av cd ii

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O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função:
limt→0 r(t)=(sen2t) i + eln(2t)j + (cost)k
	
	
	
	
	
	i - j + k
	
	
	j - k
	
	 
	j
	
	
	j + k
	
	 
	k
	
	
	
		2.
		O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j.
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1.
	
	
	
	
	 
	  2t j
	
	 
	3t2 i  + 2t j
	
	
	0
	
	
	t2 i + 2 j
	
	
	- 3t2 i + 2t j
	
	
	
		3.
		O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t)  = t3 i  + t2 j.
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1.
	
	
	
	
	
	6ti -2j
	
	
	ti+2j
	
	 
	6i+2j
	
	
	6ti+j
	
	 
	6ti+2j
	
	
	
		4.
		Se  r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k,  então: ∫r(t)dt é:
	
	
	
	
	
	-cost j + t2 k + C
	
	 
	πsenti - cost j + t2 k + C
	
	
	sent i - t2 k + C
	
	
	2senti + cost j - t2 k + C
	
	 
	2sent i - cost j + t2 k + C
	
	
	
		5.
		Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a única resposta correta.
	
	
	
	
	
	(0, 1,-2)
	
	
	(0,0,0)
	
	
	(0,0,2)
	
	 
	(0,-1,-1)
	
	 
	(0,-1,2)
	
	
	
		6.
		Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t)  = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉
	
	
	
	
	
	x= t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
	 
	x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
	
	x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t
	
	
	x=1+t ; y=2+5t, z=-1
	
	 
	x=1+t ; y=2+5t
	
		Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta.
	
	
	
	
	
	(1-cost,sent,1)
	
	
	(1 +cost,sent,0)
	
	
	(1-cost,0,0)
	
	 
	(1-cost,sent,0)
	
	
	(1-sent,sent,0)
	
	
	
		2.
		Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t),  indicando a única resposta correta. 
	
	
	
	
	
	(sent,-cost,1)
	
	
	(sent,-cost,0)
	
	
	(sent,-cost,2t)
	
	
	(sect,-cost,1)
	
	 
	(-sent, cost,1)
	
	
	
		3.
		Substitua a equação cartesiana x216+y225=1 por uma equação polar equivalente.
	
	
	
	
	 
	16((rcos(θ))2+9r2=400
	
	
	9((rcos(θ))2 -16r2=400
	
	
	9((rcos(θ))2+16r2=0
	
	 
	9((rcos(θ))2+16r2=400
	
	
	9((rcos(θ))2+r2=400
	
	
	
		4.
		Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-delta no instante t = 0.
	
	
	
	
	
	14
	
	
	2
	
	
	1
	
	 
	9
	
	 
	3
	
	
	
		5.
		Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t2), indicando a única resposta correta. Considere a resposta em t=π4
	
	
	
	
	
	(22,22,π2)
	
	 
	(-22,- 22,-π4)
	
	
	(22,22,π4)
	
	
	(-2,2,π4)
	
	 
	(-22,22,π2)
	
	
	
		6.
		Encontre o vetor aceleração da partícula de posição:
r(t)= (et)i+29(e2t)j-2(et)k no instante t=ln3.
	
	
	
	
	 
	a(t)=3i+8j-6k
	
	
	a(t)=e3i +29e3j-2e3k
	
	
	a(t)=3i +89j-6k
	
	 
	a(t)=(e3)i+29(e3)j-2(e3)k
	
	
	a(t)=e3i +2e3j-4e3k
	
	
	
		7.
		Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz) encontre
 (∂f∂x)+(∂f∂x)+(∂f∂z)
	
	
	
	
	
	 1x+1y+1z+2cos(y+2z)
  
	
	
	(1x)+(1y)+(1z)  
	
	 
	  1x+1y+1z +3cos(y+2z)
  
	
	 
	 1x+1y+1z+2cos(y+2z)
  
	
	
	   1x+1y+1z +1cos(y+2z)
	
	
	
		8.
		Encontrando Derivadas.
Qual é a resposta correta para  a derivada de  r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk?
	
