CAP. 2.1

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
DE PRIMEIRA ORDEM
SEÇÃO 2.1 – CURVAS INTEGRAIS SEM SOLUÇÃO
CAMPOS DIRECIONAIS
𝐴 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑦 = 𝑦 𝑥 𝑑á 𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑠
𝑟𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑠𝑒𝑢 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜.
CAMPO DIRECIONAL E CURVAS SOLUÇÃO
EDS AUTÔNOMAS DE 1ª ORDEM
É 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑛𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛ã𝑜 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒,
𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑠𝑢𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 é:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑦)
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 + 𝑦2 𝐴𝑢𝑡ô𝑛𝑜𝑚𝑎
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0,2𝑥𝑦 (𝑛ã𝑜 𝑎𝑢𝑡ô𝑛𝑜𝑚𝑎)
𝑓(𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑂𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 (𝐴𝑢𝑡ô𝑛𝑜𝑚𝑎𝑠):
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 𝑘𝐴;
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑘𝑥 𝑛 + 1 − 𝑥 ;
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚) 𝑒
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 6 −
1
100
𝐴
𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑠 𝐸. 𝐷. 𝑎𝑢𝑡ô𝑛𝑜𝑚𝑎𝑠 𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑛ã𝑜 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑚 𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
PONTOS CRÍTICOS
𝑆𝑒 𝐶 𝑓𝑜𝑟 𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑦 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑦 𝑥 é 𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜
𝑎𝑢𝑡ô𝑛𝑜𝑚𝑎.
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:
𝐴 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑃 𝑎 − 𝑏𝑃 𝑡𝑒𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠, 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑓 𝑃 = 𝑃 𝑎 − 𝑏𝑃 = 0:
0 𝑒
𝑎
𝑏
𝐴 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2.1.5 é 𝑐ℎ𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑃 𝑎 − 𝑏𝑃
𝐴𝑠 𝑠𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑚 𝑜 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑎𝑙𝑔é𝑏𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑓 𝑃 𝑛𝑒𝑠𝑠𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠
𝑒, 𝑡𝑎𝑚𝑏é𝑚, 𝑠𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑃 𝑡 é 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑜𝑢 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜
EDS AUTÔNOMAS: PONTOS CRÍTICOS
EDS AUTÔNOMAS: CURVAS INTEGRAIS
ATRATORES E REPULSORES
𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑏𝑎𝑠𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑟ê𝑠 𝑡𝑖𝑝𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑦 𝑥 𝑎𝑠𝑠𝑢𝑚𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐:
𝐴𝑠𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐸𝑠𝑡á𝑣𝑒𝑙 → 𝐴𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑎𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐 (𝑎𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟)
𝐼𝑛𝑠𝑡á𝑣𝑒𝑙 → 𝐴𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑠𝑒 𝑎𝑓𝑎𝑠𝑡𝑎𝑚 𝑑𝑒 𝑐 (𝑟𝑒𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜𝑟)
𝑆𝑒𝑚𝑖𝑒𝑠𝑡á𝑣𝑒𝑙 → 𝐴𝑡𝑟𝑎í𝑑𝑎 𝑒 𝑅𝑒𝑝𝑒𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐
EXERCÍCIOS 2.1
𝑁𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎𝑠 21 − 28, 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑒 𝑜 𝑟𝑒𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜
𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑎𝑢𝑡ô𝑛𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑑𝑎𝑑𝑎. 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑠𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜
𝑎𝑠𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑡á𝑣𝑒𝑙, 𝑖𝑛𝑠𝑡á𝑣𝑒𝑙 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑠𝑡á𝑣𝑒𝑙. 𝐸𝑠𝑏𝑜𝑐𝑒 à 𝑚ã𝑜 𝑎𝑠 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑖𝑠
𝑡í𝑝𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑛𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑔𝑖õ𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑦 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜
21)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦2 − 3𝑦
EXERCÍCIOS 2.1
38) 𝑴𝒐𝒅𝒆𝒍𝒐 𝒑𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍. 𝐴 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 3 𝑣𝑖𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑚 𝑎𝑢𝑙𝑎 é 𝑢𝑚
𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑏𝑒𝑚 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜. 𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛ℎ𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝐸. 𝐷. 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑙 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑃 𝑎𝑃 − 𝑏 , 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 "𝑎" 𝑒 "𝑏“ 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠. 𝐷𝑖𝑠𝑐𝑢𝑡𝑎 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒 𝑐𝑜𝑚
𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑃 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎.