Aula 9 - Espaços Gerados

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS – UNIFAL-MG Aula 9 
 
 
 
 
ICT 13 
Álgebra 
Linear 
Aula 9 
 
 
PROF. DR. MAYK COELHO 
 
 
Mas algumas vezes temos apenas alguns elementos em mãos e seria muito 
interessante que pudéssemos saber em que espaço vetorial estes elementos 
pertencem, ou melhor, qual o “menor espaço vetorial” que contém estes 
elementos? Se pudéssemos construir este espaço vetorial com base nestes 
elementos que possuímos ficaria mais interessante ainda, será possível? 
Vamos começar com uma ideia simples, suponha inicialmente . 
Qual o menor subespaço de que contém e ? 
Se contém e temos que contém , e , 
pois é subespaço, ou seja, deve conter todos os múltiplos de e todos 
os múltiplos de e qualquer combinação entre múltiplos de e de . Deste 
modo, tomando como sendo o conjunto de todas as combinações 
lineares entre e temos que é um subespaço de , ou seja, 
 
com as operações usuais de é um subespaço. Vejamos: 
Sendo e , temos que existem tais que podemos 
escrever e . Deste modo, verificando que 
 : 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
Espaços Gerados 
das 
 
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para e temos que 
Verificando que : 
 ( ) ( ) ( ) 
para e temos que . 
Neste caso podemos dizer que foi gerado pelos vetores e , ou simplesmente que . 
Mas é o menor? Sim, pois qualquer outro subespaço que contenha e irá conter qualquer combinação linear 
entre e , ou seja, irá conter . Basta tomar o subespaço com e distintos. 
Podemos generalizar esta ideia para um subconjunto qualquer de 
 , podemos construir um 
subespaço que contenha utilizando todas as combinações lineares entre elementos de , ou seja: 
 
De modo análogo é possível demonstrar que é o menor subespaço de que contém e podemos dizer que 
é gerado pelos elementos de , ou simplesmente que . 
E se as operações não forem as de soma e produto por escalar? Procedemos de mesmo modo, suponha que tenha 
em mãos apenas dois elementos, digamos e . Se , um espaço vetorial ( ). Como construir um 
subespaço de que contenha e ? 
Basta tomar como sendo o conjunto formado por todas as combinações lineares entre e em , ou seja: 
 ( ) ( ) 
Sendo e , temos que existem tais que podemos escrever ( ) ( ) e 
( ) ( ). Deste modo, verificando que : 
 (( ) ( )) (( ) ( )) (( ) ) (( ) ) ( ) ( ) 
para e temos que 
Verificando que : 
 (( ) ( )) (( ) ) (( ) ) 
para e temos que . 
Neste caso podemos dizer que foi gerado pelos vetores e , ou simplesmente que . 
De forma análoga, podemos generalizar esta ideia para um subconjunto qualquer de , 
construindo um subespaço que contenha utilizando todas as combinações lineares entre elementos de em , ou 
seja: 
 ( ) ( ) ( ) 
De modo análogo é possível demonstrar que é o menor subespaço de que contém e podemos dizer que é 
gerado pelos elementos de , ou simplesmente que . 
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 Assim, podemos introduzir a seguinte definição geral: 
 
Se as operações são de soma e produto por escalar, podemos simplificar esta definição escrevendo o seguinte: 
 
 
O próximo resultado é de grande importância, reforçando ainda mais a ideia de como obter um espaço vetorial. 
 
 
 
Exemplos: 
1) O exemplo 6) da aula anterior é um espaço gerado por ( ) e ( ). 
 ( ) ( ) {( ) } 
Para exibir um basta dar valores para e para , por exemplo, se e temos que 
 ( ) ( ) 
 
2) O espaço é gerado por 
 , pois todo polinômio de grau menor ou igual a 2 pode ser escrito 
como combinação dos elementos de . 
 
3) Seja {[
 
 
] [
 
 
]}. O espaço é dado por: 
 { [
 
 
] [
 
 
] } {[
 
 
] } 
Para e temos que [
 
 
] 
 
4) O subespaço do exemplo 3) da aula anterior é um espaço gerado por ( ) ( ) : 
 ( ) ( ) ( ) 
Para e temos que ( ) . 
Observe que para qualquer elemento de , a relação é verdadeira para ( ) . 
 ( ) ( ) ( ) 
Sejam ( ) um espaço vetorial e um subconjunto qualquer de . Então 
é o menor subespaço de que contém . Dizemos que é o espaço gerado por (Notação: ). 
 