	
	
	
	
	(cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1
	
	 
	(cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k
	
	
	(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k
	
	
	t(cost - sent)i - t(sent  + cost)j + k
	
	
	(sent - tcost)i + (sentcost)j - k
	
		Seja r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k o vetor posição de uma partícula que se move ao longo de uma curva lisa no plano.
Considere as afirmações. Assinale (V) para as verdadeiras e (F) para as falsas:
1) (   ) Quando uma partícula se move durante um intervalo de tempo I, as coordenadas da partícula são   x(t),y(t),z(t). Os pontos P(x(t),y(t),z(t)) formam uma curva que é a trajetória da partícula.
 2) (   )  A velocidade é a derivada da posição,isto é:
 v(t) =r'(t) = dr(t)dt
3) (   )  O módulo da velocidade ou a magnitude da velocidade é igual a
 |v(t)|= (dx(t)dt)2+(dy(t)dt)2+(dz(t)dt)2.
4) (   )  A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja
a(t) = v'(t)= dv(t)dt
5) (   )  O vetor unitário ou versor v(t)|v(t)| é a direção do movimento no instante t.
6) (   )  r(t)é lisa se for contínua e nunca 0.
 
		
	
	
	
	
	1) (V)                  2)(F)                  3) (V)                        4) (V)                       5) (V)                6) (F)
	
	
	1) (V)                       2)(V)                     3) (F)                   4)) (V)                     5)(V)         6) (F)
	
	 
	1) (V)          2)(V)             3) (V)                    4)(V)                  5) (V)                  6) (F)
	
	 
	1) (V)                2)(F)               3) (V)                     4)(V)                 5) (V)                         6) (V) 
	
	
	1) (V)            2)(F)               3) (F)                4)(V)                  5) (F)                         6) (V)
	
	
	
		2.
		Supondo que r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a longo de uma curva então,em qualquer instante t , pode-se afirmar:
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado por:v(t)=dr(t)dt
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao tempo.
 III) O versor v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t.
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto do módulo de sua velocidade pela sua direção.
Estão corretas apenas as afirmações:
		
	
	
	
	
	I,II e III  
	
	
	II,III e IV    
	
	 
	I,III e IV      
	
	
	I,II,III e IV
	
	
	I,II e IV    
	
	
	
		3.
		Calcule a velocidade de uma  partícula com vetor de posição r(t) =  (t2, et, tet).  Indique a única resposta correta.
		
	
	
	
	
	(t,et,(2+t)et)
	
	
	(2t,et,(1 - t)et)
	
	
	(t,et,(1+t)et)
	
	 
	(2t,et,(1+t)et)
	
	
	(2,et,(1+t)et)
	
	
	
		4.
		Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z 
		
	
	
	
	
	∂f∂x=xy , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2
	
	
	∂f∂x=x , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2
	
	
	∂f∂x=x2 , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2
	
	
	∂f∂x=y2+z , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2
	
	 
	∂f∂x=1 , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2
	
	
	
		5.
		Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x
		
	
	
	
	
	2sen(x - 3y)
	
	
	sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	
	2sen(x + 3y)cos(x + 3y)
	
	 
	2sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	 
	2cos(x - 3y)
	
	
	
		6.
		Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂y
		
	
	
	
	
	-6sen(x + 3y)cos(x + 3y)
	
	
	sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	 
	sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	
	-6sen(x - 3y)
	
	 
	-6sen(x - 3y)cos(x - 3y)
	
	
	
		7.
		Calcule a aceleração de uma partícula com vetor de posição r(t) = (t2,et,tet). Indique a única resposta correta.(1,et,(2+t)et)
	
	
	(2,et, tet)
	
	 
	(2,et,(2+t)et)
	
	
	(2,0,(2+t)et)
	
	
	(5,et,(8+t)et)
	
	
	
		8.
		Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante w tem vetor posição dado por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta correta que determina a velocidade em um tempo t qualquer. Observação: a > 0.
		
	
	
	
	 
	- awsenwt i + awcoswtj
	
	
	-senwt i + awcoswtj
	
	
	-awsenwt i - awcoswtj
	
	 
	-senwt i + coswtj
	
	
	awsenwt i + awcoswtj
	
			Calcule o limite de:
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y)
	
	
	
	
	
	-12
	
	
	12
	
	
	5
	
	
	- 11
	
	 
	11
	
	
	
		2.
		O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima,  indique a única resposta correta para o limite da função:
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + te-tj + (sentt)k 
 
	
	
	
	
	 
	i  + j + k 
	
	 
	i + k
	
	
	i + j -  k
	
	
	j + k 
	
	
	i +  j
	
	
	
		3.
		Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j
	
	
	
	
	
	v(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j
	
	
	v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j
	
	 
	v(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j
	
	
	v(t)=sen(2t)i+cos(2t)j
	
	
	v(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j
	
	
	
