sendo laminar – ela inicia um processo de 
transição em direção ao escoamento turbulento. Para uma placa plana com 
uma corrente livre uniforme, o processo de transição começa em um número 
de Reynolds crítico, Rex, crítico ≈ 1x10
5, e continua até que a camada limite seja 
totalmente turbulenta no número de Reynolds de transição, Rex, transição ≈ 
3x106. 
Nos escoamentos na prática, a transição para o escoamento turbulento 
usualmente ocorre de forma mais abrupta e muito antes (com um valor mais 
baixo de Rex) do que os valores dados para uma placa plana e lisa com uma 
corrente livre calma. Fatores tais como rugosidade ao longo da superfície, 
distúrbios da corrente livre, ruído acústico, instabilidades do escoamento, 
vibrações e curvatura da parede contribuem para que a transição ocorra mais 
cedo. 
AS EQUAÇÕES DA CAMADA LIMITE 
Agora que temos noção da camada limite, é preciso gerar as equações 
necessárias para serem usadas em seus cálculos. Para simplificar irá se 
considerar a seguinte situação: 
 Escoamento bidimensional no plano cartesiano (XY); 
 Desprezam-se os efeitos da gravidade; 
 Consideram-se apenas camadas de escoamento laminar; 
 No plano utilizado,o eixo X é sempre paralelo e Y normal a parede; 
 
 Iniciaremos com a equação Navier-Stokes, onde desprezamos o termo 
gravitacional e também o termo não permanente: 
 
 [ ] [
 
 
] 
 
6 
 
Como as pressões fora da camada limite são determinadas pela 
equação de Bernoulli, e o número de Euler é próximo de 
um. 
 
 V é a velocidade para escoamento externo e é geralmente igual a 
velocidade de corrente livre pra corpos imersos em escoamentos 
uniformes; 
 Para o caso estudado, camada limite, o número de Reynolds é 
suficientemente grande para que possamos desprezar o segundo termo 
na equação (5), porém isto reduziria a equação de Navier-Stokes a 
equação de Euler, então serão mantidos alguns termo viscosos na 
equação; 
 
Para escolher quais parcelas da equação serão mantidas faremos uma 
adimensionalização das equações de movimento envolvidas. Para as 
derivadas na direção Y( ortogonal a direção do escoamento) usaremos a 
quantidade , e a velocidade utilizada será U, a componente da velocidade 
global paralela a parede. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da equação da continuidade para fluidos incompressíveis temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como as componentes são equivalentes, elas possuem a mesma ordem 
de grandeza, assim a ordem de grandeza da velocidade em Y: 
 
 
 
 
 
Como ⁄ em uma camada limite, pois a mesma é muito fina, 
concluímos que . Agora definiremos as variáveis adimensionais dentro 
da camada limite: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consideramos agora as componentes X e Y da equação de Navier-
Stokes. Substituindo essas variáveis adimensionais na equação do momento 
na direção Y resultando: 
 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Após algumas operações algébricas e multiplicando cada termo por 
 ⁄ obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 
(
 
 
) (
 
 
)
 
 
 
 
O termo do meio do lado direito é menor que qualquer outro termo, 
assim como o último termo do mesmo lado, pois . A equação se 
torna: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Porém, o termo do lado direito tem ordem de grandeza muito superior 
aos termos do lado esquerdo, dessa maneira teremos: 
 
 
 
 
 
Ou seja, como a camada limite tem uma pequena espessura, o 
gradiente de pressão na direção normal ao escoamento é desprezível. 
Fisicamente, devido à camada limite ser tão fina, as linhas de corrente dentro 
da camada limite têm uma curvatura desprezível quando observados na escala 
de espessura da camada limite. Linhas de corrente curvadas requerem uma 
aceleração centrípeta, que vem de um gradiente de pressão ao longo do raio 
de curvatura. Como as linhas de corrente não são significativamentecurvadas 
em uma camada limite fina, não há um gradiente pressão significativo através 
da linha. 
O fato de a camada limite apresentar a mesma pressão ao longo da 
direção normal tem interessantes aplicações tecnológicas, pois podemos tirar a 
pressão na cada externa de uma cada limite pela sua base. Isso é aplicada na 
confecção de asas de aviões e pás de turbinas. 
Para o movimento em x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Após algumas operações algébricas e multiplicando ambos os lados por ⁄ : 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 (
 
 
) (
 
 
)
 
 
 
