Método de ortonormalização Gram-Schmidt

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8 CAPI´TULO 5. PRODUTO INTERNO
5.3.2 Processo de Ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt
Bases ortonormais sa˜o u´teis, como visto na sec¸a˜o anterior; mas como obteˆ-las?
Partindo-se de uma base qualquer de um subespac¸o, na˜o e´ dif´ıcil construir
uma base ortogonal (ou ortonormal) para o mesmo subespac¸o.
No processo de ortogonalizac¸a˜o de Gram Schmidt, uma base {v1,v2, . . . ,vp}
e´ substitu´ıda por outra ortogonal, {u1,u2, . . . ,up}, com a caracter´ıstica adi-
cional de que, para cada i, existem α’s tais que ui = vi+
∑i−1
j=1 αjvj. Assim,
devemos ter:
u1 = v1
u2 = v2 + αv1
u3 = v3 + βv1 + γv2
... =
...
up = vp + . . . .
Note que os espac¸os gerados pelos primeiros u’s e pelos primeiros v’s sa˜o
iguais, isto e´, span{u1,u2, . . . ,uk} = span{v1,v2, . . . ,vk}, k = 1, 2, . . . , p.
Desta forma, podemos ainda escrever
u1 = v1
u2 = v2 + α˜u1
u3 = v3 + β˜u1 + γ˜u2
... =
...
up = vp + . . . .
A exigeˆncia de que esta base seja ortogonal nos permite determinar os
coeficientes α˜, β˜, γ˜, . . .. De fato,
u2 = v2 + α˜u1
〈u2,u1〉 = 0
}
⇒ 〈v2,u1〉+ α˜ 〈u1,u1〉 = 0 ⇒ α˜ = −〈v2,u1〉〈u1,u1〉
u3 = v3 + β˜u1 + γ˜u2
〈u3,u1〉 = 0
〈u2,u1〉 = 0

 ⇒ 〈v3,u1〉+ β˜ 〈u1,u1〉 = 0 ⇒ β˜ = −〈v3,u1〉〈u1,u1〉
u3 = v3 + β˜u1 + γ˜u2
〈u3,u2〉 = 0
〈u1,u2〉 = 0

 ⇒ 〈v3,u2〉+ γ˜ 〈u2,u2〉 = 0 ⇒ γ˜ = −〈v3,u2〉〈u2,u2〉
5.3. BASES ORTONORMAIS 9
Assim,
u1 = v1
u2 = v2 − 〈v2,u1〉〈u1,u1〉u1
u3 = v3 − 〈v3,u1〉〈u1,u1〉u1 −
〈v3,u2〉
〈u2,u2〉u2
... =
...
up = vp − 〈vp,u1〉〈u1,u1〉u1 −
〈vp,u2〉
〈u2,u2〉u2 − . . .−
〈vp,up−1〉
〈up−1,up−1〉up−1
Se o objetivo for obter na˜o apenas uma base ortogonal {u1,u2, . . . ,up},
mas sim ortonormal {qˆ1, 2, . . . , qˆp}, basta normalizarmos ao final: qˆi =
‖ui‖−1ui. Outra opc¸a˜o, ainda, e´ normalizar passo a passo; neste caso, os
denominadores desaparecem:
u1 = v1; qˆ1 = ‖u1‖−1u1
u2 = v2 − 〈v2, qˆ1〉qˆ1 qˆ2 = ‖u2‖−1u2
u3 = v3 − 〈v3, qˆ1〉qˆ1 − 〈v3, qˆ2〉qˆ2 qˆ3 = ‖u3‖−1u3
... =
...
up = vp − 〈vp, qˆ1〉qˆ1 − 〈vp, qˆ2〉qˆ2 − . . .− 〈vp, qˆp−1〉qˆp−1
Exemplo 4 SejaH = span




1
2
3
0

 ,


2
3
4
0

 ,


3
4
5
0

 ,


0
3
4
5



. Encontre uma
base ortonormal para H.
u1 =


1
2
3
0

 ,
u2 =


2
3
4
0

−
〈
2
3
4
0

 ,


1
2
3
0


〉
〈
1
2
3
0

 ,


1
2
3
0


〉


1
2
3
0

 =


2
3
4
0

− 2014


1
2
3
0

 =


4/7
1/7
−2/7
0

 .
10 CAPI´TULO 5. PRODUTO INTERNO
Poder´ıamos usar u2 exatamente como calculado acima. Mas podemos, por
convenieˆncia, eliminar as frac¸o˜es e usar
u2 =


4
1
−2
0

 .
Temos agora
u3 =


3
4
5
0

−
〈
3
4
5
0

 ,


1
2
3
0


〉
〈
1
2
3
0

 ,


1
2
3
0


〉


1
2
3
0

−
〈
3
4
5
0

 ,


4
1
−2
0


〉
〈
4
1
−2
0

 ,


4
1
−2
0


〉


4
1
−2
0


=


3
4
5
0

− 2614


1
2
3
0

− 621


4
1
−2
0

 =


0
0
0
0

 .
Este resultado, u3 = 0, revela que v3 e´ combinac¸a˜o linear dos vetores an-
teriores. Assim, H = span {v1,v2,v4}. Basta ortogonalizar este conjunto,
reduzido em relac¸a˜o ao original. u1 e u2 ja´ foram calculados. Agora,
u4 =