		4.
		Calcule a integral da função vetorial:
[∫01dt1-t2]i+[∫01dt1+t2]j+[∫01dt]k
 
	
	
	
	
	
	π
	
	
	π4+1
	
	 
	π2+1
	
	
	3π2 +1
	
	 
	3π4+1
	
	
	
		5.
		Elimine o parâmetro tpara encontrar uma equação cartesiana da curva: x=3t-5 e y=2t+1
	
	
	
	
	 
	y=(23)x+133
	
	
	y=(23)x-133
	
	
	y=-(23)x+133
	
	
	y=(13)x+133
	
	 
	y=(23)x+103
	
	
	
		6.
		Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constantew tem vetor posição dado por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta correta que determina a acelaração em um tempo t qualquer. Observação: a > 0.
	
	
	
	
	
	-aw2coswt i - awsenwtj
	
	 
	-aw2coswt i - aw2senwt j
	
	 
	-w2coswt i - w2senwtj
	
	
	aw2coswt i + aw2senwtj
	
	
	aw2coswt i - aw2senwtj
	
	
	
		7.
		Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então a integral definida: ∫0π2r(t)dt é:
	
	
	
	
	
	i - j - π24k
	
	
	i+j-  π2 k
	
	 
	2i  +  j  +  π24k
	
	
	2i + j + (π2)k
	
	
	2i -  j + π24k
	
	
	
		8.
		O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função:
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k
	
	
	
	
	
	i + j - k
	
	
	- i + j - k
	
	 
	i - j - k
	
	 
	i + j + k
	
	
	j - k
	
	
	
 FINALIZAR AVALIANDO O APRENDIZADO 
	
	Legenda:   
	 
	 Questão não respondida
	 
	 
	 Questão não gravada
	 
	 
	 Questão gravada
	
Exercício inciado em 26/07/2016 22:22:27. 
Parte superior do formulário
			Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da soma: d2xdt2+w2x? 
		
	 
	0
	
	cos2(wt)
	
	-wsen(wt)
	 
	w2sen(wt)cos(wt)
	
	w2
	
	
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201201936386)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Encontre a curvatura para r(t)=(lnsect)i+tj para -π2<t<π2
		
	 
	cos t
	
	ln t
	
	ln t + sen t
	 
	sen t
	
	tg t
	
	
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201201936397)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k
		
	
	(-sen t)i - (cos t)j
	
	(-sen t)i + (cos t)j + k
	 
	(-sen t)i + (cos t)j
	
	(-sen t - cos t)i + (cos t)j
	
	(-sen t)i + (cos t)j - k
	
	
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201201934669)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	 Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem derivadas parciais contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum intervalo e   x,ye z  são funções de outra variável t
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt.
Diz - se que  dwdt é a derivada total de w  com relação a  t e representa a taxa de variação de w à medida que t varia.
Supondo w=x2 -3y2 +5z2 onde x=et,  y=e-t, z= e2t, calcule dwdt sendo t=0
		
	
	8
	
	12
	
	10
	 
	18
	
	20
	
	
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201201936392)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Encontre a curvatura para a curva r(t) = (cos t + t sen t)i + (sen t - t cos t)j para t > 0
		
	
	1/t + sen t + cos t
	 
	1/t
	
	cos t
	
	sen t
	 
	1/t + sen t
	
	
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201201935434)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Encontre a derivada direcional da função   f(x,y,z)=lnxyz    em   P(1,2,2) na direção do vetor v=i+j -k.
 
		
	
	22      
	
	3
	
	23        
	 
	 33 
	
	32        
	
	
	
	
	 Fechar
	
Parte inferior do formulário
 
		Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z, onde x varia no intervalo [4 , 9] , y varia no intervalo [0 , 1] e z varia no intervalo [1 , 2].
	
	
	
	
	 
	19/4
	
	 
	19/12
	
	
	12/19
	
	
	12/7
	
	
	12/5
	
	
	
		2.
		Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 4] , y varia no intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 2].
	
	
	
	
	 
	35/4
	
	
	35/6
	
	
	35/2
	
	 
	35/3
	
	
	7
	
	
	
		3.
		Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [2 , 5] e z varia no intervalo [3 , 4].
	
	
	
	
	
	( 203 * x^(1/2) ) / 6
	
	
	( 203 * x^(1/2) ) / 8
	
	 
	203 * ( 3*x^(1/2) - 1 ) / 24
	
	
	203 * ( 3*x^(1/2) - 2 ) / 24
	
	
	203 * ( 2*x^(1/2) - 3 ) / 24
	
	
	
		4.
		Seja f(x,y,z) = ( x^(2) * y^(1/3) ) / z. Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [8 , 27] e z varia no intervalo [1 , e].
	