Sejam ( ) um espaço vetorial e um subconjunto qualquer de . Então 
é o menor subespaço de que contém . Dizemos que é o espaço gerado por (Notação: ). 
Seja um espaço vetorial, então existe um subconjunto tal que . 
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5) O conjunto ( ) ( ) ( ) ( ) gera o espaço . Porém é possível gerar com menos 
elementos, pois ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) também geram o espaço . 
Observe que não é possível gerar com apenas um elemento, pois o espaço gerado por um elemento em 
 seria uma reta passando pela origem. 
 
Observe ainda que em qualquer uma das definições acima, sendo significa que: 
1. Dados ,{
( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( )
; 
2. Todo elemento de pertence a ; 
3. {
( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( )
; 
 
Veja que a observação 1) foi usada para exibir um elemento do espaço gerado nos exemplos acima. 
A observação 2) é clara, basta pegar o correspondente igual a 1 e os demais iguais a 0. 
A observação 3) nos serve para verificar se um dado elemento pertence ou não ao espaço gerado, ou seja, se não 
existir uma combinação linear dos elementos de que resulte em , então . 
 
Exemplo 6): Sejam ( ) ( ) ( ) e . Verificar se ( ) . 
Para que devemos verificar se tais que: 
 ( ) ( ) ( ) 
ou seja, temos que verificar se tais que: 
( ) ( ) 
Esta verificação resulta no seguinte sistema linear: 
{
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
Logo, o sistema não tem solução, ou seja, . 
Porém, se ( ) temos que verificar se tais que: 
( ) ( ) 
Esta verificação resulta no seguinte sistema linear: 
{
 
 
 
 
 {
 
 
 
Logo, para e temos que ( ) ( ) ( ) . 
 
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Do exemplo anterior temos algumas observações: 
 Para verificar se um dado temos que verificar se um certo sistema linear tem solução; 
 Tanto para o vetor quanto para o vetor a matriz do sistema resolvido é a mesma; 
 A matriz é composta pelas coordenas dos vetores de postos em coluna: 
 [
 
 
 
 
] 
 A matriz é formada pelas coordenas do vetor que se quer verificar se pertence a . 
 Para , temos que ( ) e ( ) , logo não tem solução; 
 Para , temos que ( ) e ( ) , logo existe uma única solução; 
Mas sempre que um dado o sistema a ser resolvido terá única solução? 
Vejamos outro exemplo: 
Exemplo 7): Sejam ( ) ( ) ( ) e . ( ) 
Utilizando as observaçõesfeitas acima, temos o seguinte sistema matricial: 
(
 
 
 
|
 
 
 
) 
Não é preciso resolver o sistema para verificar se , basta fazer uma análise de posto do sistema, assim: 
(
 
 
 
|
 
 
 
) 
 
 (
 
 
 
|
 
 
 
)
 
 (
 
 
 
|
 
 
 
) 
Logo temos que ( ) ( ) , logo há solução, além disso, como tem 3 colunas concluímos que há 
infinitas soluço, ou seja, e há infinitas maneiras de se combinar os elementos de de modo a obter . 
Observe que no exemplo 6) ( ) e como tem 3 colunas, sempre que houver solução esta será única. 
Diferentemente do exemplo 7), pois ( ) , indicando que sempre que houver solução, haverá infinitas. 
Ainda no exemplo 7) para que um dado ( ) possa pertencer a analisamos o posto do sistema: 
(
 
 
 
|
 
 
 
) 
 
 (
 
 
 
|
 
 
 
)
 
 (
 
 
 
|
 
 
 ( ) ( )
) 
ou seja, para que tenhamos ( ) ( ) é preciso que . 
Logo, podemos dizer que ( ) , ou seja, qualquer elemento de satisfaz esta 
equação. Dizemos que é a equação geradora de . 
Obtenha a equação geradora do exemplo 6). No exemplo 5) utilizando qualquer um dos subconjuntos ou , 
não importa a equação geradora, ela será válida para todo vetor ( ). 
Como as colunas da matriz são formadas pelas coordenadas dos elementos em , será que há alguma relação 
entre estes elementos que nos indique que se havendo solução está é única?