 
Fazemos a mesma análise que na situação anterior descarta-se o termo 
do meio do lado direito, porém não o último termo deste lado, caso fizéssemos 
isso estaríamos retornando a equação de Euler, então esta parcela será 
mantida.Todos os outros termos desta equação são próximos de 1, assim a 
combinação de parênteses no último termo também deve ter esta ordem de 
grandeza: 
 
(
 
 
) (
 
 
) 
Novamente, reconhecendo que ,vemos que: 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
Isso confirma nossa afirmação anterior de que em uma dada localização 
na corrente ao longo da parede, quanto maior o numero de Reynolds, mais fina 
será a camada limite. Se trocarmos x por L na equação acima, concluiremos 
que para uma camada limite laminar sobre placa plana, onde U(x) = V= 
constante,  aumenta com a raiz quadrada de x. 
Em termos das variáveis originais temos: 
 
Equação do momento na direção x na camada limite: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O último termo desta equação não é desprezível na camada limite, pois 
a derivada na direção Y do gradiente de velocidade ⁄ é suficientemente 
grande para compensar o valor da viscosidade cinemática k. Finalmente, como 
sabemos, pela nossa análise da equação de momento na direção y, que a 
pressão da camada limite é a mesma que a fora da camada limite, aplicando a 
equação de Bernoulli à região de escoamento externo. Derivando com relação 
a x temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
Para uma camada limite, em um escoamento laminar, permanente e 
incompressível no plano XY sem efeitos consideráveis da gravidade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação da camada limite 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matematicamente, a equação completa de Navier-Stokes é elíptica no 
espaço, o que significa que são necessárias condições de contorno sobre toda 
a fronteira do domínio do escoamento. Fisicamente, as informações de 
escoamento são passadas em todas as direções, tanto a montante quanto a 
jusante. Por outro lado, a equação do momento na direção x da camada limite 
é parabólica. Isso significa que precisamos especificar condições de contorno 
somente sobre três lados do domínio de escoamento bidimensional. 
Fisicamente, as informações de escoamento não são passadas na direção 
oposta ao escoamento. Esse fato reduz muito o nível de dificuldade na solução 
das equações da camada limite. Especificamente, não precisamos definir 
condições de contorno a jusante, somente montante, no topo e na base do 
domínio do escoamento. Para um problema típico de camada limite ao longo 
de uma parede, especificamos a condição de não escorregamento na parede 
(u=v=0 em y=0), a condição de escoamento externo na borda da camada limite 
e além [u=U(x) quando y muito grande] e um perfil inicial em alguma posição a 
montante [u=u(y) em x=x°,onde x° pode não ser 0]. Com essas condições de 
contorno, simplesmente nos movemos a jusante na direção x, resolvendo as 
equações de camada limite conforme progredimos. Isso é particularmente 
interessante para cálculos numéricos de camada limite, porque uma vez que 
conhecemos o perfil em uma posição xi, podemos passar para a próxima 
posição xi+1 e assim passar a uma próxima posição. 
 
O PROCEDIMENTO DE CAMADA LIMITE 
 Quando é empregada a aproximação de camada limite, usamos um 
procedimento geral passo a passo. 
 Passo 1: Resolva para o escoamento externo, ignorando a camada 
limite (assumindo que a região de escoamento fora da camada limite é 
aproximadamente sem viscosidade e/ou irrotacional). Transforme as 
coordenadas se for necessário, para obter U(x). 
 Passo 2: Suponha uma camada limite fina--- tão fina na verdade, que ela 
não afeta a solução de escoamento externo do passo 1. 
10 
 