	
	
	
	 
	845/2
	
	
	455/4
	
	
	455/2
	
	
	845/3
	
	
	455/3
	
		Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) - t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1]
	
	
	
	
	 
	4 * (14)^(1/2)
	
	 
	2 * (14)^(1/2)
	
	
	4 * (2)^(1/2)
	
	
	4
	
	
	14 * (2)^(1/2)
	
	
	
		2.
		Considere f:R3→R definida por f(x,y,z) = x2 + y2 + z2. Considere ainda a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), t∈[0,2π]. Calcule ∫c fds.
	
	
	
	
	
	3.(2π+8π33)
	
	 
	2.(π+π33)
	
	
	2π+8π33
	
	
	2.(π+8π3)
	
	 
	2.(2π+8π33)
	
	
	
		3.
		Integre a função f(x,y,z) = x - 3y2 + z sobre o segmento de reta C que une a origem ao ponto (1,1,1). Considere a parametrização r(t) = ti + tj + tk, onde t pertence ao intervalo [0,1]. Portanto, a integral de f sobre C é:3
	
	 
	4
	
	
	2
	
	
	1
	
	 
	0
	
	
	
		4.
		Integre f(x, y, z) = x - 3.y2 + z sobre o segmento de reta C que une a origem (0,0,0) ao ponto (1,1,1) passando primeiro por (1,1,0). Dado a parametrização r(t) = ti + tj + tk, 0 ≤ t ≤ 1.
	
	
	
	
	
	2
	
	 
	0
	
	
	3
	
	
	4
	
	
	1
	
	
	
		5.
		Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t),
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z).
	
	
	
	
	
	3π2
	
	
	π2
	
	 
	2π3
	
	 
	2π2
	
	
	2π
	
	
	
		6.
		Considere  a  função f(x,y)= y.lnx + x.ey  .
Identifique as afirmações verdadeiras (V) e as falsas (F):
1) (   ) A derivada da função  f(x,y) em  P(1,0)  na direção do vetor  v =  i-j  é nula.
2) (   ) A função f(x,y)  aumenta mais rapidamente na direção do vetor u= i + j.
3) (   )  Existe uma direção na qual a taxa de variação da função é 2.
4) (   )  A taxa de variação da função é   21/2
5) (   ) A reta tangente à curva  f(x,y)  no ponto    P(1,0)   é      y=x-1.
	
	
	
	
	 
	1) (V)     2) (V)     3) (F)     4) (V)     5) (F)
	
	 
	1) (V)     2) (V)     3) (F)     4) (V)     5) (V)
	
	
	1) (V) 2)     (V)     3) (V)     4) (V)     5) (F)
	
	
	1) (V)     2) (V)     3) (V)     4) (F)     5) (F)
	
	
	1) (F)      2) (V)     3) (V)      4) (V)      5) (F)
	
	
	
		7.
		Considere uma função  de três variáveis z=f(x,y,z).
Seja z=sen(xy)+xseny .
 Encontre∂z∂uquando u=0 ;  v=1  ; x=u2 +v2   e   y=u.v.                 
	
	
	
	
	 
	 2   
	
	
	   -1
	
	
	 -2  
	
	 
	0 
	
	
	1   
	
	
	
		8.
		Seja f:R3→R definida por f(x,y,z) = x + 3y2 + z  e  c  o segmento de reta que une (0,0,0) e (1,1,1). Calcular ∫c fds. Utilize a parametrização deste segmento : r(t)=(t,t,t), t∈[0,1] .
	
	
	
	
	
	3
	
	 
	32
	
	 
	23
	
	
	22
	
	
	33
	
		Considere a função F(x,y,z) = ( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). Calcular o divergente da função F(x,y,z).
	
	
	
	
	 
	6*x*y^(3) + 12*y*z^(2) + 5*y^(2)
	
	 
	6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) +
	
	
	9*x^(2)*y^(2) + 10*y*z + 12*y*z^(2)
	
	
	6*x^(2)*y^(2) + 4*z^(3) + 10*y*z
	
	
	6*x^(2)*y^(2) + 12*y*z^(2) + 10*y*z
	
	
	
		2.
		Considere a função F(x,y,z) = ( x^(3) * y^(1/2) ) / z. Calcular o gradiente da função F(x,y,z)
	
	
	
	
	 
	( 3* x^(2) * y^(1/2) ) /z (i) + ( x^(3) / (2 * y^(1/2) * z ) ) (j) - ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k)
	
	 
	( 3 * x^(2) * y^(1/2) ) / z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ (2 *z) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k)
	
	
	( x^(2) * y^(1/2) ) / (2 * z) (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ z^(2) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / (2 * z^(2)) (k)
	
	
	( 3 * x^(2) * y^(1/2) ) / z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ z^(2) (j) - ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k)
	
	
	( x^(2) * y^(1/2) ) /z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ (2 * z ) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k)
	
	
	
		3.
		Determine o plano tangente à superfície esférica
 x2 + 3y2+ z2=22 no ponto P(1,2,3).
	
	
	
	
	
	2x+12y+3z=44
	
	 
	 x+6y+3z=22
	
	
	 x+12y+3z=20
	
	 
	3x+4y+3z=20
	
	
	3x+6y+3z=22
	
	
	
		4.
		Considere T(x,y,z) = 20 - x2 - y2 - z2 uma distribuição de temperatura em uma região do espaço. Uma partícula A localizada em A(2,3,5) precisa esquentar rapidamente. Outra partícula B situada em B(0,-1,0) precisa resfriar-se o mais rápido possível. Marque a alternativa que indica a direção e o sentido que a partícula B deve tomar.
	
	
	
	
	
	(-4, -6, -10)
	
	
	(2, 3, 5)
	
	 
	(0, -2, 0)
	
	
	(0, -1, 0)
	
	
	(0, -20, 10)
	
	
	
		5.
		 Encontre a área da região R limitada pela parábola y=x2 e pela reta y=x+2 utilizando integral dupla. .
	
	
	
	
	 
	92u.a.
	
	
	52 u.a.
	
	
	32u.a.
	
	
	72 u.a.
	
	
	12 u.a.
	
	
	
		6.
		Considere T(x,y,z) = 20 - x2 - y2 - z2 uma distribuição de temperatura em uma região do espaço. Uma partícula A localizada em A(2,3,5) precisa esquentar rapidamente. Outra partícula B situada em B(0,-1,0) precisa resfriar-se o mais rápido possível. Marque a alternativa que indica a direção e o sentido que a partícula A deve tomar.
	
	
	
	
	
	(1,2,3)
	
	 
	(4, 3, 0)
	
	
	(20, -10, -30)
	
	
	(0, -2, 0)
	
	 
	(-4, -6, -10)
	
		Calcule ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy
	
	
	
	
	
	π2
	
	 
	π
	
	 
	2π
	
	
	2
	
	
	1
	
	
	
		2.
		Transforme para o sistema de coordenadas polares a integral ∫-11∫01-x2dydx(1+x2+y2)2. Em seguida, calcule o seu valor.
	
	
	
	
	 
	π3
	
	 
	π4
 
	
	
	π5
	
	
	π2
	
	
	π
	
	
	
		3.
		Resolva a integral ∫02ln3∫y2ln3ex2dxdy invertendo a ordem de integração
	
	
	
	
	
	e+2
	
	 
	2
	
	
	3
	
	
	e
	
	 
	2
	
	
	
		4.
		Calcule ∫14∫0x32eyxdydx
	
	
	
	
	 
	7
	
	
	7e
	
	 
	 7e-7
	
	
	e7
	
	
	e-1
	
	
	
		5.
		Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x + 2
	
	
	
	
	
	1
	
	 
	5/6
	
	
	3
	
	 
	9/2
	
	
	1/2
	
	
	
		6.
		Encontre ∂f∂x e ∂f∂y para a função f(x,y)=x+yxy-1
	
	
	
	
	
	∂f∂x=-y2-1(xy-1) e ∂f∂y=-x2-1(xy-1)
	
	 
	∂f∂x=-y3(xy-1)2 e ∂f∂y=-x3(xy-1)2
	
	
	∂f∂x=-y2+1(xy-1) e ∂f∂y=-x2-1(xy+1)
	
	 
	∂f∂x=-y2-1(xy-1)2 e ∂f∂y=-x2-1(xy-1)2
	
	
	∂f∂x=-y-1(xy-1)2 e ∂f∂y=-x-1(xy-1)2
	
	
	
		7.
		Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx
	
	
	
	
	
	10
	
	 
	1
	
	
	2
	
	 
	16
	
	
	20
	
	
	