0
3
4
5

−
〈
0
3
4
5

 ,


1
2
3
0


〉
〈
1
2
3
0

 ,


1
2
3
0


〉


1
2
3
0

−
〈
0
3
4
5

 ,


4
1
−2
0


〉
〈
4
1
−2
0

 ,


4
1
−2
0


〉


4
1
−2
0


=


0
3
4
5

− 1814


1
2
3
0

+ 521


4
1
−2
0

 = 13


−1
2
−1
15

 .
Como anteriormente, faremos u4 =


−1
2
−1
15

.
5.4. COMPLEMENTO ORTOGONAL 11
Desta forma, temos que



1
2
3
0

 ,


4
1
−2
0

 ,


−1
2
−1
15




e´ base ortogonal de H. Para uma base ortonormal, basta normalizar estes
vetores.
‖u1‖ =
√
12 + 22 + 32 + 02 =
√
14
‖u2‖ =
√
42 + 12 + 22 + 02 =
√
21
‖u4‖ =
√
12 + 22 + 12 + 152 =
√
231

1√
14


1
2
3
0

 , 1√21


4
1
−2
0

 , 1√231


−1
2
−1
15




e´ base ortonormal de H.
5.4 Complemento Ortogonal
Definic¸a˜o (complemento ortogonal) Seja V espac¸o vetorial com pro-
duto interno e H subespac¸o de V . O complemento ortogonal de H e´ o con-
junto dos vetores de V ortogonais a todos os vetores de H
H⊥ = {v ∈ V | 〈v,u〉 = 0 ∀ u ∈ H} .
Observac¸a˜o H⊥ e´ subespac¸o vetorial.
Observac¸a˜o
H⊥ = {v ∈ V | 〈v,ui〉 = 0, i = 1, 2, . . . , p} .
onde {u1,u2, . . . ,up} e´ base de H.
Observac¸a˜o Seja βH = {u1,u2, . . . ,up} base ortogonal de um subespac¸o
H. Seja β = {u1,u2, . . . ,up,up+1, . . . ,un} uma extensa˜o de βH a uma base
ortogonal de V (sabemos como fazeˆ-lo: estendemos βH a uma base qual-
quer e em seguida ortogonalizamo-na por Gram-Schmidt). Enta˜o βH⊥ =
{up+1, . . . ,un} e´ base de H⊥.
Corola´rio Se V e´ espac¸o vetorial n-dimensional com produto interno e H
e´ subespac¸o p-dimensional de V enta˜o dim(H⊥) = n− p.
Corola´rio Se V e´ espac¸o vetorial com produto interno e H e´ subespac¸o
enta˜o (H⊥)⊥ = H.
12 CAPI´TULO 5. PRODUTO INTERNO
5.5 Relac¸a˜o entre N(A) e Im(AT )
Sejam A ∈ Rm×n, v ∈ N(A) e y = ATx ∈ Im(AT ). Enta˜o
〈v,y〉 = vTy = vT (ATx) = (vTAT )x = (Av)Tx = 〈Av,x〉 = 〈0,x〉 = 0.
Qualquer vetor de N(A) e´ ortogonal a qualquer vetor de Im(AT ).2
Lembrando que dim(N(A))+dim(Im(A)) = nu´mero de colunas de A =
n e que dim(Im(A)) = dim(Im(AT )), temos que dim(N(A))+dim(Im(AT )) =
n. Sejam β = {u1, . . . ,uν} e γ = {uν+1, . . . ,uν+ρ} bases ortogonais de N(A)
e de Im(AT ), respectivamente. {u1, . . . ,uν+ρ} e´ um conjunto ortogonal de
vetores na˜o nulos (portanto LD) com n vetores, enta˜o e´ uma base. Pela ob-
servac¸a˜o da sec¸a˜o anterior,N(A) = Im(AT )⊥, ou, equivalentemente,N(A)⊥ =
Im(AT ). Aplicando-se este resultado a AT , temos ainda N(AT ) = Im(A)⊥
ou N(AT )⊥ = Im(A).
Observac¸a˜o O leitor atento tera´ notado que nesta sec¸a˜o, ao contra´rio
das anteriores, nos ativemos ao produtro escalar canoˆnoico do Rn, 〈u,v〉 =
uTv. E se estivermos usando outro produto interno ou estivermos em um
espac¸o que na˜o Rn? A resposta e´ que continua valendo o resultado N(A) =
Im(AT )⊥, desde que AT e ⊥ sejam interpretados apropriadamente. Na˜o
vamos tratar aqui deste caso mais geral.
5.6 Base para H⊥
Seja H ∈ Rn subespac¸o gerado por {v1, . . . ,vm}. Deseja-se obter uma base
para H⊥. Mas
v ∈ H⊥ ⇐⇒ 〈v,vi〉 = vTvi = vTi v = 0, i = 1, . . . , m
⇐⇒


vT1
vT2
...
vTm

v =


0
0
...
0


⇐⇒ ATv = 0,
onde
A =
[
v1 v2 · · · vm
]
.
2Espac¸os que quardam esta relac¸a˜o sa˜o ditos ortogonais.
5.6. BASE PARA H⊥ 13
Exemplo 5 Encontre uma base para

span




1
2
3
4

 ,


2
3
4
5

 ,


1
1
1
1






⊥
.