 Passo 3: Resolva as equações da camada limite, usando condições de 
contorno apropriadas. A condição de contorno de não-deslizamento na 
parede, u = v = 0 em y = 0; a condição conhecida do escoamento 
externo na borda da camada limite, u → U(x) à medida que as y → ∞; e 
algum perfil inicial conhecido, u = uinicial(y) em x = xinicial. 
 Passo 4: Calcule valores de interesse no campo de escoamento. Por 
exemplo, uma vez resolvidas as equações da camada limite (passo 3), 
podemos calcularxa tensão de cisalhamento ao longo da parede, 
arrasto total de atrito superficial etc. 
 Passo 5: Verificar se as aproximações de camada limite são 
apropriadas. Em outra palavras, verificar se a camada limite é fina --- 
caso contrário a aproximação não é justificada. 
Listamos aqui algumas limitações da aproximação da camada limite. 
São simplesmente sinais de alerta para chamar atenção ao executar cálculos 
com camada limite: 
 A aproximação da camada limite perde a validade se o número de 
Reynolds não for suficientemente grande. Quão grande é 
suficientemente grande? Depende da precisão desejada na 
aproximação. 
 A hipótese de gradiente de pressão zero na direção y (equação 13) 
fica inválida se a curvatura da parede for de grandeza similar a . 
Nesses casos, os efeitos da aceleração centrípeta devida à 
curvatura da linha de corrente não podem ser ignorados. 
Fisicamente, a camada limite não é fina o suficiente para que a 
aproximação seja apropriada quando  não for << R. 
 Quando o número de Reynolds for muito alto, a camada limite não 
permanece laminar, conforme discutimos anteriormente. A própria 
aproximação da camada limite pode ainda ser aproximada, mas as 
equações 21 e 22 não são válidas se o escoamento for de transição 
ou totalmente turbulento. Conforme observamos antes, a camada 
limite laminar em uma placa plana sob condições estáveis de 
escoamento inicia sua transição para a turbulência em Rex ≈ 1x10
5. 
Nas aplicações práticas da engenharia, as paredes podem não ser 
lisas e pode haver vibrações, ruídos e flutuações no escoamento de 
corrente livre acima da parede, sendo que tudo isso contribui para 
um início ainda mais antecipado do processo de transição. 
 Se ocorre separação de escoamento, a aproximação da camada 
limite não é mais apropriado na região de escoamento separado. A 
razão principal para isso é que uma região de escoamento separado 
contém escoamento reverso, e a natureza parabólica das equações 
da camada limite é perdida. 
11 
 
ESPESSURA DE DESLOCAMENTO 
 As linhas de correntes dentro e fora de uma camada limite devem se 
curvar ligeiramente para fora afastando-seda parede para satisfazer ao 
princípio da conservação da massa à medida que a espessura da camada 
limite aumenta a jusante. Isto é porque a componente y da velocidade, v, é 
pequena mas finita e positiva. Fora da camada limite, o escoamento externo é 
afetado por essa deflexão das linhas de corrente. Definimos a espessura de 
deslocamento  como a distância pela qual é defletida a linha de corrente 
imediatamente fora da camada limite. 
 Geramos uma expressão para para a camada limite ao longo de uma 
placa plana fazendo uma análise de volume de corrente usando a conservação 
da massa. O resultado em qualquer posição x ao longo da placa é: 
Espessura de deslocamento: 
∫ ( 
 
 
) 
 
 
 
Observe que o limite superior da integral na equação acima é mostrado 
com ∞, mas como u = U em todos os pontos acima da camada limite, é 
necessário integrar somente até uma distância finita acima de Obviamente, 
cresce com x à medida que a camada limite cresce. Para uma placa plana 
laminar, integramos a solução numérica de Blasius e obtemos: 
Espessura de deslocamento, placa plana laminar: 

 
√ 
x (24) 
Há uma maneira alternativa de explicar o significado físico de que 
vem a ser útil para as aplicações práticas de engenharia. Isto é, podemos 
pensar na espessura de deslocamento como um aumento imaginário ou 
aparente na espessura da parede do ponto de vista de região de escoamento 
sem viscosidade e/ou região de escoamento irrotacional externo. Para nosso 
exemplo da placa, o escoamento externo não “vê” mais uma placa plana 
infinitesimalmente fina; em lugar disso, ele vê uma placa de espessura finita 
com forma semelhante à espessura de deslocamento 
Se fôssemos resolver a equação de Euler para o escoamento ao redor 
dessa placa imaginária mais grossa, a componente de velocidade U(x) do 
escoamento externo seria diferente daquele do cálculo original. Poderíamos 
então usar essa U(x) aparente para melhorar nossa análise de camada limite. 
Você pode imaginar uma modificação no procedimento da camada limite no 
qual percorremos os primeiros quatro passos, calculamos x) e depois 
voltamos para o passo 1, desta vez usando a forma imaginária mais cheia do 
corpo para calcular uma U(x) aparente. Em seguida, resolvemos novamente as 
12 
 
equações da camada limite. Poderíamos repetir o laço quantas vezes fosse 
necessário até chagar à convergência. Dessa forma, o escoamento externo e a 
camada limite seriam mais consistentes um com o outro. 
A utilidade dessa interpretação da espessura de deslocamento torna-se 
óbvia se considerarmos um escoamento uniforme entrando em um canal 
limitado por duas paredes paralelas. À medida que as camadas limites crescem 
nas paredes superiores e inferior, o escoamento central irrotacional deve 
acelerar para satiszer a conservação da massa. Do ponto de vista do 
escoamento central entre as camadas limites, a camada limite faz com que as 
paredes do canal pareçam convergir --- a distância aparente entre as paredes 
diminui à medida que x aumenta. Esse aumento imaginário na espessura de 
uma das paredes é igual a x); e a U(x) aparente do escoamento central deve 
aumentar de forma correspondente para satisfazer a conservação da massa. 
 
ESPESSURA DO MOMENTO 
 
 
Figura 2: Um volume de controle é definido pela linha tracejada grossa, limitado acima por 
uma linha de corrente fora da camada limite e limitado abaixo pela placa plana; FD,x é a força 
viscosa da placa agindo sobre o volume de controle. 
 
Uma outra medida da espessura da camada limite é a espessura do 
momento para a qual se atribui comumente o símbolo . A espessura do 
momento é mais bem explicada analisando-se o volume de controle da figura 
(1) para uma camada limite de placa plana, como a base do volume de controle 
é a própria placa plana, nenhuma massa ou momento pode cruzar essa 
superfície. O topo do volume de controle e tomado como uma linha de corrente 
do escoamento externo. Como nenhum fluxo pode cruzar uma linha de 
corrente, não pode haver fluxo de massa ou momento através da superfície 
superior do volume de controle, concluímos que o fluxo de massa entrando no 
volume de controle pela esquerda (em x = 0) deve ser igual ao fluxo de massa 
saindo pela direita (em alguma posição arbitrária x ao longo da placa): 
13 
 
 ∫ ⃗⃗ ⃗ ⃗ 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
Onde w é a espessura perpendicular á pagina na figura (2), que 
tomamos arbitrariamente como largura unitária de Y é a distância da placa até 
a linha de corrente externa em x = 0, conforme indicado na figura (2). Como u = 
U= constante, em todos os pontos ao longo da superfície esquerda do volume 
de controle, e como u = U entre y = Y e y = Y + δ* ao longo da superfície direita 
do volume de controle, a equação 25 se reduz a: 
∫ 
 
 
 
Fisicamente o déficit de fluxo de massa dentro da camada limite (a 
região inferior sombreada em azul na figura 2 é substituído por uma porção de 
escoamento de corrente livre de espessura δ* (a região superior sombreada em 
azul na figura 2). A equação 26 verifica que essas duas regiões sombreadas 
têm a mesma área. Ampliamos a figura para mostrar essas áreas mais 
claramente na Figura 3. 
 
Figura 3: Comparação da área sob o perfil da camada limite, representando o déficit de fluxo 
de massa e a área gerada por uma porção de fluido de corrente livre de espessura δ
*
. Para 
satisfazer o princípio da conservação da massa, essas duas áreas devem ser idênticas. 
 
Agora considere a componente x da equação do momento do volume de 
controle. Como não há momento cruzado as superfícies de controle superior ou 
inferior, a força resultante agindo sobre o volume de controle deve ser igual ao 
fluxo de momento saindo do volume de controle menos o fluxo do momento 
entrando no volume de controle. 
Conservação do momento x para o volume de controle: 
∑ ∫ ⃗⃗ ⃗ ⃗ 
 
 ∫ 
 
 
 
14 
 
Onde é a força de arrasto devida ao atrito sobre a placa em x = 0 
até a posição x. Após algumas operações algébricas, incluindo a substituição 
da equação 26, a equação 27 se reduz a: 
 ∫ 
 
 
 
Finalmente, definimos a espessura do momento de forma que a força de 
arrasto viscoso sobre a placa por unidade de largura perpendicular à página 
seja igual a vezes , isto é: 
 
 
 ∫ 
 
 
 
Em outras palavras: 
 A espessura do momento é definida como a perda de fluxo do momento 
por largura unitária dividida por devido à presença da camada limite 
que está se desenvolvendo. 
A equação 29 se reduz a: 
 ∫
 
 
 
 
( 
 
 
) 
A altura Y da linha de corrente pode ter qualquer valor, desde que a 
linha de corrente tomada como superfície superior do volume de controle esteja 
acima da camada limite. Como u = U para qualquer y maior que Y, podemos 
substituir Y por infinito na equação 30 sem nenhuma alteração do valor de : 
Espessura do momento: ∫
 
 
 
 
( 
 
 
) 
Para o caso específico da solução da solução de Blasius para uma 
camada limite laminar de uma placa plana. Integramos a Equação 31 
numericamente para obter: 
Espessura do momento, placa plana lamina 
 
 
 
 
√ 
 
Observamos que a equação para é a mesma que para δ ouδ* mas 
com uma constante diferente. De fato, para o fluxo laminar sobre uma placa 
plana, vem ser aproximadamente 13,5% de δ em qualquer posição de x 
conforme é identificado na figura 4. 
 
15 
 
 
Figura 4: Para uma camada limite laminar sobre uma placa plana, a espessura de 
deslocamento é 35,0% de δ, e a espessura do momento é 13,5% de δ. 
 
CAMADA LIMITE TURBULENTA SOBRE UMA PLACA PLANA 
As expressões para a forma do perfil da camada limite e outras 
propriedades da camada limite turbulenta são obtidas empiricamente (ou no 
melhor dos casos semi-empiricamente), já que não podemos resolver as 
equações de camada limite para escoamento turbulento. Observe também que 
os escoamentos turbulentos são inerentemente transientes, e a forma do perfil 
de velocidade instantânea varia com o tempo. Portanto todas as expressões 
turbulentas discutidas neste tópico representam valores médios no tempo. Uma 
aproximação empírica comum para o perfil de velocidades médias no tempo, 
de uma camada limite turbulenta sobre placa plana é a lei da potência um 
sétimo: 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
Observe que na aproximação da equação 33, δ não é a espessura de 99 
por centro da camada limite, mas sim, a borda real da camada limite, 
diferentemente da definição de δ para escoamento laminar. O gráfico da 
equação 33 está ilustrado na figura 5. Para efeitos de comparação, o perfil da 
camada limite laminar sobre a placa plana (a solução numérica de Blasius) está 
também traçada na figura 5, usando y/δ para o eixo vertical no lugar da variável 
de similaridade h. Pode-se notar que se as camadas limites laminar e 
turbulenta tivessem a mesma espessura, a camada limite turbulenta seria mais 
cheia do que a laminar. Em outras palavras, a camada limite turbulenta iria 
permanecer mais próxima da parede, preenchendo a camada limite com 
escoamento de velocidade mais alta próxima da parede. Isto é devido aos 
grandes redemoinhos turbulentos que transportam fluido em alta velocidade da 
parte externa da camada limita para as partes inferiores da camada limite (e 
vice-versa). Em outras palavras, uma camada limite turbulenta tem um grau 
maior de mistura quando comparada com a camada limite laminar. No caso 
laminar, o fluido se mistura lentamente devido à difusão viscosa. No entanto, os 
16 
 
grandes redemoinhos em um escoamento turbulento promovem uma mistura 
mais rápida e completa. 
 
Figura 5: Comparação dos perfis de camada limite de placa plana, laminar e turbulenta, adimensionalizada, pela 
espessura da camada limite. 
 
A forma do perfil de velocidades da camada limite turbulenta da Equação 
33 não tem significado físico muito perto da parede (y 0), pois ela afirma que 
a variação ( ) é infinita em y = 0. Embora a variação na parede seja muito 
grande para uma camada limite turbulenta, ela é finita. Essa grande variação 
na parede leva a uma tensão de cisalhamento muito grande na parede, 
 , e, portanto, um atrito superficial correspondente muito alto 
ao longo da superfície da placa (comparada com uma camada limite laminar da 
mesma espessura). 
A lei de potência não é a única aproximação da camada limite turbulenta 
usada pela mecânica dos fluidos. Uma outra aproximação comum é a lei 
logarítmica, uma expressão semi-empírica que vem a ser válida não somente 
para camadas limite sobre placa plana, mas também para perfis de velocidade 
de escoamento turbulento totalmente desenvolvido em tubo. Na verdade, a lei 
logarítmica vem a ser aplicável para quase todas as camadas limites 
turbulentas limitadas por paredes, não apenas no escoamento sobre uma placa 
plana. (Essa situação afortunada nos permite empregar a aproximação da lei 
logarítmica próxima a paredes sólidas em softwares de Dinâmica dos Fluidos 
Computacional). A lei logarítmica é expressa comumente em variáveis 
adimensionais por uma velocidade característica chamada de velocidade de 
atrito u*. 
A lei logarítmica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
17 
 