		8.
		Encontre a derivada parcial para a função f(x,y,z)=e-(x2+y2+z2)
	
	
	
	
	 
	∂f∂x=-2xe e ∂f∂y=-2ye e ∂f∂z=-2ze
	
	
	∂f∂x=-e-(x2+y2+z2) e ∂f∂y=e-(x2+y2+z2) e ∂f∂z=e-(x2+y2+z2)
	
	 
	∂f∂x=-2xe-(x2+y2+z2) e ∂f∂y=-2ye-(x2+y2+z2) e ∂f∂z=-2ze-(x2+y2+z2)
	
	
	∂f∂x=xe-(x2+y2+z2) e ∂f∂y=ye-(x2+y2+z2) e ∂f∂z=ze-(x2+y2+z2)
	
	
	∂f∂x=-2xe-(x2+y2) e ∂f∂y=-2ye-(x2+y2) e ∂f∂z=-2ze-(x2+y2)
	
		Calcule o módulo do  operador rotacional  do campo vetorial
 V→=(ex+z.cosy)i+(x2.z-ey)j+(x.y2+z2seny)k  no ponto P(0,0,1).  
	
	
	
	
	
	5
	
	
	2
	
	 
	2
	
	
	3
	
	
	3
	
	
	
		2.
		 Apresente a expressão do operador divergente do campo vetorial:
 V→ = (ex+z.cosy)i+(x2.z -ey) j+(x.y2+z2seny)k  
	
	
	
	
	
	divV→=ex-ey+2z   
	
	
	divV→=ey-excosy +2z 
	
	 
	divV→=ex-ey+2zseny 
	
	
	divV→=(eysenx)i-(excosy)j+(2zsenx)k
	
	
	divV→=eyi-excosyj +2zsenyk
	
	
	
		3.
		Quais dos campos abaixo não são conservativos?
1. F=yzi+xzj+xyk
2. F=(ysenz)i+(xsenz)j+(xycosz)k
3. F=yi+(x+z)j-yk
4. F=-yi+xj
5. F=(z+y)i+zj+(y+x)k
6. F=(excosy)i -(exseny)j+zk 
	
	
	
	
	
	campos 3, 4, 5 e 6
	
	
	campos 1, 4 e 5
	
	
	campos 1, 2 e 6
	
	 
	campos 3, 4 e 6
	
	 
	campos 3, 4 e 5
	
	
	
		4.
		Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(3ydx+2xdy) onde a curva C: a fronteira de 0≤x≤π,0≤y≤senx
	
	
	
	
	
	1
	
	 
	-2
	
	
	0
	
	
	-10
	
	
	2
	
	
	
		5.
		Calcular o operador divergente aplicado ao campo vetorial  V(X,Y,Z)=(xcosy)i+(xyz)j+(exz2)kno ponto (0,π4,22).
 
 
	
	
	
	
	 
	322
	
	
	12
	
	
	32
	
	
	22
	
	 
	332
	
	
	
		6.
		Quando uma curva  r(t)=g(t)i+h(t)j+l(t)k ,  a≤t≤b  passa pelo domínio de uma função f(x,y,z) no espaço, os valores de  f ao longo da curva são dados pela função composta  f(g(t),h(t),l(t)). Quando integramos essa função composta em relação ao comprimento de arco de  t=a a t=b, calcula-se  a integral de linha de  f(x,y,z)   ao longo da curva.
Portanto   ∫C f(x,y,z)ds=∫ab f(g(t),h(t),l(t))dt          onde   ds=|v(t)|dt
Calcule  a integral de linha    ∫C (x2+ y2 +z2) onde C é a hélice circular dada por   r(t)=(sent)i+(cost)j+tK    0≤t≤1.  .
 
	
	
	
	
	
	2
	
	 
	324
	
	
	233
	
	 
	423
	
	
	1
	
	
	
		7.
		A equação de Laplace tridimensional é :
                   ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0   
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas.
 Considere as funções:
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z²
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z²
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z²
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz²
                    Identifique as funções harmônicas:
	
	
	
	
	
	1,3,5
	
	 
	1,2,4
	
	
	1,2,3
	
	
	1,2,5
	
	 
	1,3,4
	
	
	
		8.
		Calcular a integral de linha ∫C (x-y+z-2)ds onde C   é  o  segmento de reta do  ponto P(0,1,1)  até o ponto  Q(1,0,1).
 
	
	
	
	
	
	1
	
	 
	  3
	
	
	2 
	
	
	3   
	
	 
	-2