Velocidade de atrito: √
 
 
 
e k e B são constantes; seus valores usuais são k = 0,40 a 0,41 e B = 5,0 a 5,5. 
Infelizmente a lei logarítmica é prejudicada pelo fato de que ela não funciona 
muito perto da parede (logaritmo de 0 não é definido). Ela também se desvia 
dos valores experimentais próximo da borda da camada limite. No entanto, a 
equação 34 se aplica através de quase toda a camada limite turbulenta sobre 
placa e é útil porque ela relaciona a forma do perfil de velocidade com o valor 
local da tensão de cisalhamento na parede através da equação 35. 
Uma expressão inteligente que é válida em todo o percurso até a parede 
foi criada por D.B Spalding em 1968 e é chamada de lei da parede de 
Spalding: 
 
 
 
 
 
 ⌈ (
 
 
) 
[ (
 
 
)]
 
 
 
[ (
 
 
)]
 
 
⌉ 
 
CAMADAS LIMITES COM GRADIENTES DE PRESSÃO 
Camadas limites com gradientes de pressão podem ser laminares ou 
turbulentas. A análise é muito mais difícil de que quando se trata de apenas a 
placa plana, pois o gradiente de pressão (U dU/dx) na equação do momento na 
direção x é diferente de zero. Uma análise tridimensional pode ficar ainda mais 
complicada, por isso visaremos apenas características qualitativas. 
Quando o escoamento na região de escoamento na região externo sem 
viscosidade e/ou irrotacional(fora da camada limite) acelera, U(x) aumenta e 
P(x) diminui. Chamamos isso de um gradiente de pressão favorável (a 
camada limite se mantém próxima a parede e fina). Quando o escoamento 
externo desacelera, U(x) diminui, P(x) aumenta, e temos um gradiente de 
pressão desfavorável ou adverso (a camada limite tende a se separar da 
parede e é grossa). 
Em um escoamento externo típico, como o escoamento sobre uma asa 
de avião, a camada limite na parede da frente do corpo está sujeita a um 
gradiente de pressão favorável, enquanto na parte de trás ela está sujeita a um 
gradiente de pressão desfavorável. Se o gradiente de pressão adversa (dP/dx= 
-UdU/dx) for suficientemente forte a camada limite pode separar-se da parede. 
 
 
 
18 
 
 
 
 
 
 
 
 
As equações da camada limite são parabólicas, o que o que significa 
que nenhuma informação pode ser passada a partir do limite jusante. No 
entanto, a separação leva ao escoamento reverso próximo da parede, 
destruindo a natureza parabólica do campo de escoamento e tornando 
inaplicáveis as equações da camada limite. Em casos como este, deve ser 
usada a equação completa de Navier-Stokes. A separação de escoamento leva 
a uma diminuição significativa da recuperação de pressão, condições como 
essas são chamadas de condições de Estol. 
 
 
 
 
 
Como a velocidade na parede é zero(condição de não-escorregamento), 
sobram apenas o termo de gradiente de pressão e o termo viscoso: 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I. Sob condição de escoamento favorável, dU/dx>0, o 
que indica que ⁄ <0. Sabemos que 
 ⁄ 
deve permanecer negativa à medida que u se aproxima 
de U(x) na borda da camada limite. 
 
 
 
 
 
Figura 7: Condição conhecida como Estol, a bolha 
de separação cobre quase toda a superfície da asa 
do avião. O estol é acompanhado por uma perda 
de sustentação e um grande aumento no arrasto 
dinâmico 
 
Figura 8: Esquema da análise I, esperamos que o 
perfil develocidade através da camada limite 
seja arredondado. 
 
Figura 6: Escoamento sobre a asa de 
um avião, a camada limite permanece 
colada sobre toda a superfície inferior, 
mas ela se separa em algum ponto 
perto da superfície superior. A linha de 
corrente fechada indica uma região de 
escoamento recirculante chamada de 
bolha de separação. 
 
19 
 
II. Sob condições de gradiente de pressão zero, 
 ⁄ é zero, implicando em um crescimento 
linear de u com relação a y próximo da parede. 
 
 
 
III. Para gradientes de pressão adversa, dU/dx<0, o que 
exige que ⁄ seja positiva. No entanto, como 
 ⁄ deve ser negativo à medida que u se aproxima 
de U(x) na borda da camada limite, deve haver um ponto 
de inflexão( ⁄ ) em algum lugar da camada 
limite. 
 
 
IV. Se o gradiente de pressão adverso for 
suficientemente grande, ⁄ pode tornar-se 
zero, essa posição ao longo da parede é o ponto de 
separação, onde há escoamento reverso e uma bolha de 
separação. <0 por ⁄ 
 
 
 
 
 A primeira derivada de u em relação y na parede é diretamente 
proporcional a tensão de cisalhamento na parede [ ⁄ ]; 
 A tensão de cisalhamento é maior para escoamentos favoráveis; 
 A espessura da camada limite aumenta quando o gradiente de pressão 
muda de sinal; 
 A aproximação da camada limite pode ser apropriada para localizar o 
ponto de separação e funcionar até ele, não indo além; 
A aproximação da camada limite é apenas tão boa quanto a solução do 
escoamento externo; se o escoamento externo for alterado significativamente 
pela separação do escoamento, a aproximação da camada limite está errada. 
Camadas limites turbulentas tem um perfil de velocidade média mais 
cheio do que uma camada laminar sob condições similares. Portanto, é 
necessário um gradiente de pressão adversa mais forte para separar a camada 
limite turbulenta. Isso quer dizer que camadas limites turbulentas são mais 
Figura 9: Esquema da análise II. Sem gradiente 
de pressão, já estudado anteriormente. 
 
Figura 10: Esquema da análise 3, fracamente adversa, surge 
agora um ponto de torção em relação as figuras anteriores. 
 
Figura 11: pressão adversa em dois graus diferentes, sendo a do lado direito a de 
grau mais acentuado ocorrendo o escoamento reverso. 
 
20 
 
resistentes à separação de escoamento do que as camadas limites laminares 
expostas ao mesmo gradiente de pressão adversa. 
 
A técnica de integral de momento para camadas limites 
A técnica integral de momento utiliza uma aproximação de volume de 
controle para obter aproximações quantitativas das propriedades da camada 
limite ao longo de superfícies com gradientes de pressão zero ou diferente de 
zero. Ela é valida tanto para a camada limite laminar quanto para a turbulenta. 
 
 
 
 De acordo com a aproximação com a aproximação da camada limite, 
 ⁄ , consideremos então que a pressão P age ao longo de toda a face 
esquerda do volume de controle, . 
No caso geral com gradiente de pressão diferente de zero, a pressão na 
face direita do volume de controle é diferente da pressão na face esquerda. 
Usando uma aproximação truncada de primeira ordem da série de Taylor: 
 
 
 
 
 De forma similar escrevemos a vazão em massa que entra através da 
face esquerda como: 
 ∫ 
 
 
 
E a massa que sai através da face direita como: 
 [∫ 
 
 
 
 
 
(∫ 
 
 
) ] 
 w é a largura do volume de controle no eixo z; 
Como a equação (39) é diferente da equação (38), e como nenhum 
escoamento pode cruzar a base do volume de controle(a parede), a massa tem 
que escoar para dentro ou para fora pela parte superior do volume de controle. 
Para o caso de uma camada limite que está crescendo, na qual 
Qdireita<Qesquerda, e Qsuperior>0 (a massa escoa para fora). A conservação 
da massa sobre o volume de controle resulta em: 
A parte inferior do volume de controle é a parede em y=0 e a parte superior está em y=Y, 
suficientemente alta para abranger toda a altura da camada limite. O volume de controle é 
uma fina espessura dx. 
21 
 
 
 
 
(∫ 
 
 
) 
 Aplicamos agora o princípio da conservação do momento x para o 
volume de controle escolhido. O momento x entra pela face esquerda e é 
removido através das faces direita e superior do volume de controle. O fluxo 
total do momento para a fora do volume de controle deve ser equilibrado pela 
força devida à tensão se cisalhamento agindo sobre o volume de controle na 
parede e a força de pressão total na superfície de controle. O fluxo total do 
momento para fora do volume de controle deve ser equilibrado pela força 
devida à tensão de cisalhamento agindo sobre o volume de controle na parede 
e a força de pressão total na superfície de controle. 
 
 
 
 
 
 
(∫ 
 
 
) 
 
 
(∫ 
 
 
) 
 
Bliografia: 
Çengel, Y. A.; Cimbala, J. M. Mecânica dos Fluidos-Fundamentos e 
Aplicações. 1ª edição - São Paulo: McGraw-Hill, 2007